Недавно Дж. Лэмб [3], а также Абловиц, Кауп, Ньюэлт и Сегюр $[1{]}^1$ ) показали, как можно использовать обратную задачу рассеяния. Ключевой таг состоит в разбиении задачи на уравнение рассеяния, содержащее искомое решение $\phi$ в качестве коэффициентов, и эволюционное уравнение для собственных функций. При записи уравнения $\mathrm{Sin}-$ Гордона в канонической форме
$${\phi }_{xt}=\sin \phi$$
(мы вернулись к $x$ и $t$, чтобы подчеркнуть аналогию с предыдущими случаями) соответствующие уравнения рассеяния имеют вид
$$\begin{array}{l}\frac{\partial v_1}{\partial x}+i\lambda v_1=-\frac{1}{2}{\phi }_x(x,t)v_2,\\ \frac{\partial v_2}{\partial x}-i\lambda v_2=\frac{1}{2}{\phi }_x(x,t)v_1,\end{array}$$

а эволюционные уравнения для векторной собственной функции $(v_1,v_2)-$ вид
$$\begin{array}{l}\frac{\partial v_1}{\partial t}=\frac{i}{4\lambda }(v_1\cos \phi +v_2\sin \phi ),\\ \frac{\partial v_2}{\partial t}=\frac{i}{4\lambda }(v_1\sin \phi -v_2\cos \phi ).\end{array}$$

Результаты Захарова и Шабата позволяют теперь восстановить $\phi (x,t)$. Здесь также оказывается полезной альтернативная версия, связанная с уравнениями (17.38) — (17.39).