При обсуждении одномерных задач в § 5.5 и 5.6 была выяснена роль характеристик как носителей разрывов. Было также показано, что изменение величины разрыва можно определить непосредственно из уравнений, не находя полного решения. Это же верно и для большего числа измерений, и теория разрывов для линейных уравнений есть одно из приложений геометрической оптики. Второе приложение касается периодических волн в высокочастотном

приближении. Оба случая тесно связаны, поскольку фурьеанализ разрывных функций связывает особенности с высокочастотным поведением. Оказывается, что оба аспекта геометрической оптики можно объединить одним общим построением.

Геометрическая оптика особенно важна, когда точное решение невозможно найти в явном виде или оно чрезвычайно сложно. Даже для более простых задач часто легче найти поведение волнового фронта таким образом, чем выделять его из общего решения. Мы разовьем идеи геометрической оптики на примере волнового уравнения, а затем покажем, как их применять к волнам в неоднородной среде (для которых точные решения могут оказаться недоступными) и к анизотропным волнам (которые имеют сложный вид). В следующей главе с помощью идей теометрической оптики будет развита приближенная теория распространения ударных волн. Из-за нелинейности и многомерности такие задачи чрезвычайно трудно исследовать каким-либо другим способом.

Теория разрывов в основном применяется для определения поведения волнового фронта, распространяющегося в невозмущенную область. Предположим, что волновой фронт описывается уравнением $S(\mathbf{x}, t)=0$ и что решение $\varphi$ тождественно равно нулю при $S(\mathbf{x}, t)<0$. Следует определить поверхность $S=0$ и поведение разрыва функции $\varphi$ или ее производных. Если разрывы на волновом фронте появляются у производных функции $\varphi$, начиная с $m$-го порядка, то предположим, что $\varphi$ можно представить в виде
\[
\varphi=\left\{\begin{array}{ll}
\Phi_{0}(\mathbf{x}) \frac{S^{m}}{m !}+\Phi_{1}(\mathbf{x}) \frac{S^{m+1}}{(m+1) !}+\ldots, & S>0, \\
0, & S<0 .
\end{array}\right.
\]

При этом коэффициент $\Phi_{0}(\mathbf{x})$ определяет изменение величины разрыва. Как мы видели в случае цилиндрических волн, особенность на волновом фронте может содержать дробные степени, так что мы допускаем нецелые значения $m$. Идея состоит в том, чтобы подставить это разложение в уравнение для $\varphi$, приравнять коэффициенты при соответствующих степенях $S$ к нулю и таким образом получить уравнения для $S$ и $\Phi_{n}$. Однако при этом оказывается, что нам требуется только, чтобы $\varphi$ имела вид
\[
\varphi=\sum_{n=0}^{\infty} \Phi_{n}(\mathbf{x}) f_{n}(S)
\]

где $f_{n}(S)$ обладают свойством
\[
f_{n}^{\prime}(S)=f_{n-1}(S) .
\]

При вычислении производных функции ч появляются производные функций $f_{n}$, но при помощи равенств (7.57) их можно выра-

зить через предыдущие члены этой последовательности. Тогда уравнению можно удовлетворить, последовательно приравняв коэффициенты при $f_{n}$ к нулю. Эта общая схема включает в себя ряд важных частных случаев, например предыдущий случай, поскольку выражения
\[
f_{n}(S)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{S^{n+m}}{(n+m) !}, & S>0, \\
0, & S<0,
\end{array}\right.
\]

удовлетворяют равенствам (7.57).
Мы проведем подстановку в форме (7.56), рассматривая ее пока как краткую запись (7.58). Формулы нам понадобятся позднее при исследовании обобщений. Для начала будем считать также, что $m>2$. Строго говоря, понятие «решение» надо уточнять, если входящие в уравнение производные разрывы. Для волнового уравнения требуется существование непрерывных вторых производных и $m>2$. Как мы убедимся, в этом есть смысл, а не только сверхпредосторожность!

При подстановке появляются первые и вторые производные функций $f_{n}(S)$, но, согласно (7.57), они заменяются на
\[
f_{n}^{\prime}(S)=f_{n-1}(S), \quad f_{n}^{\prime \prime}(S)=f_{n-2}(S) .
\]

Для $n=0,1$ это приведет к $f_{-1}(S)$ и $f_{-2}(S)$, которых нет в исходной последовательности. В случае (7.58) с $m>2$ они определяются по той же формуле; в других случаях их определение следует включить в определение $f_{n}(S)$. После подстановки в волновое уравнение мы имеем
\[
\begin{aligned}
{\left[S_{x_{i}}^{2}-c^{-2} S_{t}^{2}\right] \Phi_{0} f_{-2} } & +\left\{\left[S_{x_{i}}^{2}-c^{-2} S_{t}^{2}\right] \Phi_{1}+2 S_{x_{i}} \Phi_{0 x_{i}}+\right. \\
& \left.+\left(S_{x_{i} x_{i}}-c^{-2} S_{t t}\right) \Phi_{0}\right\} f_{-1}+\sum_{n=0}^{\infty} E_{n} f_{n}(S)=0 .
\end{aligned}
\]

Явное выражение для $E_{n}$ нам не потребуется, однако следует отметить, что оно содержит главный член
\[
\left[S_{x_{i}}^{2}-c^{-2} S_{t}^{2}\right] \Phi_{n+2}
\]

и другие члены с $\Phi_{n+1}, \ldots, \Phi_{0}$ и производными от $S$.
Волновое уравнение удовлетворяется, если все коэффициенты при $f_{-2}, f_{-1}, \ldots$, равны нулю. Это дает
\[
\begin{aligned}
S_{x_{i}}^{2}-c^{-2} S_{t}^{2} & =0, \\
2 S_{x_{i}} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial x_{i}}+\left(S_{x_{i} x_{i}}-c^{-2} S_{t t}\right) \Phi_{0} & =0
\end{aligned}
\]

и дальнейшие уравнения для последовательного определения $\Phi_{1}, \Phi_{2}, \ldots$ Основной интерес представляют уравнения для $S$ и $\Phi_{0}$. Прежде чем исследовать их решения, вернемся к вопросу o расширении области приложений за счет выбора функций $f_{n}$.

Разрывы функции $\varphi$ и ее первых производных
Если в равенстве (7.58) $m<2$, то встает вопрос об определении $f_{-2}$ и $f_{-1}$, и это связано с расширением понятия решения. Для $m=2$, т. е. для разрывов вторых производных, формула (7.58) еще определяет $f_{-2}$ и $f_{-1}$, и расширенное понятие репения состоит просто в том, что уравнение удовлетворяется по обе стороны от волнового фронта $S=0$.

Если разрыв имеет сама функция $\varphi$, то $m=0$ и разложение за волновым фронтом имеет вид
\[
\varphi=\Phi_{0}(\mathbf{x})+\Phi_{1}(\mathbf{x}) S+\frac{1}{2} \Phi_{2}(\mathbf{x}) S^{2}+\ldots .
\]

Если это выражение подставить в волновое уравнение, то первые два члена в (7.59) будут отсутствовать и уравнения (7.60) и (7.61) будут утеряны. Однако если положить
\[
\varphi=\Phi_{0}(\mathbf{x}) H(S)+\Phi_{1}(\mathbf{x}) H_{1}(S)+\ldots,
\]

где $H(S)$ – функция Хевисайда
\[
H(S)=\left\{\begin{array}{ll}
1, & S>0, \\
0, & S<0,
\end{array}\right.
\]

и $H_{n}(S)$ – интегралы от нее, равные
\[
H_{n}(S)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{1}{n !} S^{n}, & S>0, \\
0, & S<0,
\end{array}\right.
\]

и, кроме того, при вычислении производных использовать обобщенные функции, то будем иметь
\[
\begin{aligned}
\varphi_{t} & =\Phi_{0} S_{t} \delta(S)+\Phi_{1} S_{t} H(S)+\ldots, \\
\varphi_{t t} & =\Phi_{0} S_{t}^{2} \delta^{\prime}(S)+\left(\Phi_{1} S_{t}^{2}+\Phi_{0} S_{t t}\right) \delta(S)+\ldots
\end{aligned}
\]

и т. д. Получаем снова соотношение (7.59), полагая
\[
f_{0}=H(S), \quad f_{-1}=\delta(S), \quad f_{-2}=\delta^{\prime}(S),
\]

и информация о $S$ и $\Phi_{0}$ не будет утеряна. В случае $m \geqslant 2$ этих затруднений не возникает. Объяснение состоит в том, что для $m<2$ мы на самом деле переводим рассмотрение в область «слабых решений» и расширенное определение решения включает в себя информацию о возможных разрывах, не зависящую от конкретного способа введения этих разрывов. Для линейных задач необходимое расширение получится немедленно, если допустить обобщенные функции, такие, как дельта-функция, и интерпретировать производные в соответствующем смысле. Это эквивалентно методу, указанному в § 2.7.

Если $\varphi$ непрерывна, но первые производные имеют разрывы, то подходящее разложение будет иметь вид
\[
\varphi=\Phi_{0}(\mathbf{x}) H_{1}(S)+\Phi_{1}(\mathbf{x}) H_{2}(S)+\ldots
\]

и в этом случае
\[
f_{0}(S)=H_{1}(S), \quad f_{-1}(S)=H(S), \quad f_{-2}(S)=\delta(S) .
\]

Разложение вблизи волнового фронта и поведение на больших расстояниях

Если разложение (7.56) рассматривать как приближение к решению вблизи волнового фронта, а не просто как способ изучения разрывов производных, то можно расширить область его применения, допустив функции $f_{n}(S)$ еще более общего вида, чем степенные или ступенчатые функции. Например, для цилиндрических волн разложение вблизи волнового фронта (7.34) принимает вид (7.56), если положить
\[
\begin{array}{l}
f_{n}(S)=\frac{(-1 / 2) !}{(n-1 / 2) !} \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{S} q(\eta)(S-\eta)^{n-1 / 2} d \eta, \quad S=t-\frac{r}{c}, \\
\Phi_{n}(r)=\frac{(n-1 / 2) !}{n !(-n-1 / 2) !}\left(\frac{c}{2 r}\right)^{n+1 / 2} .
\end{array}
\]

Это разложение оказалось справедливым при
\[
\frac{c S}{2 r}<1 .
\]

Таким образом, $S$ не обязательно должно быть малым при условии, что $r$ достаточно велико. Функции $f_{n}(S)$ удовлетворяют определяющим соотношениям (7.57), и это разложение включается в развиваемую здесь общую схему.

Вообще говоря, следует ожидать, что разложение (7.56) с подходящими $f_{n}(S)$ будет описывать поведение в некоторой довольно широкой области за волновым фронтом. Однако точный вид этих специальных функций $f_{n}(S)$ можно найти только из более полных решений; они не определяются подстановкой (7.56) в уравнение. Но определение $S$ и $\Phi_{0}$ из (7.60) и (7.61) все же дает ценную информацию. В типичных случаях это разложение описывает поведение на больших расстояниях, т. е. когда $c S /|\mathbf{x}|$ мало. В первом приближении $f_{0}(S)$ описывает профиль волны, а $\Phi_{0}(\mathbf{x})$ – затухание амплитуды при $\mathbf{x} \rightarrow \infty$.
Высокие частоты
В задаче о распространении волн часто интересуются периодическими по времени решениями с заданной частотой $\omega$. Если

теперь для $\varphi$ взять уравнение более общего вида
\[
L \varphi=\frac{1}{c^{2}} \varphi_{t i},
\]

где $L$ – некоторый линейный оператор, не зависящий от $t$, то периодические решения можно записать в виде
\[
\varphi=\Phi(\mathbf{x}) e^{-i \omega t},
\]

где Ф удовлетворяет уравнению
\[
L \Phi+\frac{\omega^{2}}{c^{2}} \Phi=0 .
\]

Для больших значений $\omega / c$ (нормированных характерной длиной задачи, возможно, масштабом самой переменной $x$ ) в стандартном методе нахождения асимптотических решений полагают
\[
\Phi \sim e^{i \omega \sigma(\mathbf{x})} \sum_{n=0}^{\infty} \Phi_{n}(\mathbf{x})(-i \omega)^{-n},
\]

где функции $\sigma(\mathbf{x})$ и $\Phi_{n}(\mathbf{x})$ еще нужно определить. Для $\varphi$ это разложение имеет вид
\[
\varphi \sim e^{-i \omega(t-\sigma(\mathbf{x}))} \sum_{n=0}^{\infty} \Phi_{n}(\mathbf{x})(-i \omega)^{-n} .
\]

Его можно записать в виде
\[
\varphi \sim \sum_{n=0}^{\infty} \Phi_{n}(\mathbf{x}) f_{n}(S)
\]

где
\[
S=t-\sigma(\mathbf{x}), \quad f_{n}(S)=\frac{e^{-i \omega S}}{(-i \omega)^{n}} .
\]

Заметим, что так определенные функции $f_{n}(S)$ удовлетворяют равенствам (7.57). Следовательно, уравнения для $S$ и $\Phi_{n}$ в точности такие же, как и в разложении вблизи волнового фронта, и нет необходимости их переписывать; видно также, почему получаются те же самые результаты.

В данном контексте поверхности $S=$ const являются поверхностями равной фазы (например, пучностей и узлов), тогда как $\Phi_{0}(\mathbf{x})$ определяет амплитуду колебаний в точке $\mathbf{x}$.
Определение $S$ и $\Phi_{0}$
Продолжим теперь исследование уравнений для $S$ и $\Phi_{0}$ в случае волнового уравнения. Описание будем проводить применительно к распространению волнового фронта, но высокочастотная интерпретация очевидна.

Уравнение (7.60) для $S$ часто называют уравнением эйконала. Оно описывает движение поверхности $S=0$ в х-пространстве. Нормаль к поверхности задается единичным вектором l с компонентами
\[
l_{i}=\frac{-S_{x_{i}}}{|
abla S|} .
\]

Нормальную скорость распространения фронта можно вычислить, заметив, что близкие точки $\left(\mathbf{x}_{0}, t_{0}\right)$ и ( $\left.\mathbf{x}_{0}+\mathbf{l} \delta s, t_{0}+\delta t\right)$ лежат на поверхности при условии, что
\[
S\left(\mathbf{x}_{0}, t_{0}\right)=0, \quad S\left(\mathbf{x}_{0}+1 \delta s, t_{0}+\delta t\right)=0 .
\]

Отсюда с точностью до второго порядка по $\delta s$ и $\delta t$
\[
l_{i} S_{x_{i}} \delta s+S_{t} \delta t=0,
\]

и нормальная скорость равна
\[
\lim _{\delta t \rightarrow 0} \frac{\delta s}{\delta t}=\frac{-S_{t}}{l_{i} S_{x_{i}}}=\frac{S_{t}}{|
abla S|} .
\]

Таким образом уравнение эйконала утверждает просто, что волновой фронт имеет нормальную скорость, равную $\pm c$.

Для дальнейшего построения решения удобно искать волновой фронт в виде
\[
S(\mathbf{x}, t) \equiv t-\sigma(\mathbf{x})=0 .
\]

Семейство поверхностей $\sigma(\mathbf{x})=$ const определяет последовательные положения волнового фронта в $\mathbf{x}$-пространстве. Уравнения (7.60) и (7.61) принимают вид
\[
\begin{aligned}
\sigma_{x_{i}}^{2} & =\frac{1}{c^{2}}, \\
2 \sigma_{x_{i}} \frac{\partial \Phi_{0}}{\partial x_{i}}+\sigma_{x_{i} x_{i}} \Phi_{0} & =0 .
\end{aligned}
\]

Нелинейное уравнение для $\sigma$ можно решить методом § 2.13, интегрируя вдоль характеристик. Если ввести $p_{i}=\sigma_{x_{i}}$ и записать это уравнение в виде
\[
H \equiv \frac{1}{2} c p_{i}^{2}-\frac{1}{2} c^{-1}=0,
\]

то характеристики, определяемые уравнениями (2.86), будут кривыми в $\mathbf{x}$-пространстве с направлением
\[
\frac{d x_{i}}{d s}=c p_{i} .
\]

Нормированный таким образом параметр $s$ является расстоянием вдоль характеристики, поскольку из уравнения (7.65) следует, что $c^{2} p_{i}^{2}=1$. Полная система характеристических уравнений

(2.86)-(2.88) имеет вид
\[
\frac{d x_{i}}{d s}=c p_{i}, \quad \frac{d p_{i}}{d s}=0, \quad \frac{d \sigma}{d s}=\frac{1}{c} .
\]

Эти уравнения можно вывести непосредственно из (7.65), учитывая, что
\[
\frac{d}{d s}=c p_{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}}=c \sigma_{x_{j}} \frac{\partial}{\partial x_{j}},
\]

и не ссылаясь на общие формулы. Поскольку вектор $p_{i}=\sigma_{x_{i}}$ ортогонален волновому фронту $\sigma=\mathrm{const}$, первое из уравнений (7.67) показывает, что лучи также ортогональны; они образуют траектории, ортогональные семейству волновых фронтов $\sigma=$ const. Второе уравнение показывает, что вектор $\mathbf{p}$ постоянен вдоль луча; следовательно, постоянно и направление луча ср, а сами лучи являются прямыми линиями. Тогда лучи можно построить, начертив семейство прямых, ортогональных исходному волновому фронту. Третье уравнение в (7.67) при интегрировании дает
\[
\sigma=\frac{s}{c},
\]

где $s$ – расстояние от исходного волнового фронта. В произвольный момент времени $t>0$ волновой фронт $t=\sigma=s / c$ находится на расстоянии $c t$ вдоль лучей. Это в точности совпадает с построением для точного решения Пуассона, представленным на рис. 7.5. Если $\mathrm{x}_{0}$ – точка на исходном волновом фронте, а $\mathbf{l}\left(\mathbf{x}_{0}\right)$ – вектор единичной нормәли в этой точке, то формально ретение системы (7.67) таково:
\[
\mathbf{x}=\mathbf{x}_{0}+\mathbf{l}\left(\mathbf{x}_{0}\right) s, \quad \mathbf{p}=c^{-1} \mathbf{l}\left(\mathbf{x}_{0}\right), \quad \sigma=\frac{s}{c} .
\]

Это неявное выражение для $\sigma(\mathbf{x})$ : по заданному $\mathbf{x}$ исходная точка $\mathbf{x}_{0}$ и расстояние $s$ в принципе определяются из первого уравнения; тогда $\sigma=s / c$.

Данные результаты присущи волновому уравнению. В общем случае лучи, определяемые как характеристики уравнения эйконала, не являются ни прямыми (неоднородная среда), ни ортогональными к волновому фронту (анизотропная среда).

Уравнение (7.66) представляет собой линейное уравнение для $\Phi_{0}$, и его характеристиками служат те же самые лучи, уже введенные для уравнения эйконала. Его можно переписать в следующей характеристической форме:
\[
\frac{1}{\Phi_{0}} \frac{d \Phi_{0}}{d s}=-\frac{1}{2} c \sigma_{x_{i} x_{i}},
\]

и в принципе оно элементарно интегрируется, как только определена $\sigma(\mathbf{x})$. Ясно, что функцию $\Phi_{0}$ следует находить интегрированием вдоль лучей и что ее изменение как-то связано с расхождением лучей, измеряемым $\sigma_{x_{i} x_{i}}$. Но учитывая неявную формулу для $\sigma(\mathbf{x})$, лучше поступить несколько иначе.

Заметим сначала, что уравнение (7.66) можно записать в дивергентной форме
\[
\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\sigma_{x_{i}} \Phi_{0}^{2}\right)=0,
\]

а это подсказывает, что нечто сохраняется, и наводит на мысль o возможности использовать теорему о дивергенции. Рассмотрим трубку, образованную лучами, лежащими между исходным волновым фронтом $\mathscr{U}_{0}: \sigma=0$ и волновым фронтом $\mathscr{I}: \sigma=t$
Рис. 7.7. Волновые фронты и трубка лучей в геометрической оптике.

в момент времени $t$, как показано на рис. 7.7. Проинтегрируем (7.69) по объему этой трубки лучей и используем теорему о дивергендии; тогда мы получим
\[
\int n_{i} \sigma_{x_{i}} \Phi_{0}^{2} d S=0,
\]

где $\mathbf{n}$ – внешняя нормаль, а интеграл по поверхности берется В данном случае лучи ортогональны волновым фронтам $\sigma=$ const; следовательно,
\[
n_{i} \sigma_{x_{i}}=0 \text { на } \Sigma
\]

и этот вклад выпадает. На $\mathscr{S}$ векторы $\mathbf{n}$ и $
abla \sigma$ имеют одинаковые направления, так что
\[
n_{i} \sigma_{x_{i}}=|
abla \sigma| \text { на } \mathscr{S}
\]

и $
abla \sigma$ имеют противоположные направления, так что
\[
n_{i} \sigma_{x_{i}}=-|
abla \sigma|=-c^{-1} \text { на } \mathscr{\mathscr { O }}_{0} .
\]

В данном случае $c$ постоянно и мы имеем
\[
\int_{\mathscr{S}} \Phi_{0}^{2} d S=\int_{\mathscr{S}_{0}} \Phi_{0}^{2} d S .
\]

Если трубка лучей берется очень тонкой и имеет малые площади второго порядка это можно переписать как
\[
\Phi_{0}^{2}(\mathbf{x}) \Delta A=\Phi_{0}^{2}\left(\mathbf{x}_{0}\right) \Delta \mathscr{A}_{0}
\]

или – в пределе при $\Delta_{\mathfrak{A}}, \Delta \mathcal{A} \rightarrow 0$ – как
\[
\frac{\Phi_{0}(\mathbf{x})}{\Phi_{0}\left(\mathbf{x}_{0}\right)}=\left(\frac{d_{\mathscr{A}}}{d_{\mathscr{A}_{0}}}\right)^{-1 / 2} \text {. }
\]

Обычно равенство (7.70) интерпретируют в терминах потока энергии вдоль трубки лучей, особенно в контексте высокочастотного приближения вида (7.62). Через каждое поперечное сечение трубки лучей имеется осредненный поток энергии, и без подробных вычислений ясно, что этот поток пропорционален $\Phi_{0}^{2} \Delta \mathcal{A}$. Таким образом, уравнение (7.70) эквивалентно «закону» постоянства потока энергии вдель трубки лучей. Для неоднородной среды (как будет показано ниже) у $\Phi_{0}^{2} \Delta \mathcal{A}$ появляются дополнительные множители, зависящие от среды, но закон постоянства потока энергии остается справедливым.

Это на самом деле общий результат геометрической оптики для недиспергирующих волн, и он часто используется непосредственно для определения изменения амплитуды без проведения каждый раз подробных выкладок. Недавние исследования по диспергирующим волнам позволили высказать общие соображения по данному кругу вопросов; в то же время они привели к изменению точки зрения. Появились более общие понятие «волнового действия» (которое в простейших линейных случаях представляет собой поток энергии, деленный на подходящую частоту) и закон сохранения этого действия. В нашем случае частота постоянна, так что оба закона совпадают. Эти общие вопросы будут обсуждаться в ч. II.

Для плоских, цилиндрических и сферических волн трубки лучей являются прямыми полосами, клиньями и конусами соответственно. Следовательно, для этих случаев
\[
\begin{array}{ll}
\frac{d_{\mathscr{A}}}{d_{\mathscr{A}_{0}}}=1, & \Phi_{0}=\mathrm{const}, \\
\frac{d_{\mathscr{A}}}{d \mathscr{A}_{0}}=r, & \Phi_{0} \curvearrowleft r^{-1 / 2}, \\
\frac{d_{\mathscr{A}}}{d_{\mathscr{A}_{0}}}=R^{2}, & \Phi_{0} \curvearrowleft R^{-1} .
\end{array}
\]

Это совпадает с данными о поведении вблизи волнового фронта Эли на больших расстояниях, полученными ранее из точных решеиий. В случае двух измерений при отсутствии цилиндрической симметрии мы имеем
\[
\Delta \mathcal{A}_{0}=R_{1} \Delta \theta, \quad \Delta \mathcal{A}=\left(R_{1}+s\right) \Delta \theta,
\]

где $R_{1}$ – радиус кривизны исходного волнового фронта, а $\Delta \theta$ стягивающий угол с вершиной в центре кривизны (см. рис. 7.8).
Рис. 7.8. Геометрия волновых фронтов и лучей.
(Геометрия лучей показывает, что радиус кривизны волнового фронта на расстоянии $s$ вдоль луча равен $\left(R_{1}+s\right)$ и стягивающий угол остается равным $\Delta \theta$.) Поэтому
\[
\frac{\Phi_{0}(\mathbf{x})}{\Phi_{0}\left(\mathbf{x}_{0}\right)}=\left(\frac{R_{1}}{R_{1}+s}\right)^{1 / 2} .
\]

В случае трех измерений из дифференциальной геометрии следует, что элемент площади волнового фронта пропорционален гауссовой кривизне
\[
\Delta \mathcal{A}_{0} \propto R_{1} R_{2}, \quad \Delta \mathcal{A} \propto \sim\left(R_{1}+s\right)\left(R_{2}+s\right),
\]

где $R_{1}$ и $R_{2}$ – главные радиусы кривизны исходного волнового фронта. Следовательно,
\[
\frac{\Phi_{0}(\mathbf{x})}{\Phi_{0}\left(\mathbf{x}_{0}\right)}=\left\{\frac{R_{1} R_{2}}{\left(R_{1}+s\right)\left(R_{2}+s\right)}\right\}^{1 / 2} .
\]

Каустики
В точках, где исходный волновой фронт является вогнутым, лучи образуют огибающую, как показано на рис. 7.9. Она обычно имеет заостренную форму, и область между двумя дугами трижды покрывается лучами, что напоминает складку на листе. Эта огибающая называется каустикой. На каустике (поскольку на ней соседние лучи касаются друг друга) $d \mathcal{A} / d_{A_{0}} \rightarrow 0$. В силу уравнения (7.70), это означает, что на каустике $\Phi_{0} \rightarrow \infty$.

Для задачи о волновом фронте этот результат корректен и его можно вывести из точного решения волнового уравнения. Но остается ли применимым само волновое уравнение – это уже другой вопрос. В акустике, например, оно получается только после линеаризации и при $\Phi_{0} \rightarrow \infty$ может оказаться неверным
Рис. 7.9. Образование каустики.

из-за нелинейных эффектов. В главе 8 будет обсуждаться нелинейное поведение ударных волн и можно будет утверждать (за исключением, видимо, чрезвычайно слабых ударных волн, на которых сильнее сказываются эффекты вязкости), что вогнутая ударная волна фокусируется и при этом ускоряется, избегая наложения.

Для высокочастотных волн приближение геометрической оптики неприменимо вблизи каустики даже как приближение к волновому уравнению. Сингулярное поведение $\Phi_{0}$ делает разложение (7.62) неравномерным в окрестности каустики. Правильное поведение впервые было найдено Эйри. Дальнейшее исследование было выполнено Келлером с сотрудниками (см., например, Кэй и Келлер [1]). Правильный результат состоит в том, что амплитуда остается конечной, но растет с ростом $\omega$ обычно как дробная степень $\omega$. Этот вопрос несколько более специальный, чем остальная часть этой главы, и читатель отсылается к оригинальным статьям ${ }^{1}$ ).