Недавно Дж. Лэмб [3], а также Абловиц, Кауп, Ньюэлт и Сегюр $[1]^{1}$ ) показали, как можно использовать обратную задачу рассеяния. Ключевой таг состоит в разбиении задачи на уравнение рассеяния, содержащее искомое решение $\varphi$ в качестве коэффициентов, и эволюционное уравнение для собственных функций. При записи уравнения $\operatorname{Sin}-$ Гордона в канонической форме
\[
\varphi_{x t}=\sin \varphi
\]
(мы вернулись к $x$ и $t$, чтобы подчеркнуть аналогию с предыдущими случаями) соответствующие уравнения рассеяния имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial v_{1}}{\partial x}+i \lambda v_{1}=-\frac{1}{2} \varphi_{x}(x, t) v_{2}, \\
\frac{\partial v_{2}}{\partial x}-i \lambda v_{2}=\frac{1}{2} \varphi_{x}(x, t) v_{1},
\end{array}
\]

а эволюционные уравнения для векторной собственной функции $\left(v_{1}, v_{2}\right)-$ вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial v_{1}}{\partial t}=\frac{i}{4 \lambda}\left(v_{1} \cos \varphi+v_{2} \sin \varphi\right), \\
\frac{\partial v_{2}}{\partial t}=\frac{i}{4 \lambda}\left(v_{1} \sin \varphi-v_{2} \cos \varphi\right) .
\end{array}
\]

Результаты Захарова и Шабата позволяют теперь восстановить $\varphi(x, t)$. Здесь также оказывается полезной альтернативная версия, связанная с уравнениями (17.38) – (17.39).