В гл. 11 мы убедились в том, что в простейшем случае одномерных волн в однородной среде модуляции линейного волнового пакета можно описать уравнениями
\[
\begin{array}{r}
\frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial \omega}{\partial x}=0, \\
\frac{\partial a^{2}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\left(C_{0} a^{2}\right)=0,
\end{array}
\]
где $\omega=\omega_{0}(k)$ задается линейным дисперсионным соотношением, а $C_{0}=\omega_{0}^{\prime}(k)$ – линейная групповая скорость. (Индекс нуль добавлен теперь для того, чтобы отмечать линейные значения.) Решающее качественное влияние нелинейности состоит в зависимости $\omega$ от $a$, что связывает уравнение (14.14) с уравнением (14.15). Для сравнительно небольших амплитуд можно, следуя Стоксу, представить $\omega$ в виде ряда
\[
\omega=\omega_{0}(k)+\omega_{2}(k) a^{2}+\ldots,
\]
и тогда уравнение (14.14) примет вид
\[
\frac{\partial k}{\partial t}+\left\{\omega_{0}^{\prime}(k)+\omega_{2}^{\prime}(k) a^{2}\right\} \frac{\partial k}{\partial x}+\omega_{2}(k) \frac{\partial a^{2}}{\partial x}=0 .
\]
Наиболее существенным членом является $\omega_{2}(k) \partial a^{2} / \partial x$, поскольку он содержит производную от $a$ и приводит к поправке $O(a)$ к характеристическим скоростям. Другой новый член всего лишь подправляет коэффидиент существовавшего ранее члена с $\partial k / \partial x$ и, следовательно, дает вклад только на уровне $O\left(a^{2}\right)$. Аналогичным образом для малых амплитуд нелинейные добавки в (14.15) имеют порядок $a^{4}$ и приводят к поправкам порядка $a^{2}$ к коэффициентам существовавших ранее членов с $\partial a^{2} / \partial x$ и $\partial k / \partial x$. Следовательно, в первом приближении нелинейные эффекты можно учесть очень просто, используя только новое дисперсионное соотнопение и уравнения
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial k}{\partial t}+\omega_{0}^{\prime}(k) \frac{\partial k}{\partial x}+\omega_{2}(k) \frac{\partial a^{2}}{\partial x}=0, \\
\frac{\partial a^{2}}{\partial t}+\omega_{0}^{\prime}(k) \frac{\partial a^{2}}{\partial x}+\omega_{0}^{\prime \prime}(k) a^{2} \frac{\partial k}{\partial x}=0 .
\end{array}
\]
Согласно стандартной процедуре, описанной в гл. 5, характеристическая форма этой системы сводится к уравнениям
\[
\frac{1}{2} \operatorname{sgn}\left(\omega_{0}^{\prime \prime}\right)\left\{\frac{\omega_{0}^{\prime \prime}(k)}{\omega_{2}(k)}\right\}^{1 / 2} d k \pm d a=0
\]
вдоль характеристик
\[
\frac{d x}{d t}=\omega_{0}^{\prime}(k) \pm\left\{\omega_{2}(k) \omega_{0}^{\prime \prime}(k)\right\}^{1 / 2} a .
\]
Можно проверить, что дополнительные члены порядка $a^{2}$, добавленные в (14.18) – (14.19), приводят в (14.20) – (14.21) только к членам порядка $a^{2}$.
Эта простая формулировка уже приводит к некоторым замечательным результатам. В случае $\omega_{2} \omega_{0}^{*}>0$ характеристики вещественны и система гиперболическая. Нелинейные поправки расщепляют двойную характеристическую скорость, и мы имеем две скорости, определяемые формулой (14.21). В общем случае исходное возмущение или модулирующий источник внесут возмущения в оба семейства характеристик. Если исходное возмущение сосредоточено в конечной области, например имеет вид горба на однородном в остальном пакете, то оно со временем распадется на два. Это совершенно не похоже на линейное поведение, где такой горб может искажаться вследствие зависимости $C_{0}(k)$ от $k$, но не распадается.
Второе следствие нелинейности в гиперболическом случае состоит в том, что модуляции типа «сжатия» будут искажаться и становиться круче характерным типерболическим образом, изученным в части I. Здесь возникает вопрос о многозначных решениях и опрокидывании.
Когда $\omega_{2} \omega_{0}^{\prime \prime}<0$, характеристики мнимы и система эллиптическая. В контексте волнового распространения это приводит к некорректно поставленным задачам. Кроме всего прочего, это означает, что малые возмущения будут со временем расти и в этом смысле периодический волновой пакет неустойчив. Эллиптический случай не является чем-либо необычным, и теория модуляций дает интересный подход к некоторым аспектам теории устойчивости.
Можно отметить, что для волн Стокса на глубокой воде дисперсионное соотношение (13.124) дает
\[
\omega_{0}(k)=g^{1 / 2} k^{1 / 2}, \quad \omega_{2}(k)=1 / 2 g^{1 / 2} k^{3 / 2},
\]
так что мы имеем неустойчивый случай с $\omega_{0}^{\prime \prime} \omega_{2}<0$. Удивительно, что эта неустойчивость не была обнаружена в процессе длительной дискуссии о существовании периодических решений. В случае уравнения Клейна – Гордона разложение (14.12) дает
\[
\omega_{0}(k)=\left(k^{2}+1\right)^{1 / 2}, \quad \omega_{2}(k)=3 / 2 \sigma\left(k^{2}+1\right)^{-1 / 2} .
\]
Знак выражения $\omega_{0}^{\prime \prime} \omega_{2}$ совпадает со знаком коэффициента $\sigma$; уравнения модуляций являются гиперболическими при $\sigma>0$ и эллиптическими при $\sigma<0$. Для почти линейных волн уравнение $\operatorname{Sin}-$ Гордона имеет $\sigma<0$, так что во всех задачах, описываемых этим уравнением, почти линейные волновые пакеты неустойчивы.
Мы вернемся ко всем этим вопросам после того, как уравнения модуляций будут подробно изучены и обобщены на полностью нелинейный случай.
