В соответствии с общей точкой зрения, развитой в гл. 2, ударная волна интерпретируется как узкая область, в которой происходит резкое изменение параметров течения. На некотором уровне описания ударная волна соответствует разрыву, и этот разрыв заменяется узкой областью при более точном описании. Решающей здесь является проверка правильности выбора сохраняющихся величин, а также – в случае необходимости – оценка толщины ударного слоя в частном случае ударного перехода из одного однородного состояния в другое. Эту задачу о структуре разрыва мы здесь и рассмотрим.

Для одномерного течения уравнения сохранения массы, импульса и энергии имеют вид
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+(\rho u)_{x} & =0, \\
(\rho u)_{t}+\left(\rho u^{2}-p_{11}\right)_{x} & =0, \\
\left(\frac{1}{2} \rho u^{2}+\rho e\right)_{t}+\left\{\left(\frac{1}{2} u^{2}+e\right) \rho u-p_{11} u+q_{1}\right\}_{x} & =0 .
\end{aligned}
\]

Для уточнения этого использовавшегося до сих пор описания примем соотношения Навье – Стокса для напряжения $p_{11}$ и теплового потока $q_{1}$, сохранив, однако, предположение о локальном термодинамическом равновесии. Эти соотношения сводятся к тому, что $p_{11}$ линейно зависит от градиента скорости, а $q_{1}$ линейно зависит от градиента температуры. В общем виде они приведены выше

(уравнения (6.28) и (6.29)), а для одномерного течения сводятся к следующим:
\[
p_{11}=-p+\frac{4}{3} \mu u_{x}, \quad q_{1}=-\lambda T_{x} .
\]

Термодинамические соотношения
\[
e=\frac{1}{\gamma-1} \frac{p}{\rho}, \quad p=\mathscr{R} \rho T
\]

замыкают систему в случае политропного газа.
При описании структуры ударной волны течение считается стационарным относительно ударной волны. Поэтому все параметры течения зависят только от $X=x-U t$. Для таких функций
\[
\frac{\partial}{\partial t}=-U \frac{d}{d X}, \quad \frac{\partial}{\partial x}=\frac{d}{d X}
\]

и уравнения (6.126), имеющие форму законов сохранения, интегрируются и принимают вид
\[
\begin{array}{l}
-U \rho+\rho u=A, \\
-U(\rho u)+\left(\rho u^{2}+p-\frac{4}{3} \mu u_{X}\right)=B, \\
-U\left(\frac{1}{2} \rho u^{2}+\rho e\right)+\left\{\left(\frac{1}{2} u^{2}+e\right) \rho u+p u-\right. \\
\left.-\frac{4}{3} \mu u u_{X}-\lambda T_{X}\right\}=C,
\end{array}
\]

где $A, B$ и $C$ – постоянные интегрирования. При $X \rightarrow+\infty$ течение стремится $\kappa$ однородному состоянию, обозначаемому индексом 1. Постоянные $A, B$ и $C$ при этом находятся по $U, u_{1}$, $\rho_{1}, p_{1}$. Если, кроме того, течение стремится к однородному состоянию $u_{2}, \rho_{2}, p_{2}$ при $X \rightarrow-\infty$, то ясно, что состояния на $\pm \infty$ связаны условиями на разрыве (6.87)-(6.89).

Соотношения (6.127) можно также использовать для дальнейшего исследования уравнений, описывающих изменение энтропии. Уравнение (6.92) можно теперь переписать в следующем явном виде:
\[
\frac{d}{d X}\{\rho(U-u) S\}=-\frac{4 / 3 ; \mu u_{X}^{2}+\left(\lambda T_{X}\right)_{X}}{T},
\]

или – еще лучше – в виде
\[
\frac{d}{d X}\left\{\rho(U-u) S+\frac{\lambda T_{X}}{T}\right\}=-\frac{4 / 3 \mu u_{X}^{2}+\lambda T_{X}^{2}}{T} .
\]

Отсюда
\[
[\rho(U-u) S]_{1}^{2}=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{4 / 3 \mu u_{X}^{2}+\lambda T_{X}^{2}}{T} d X>0 .
\]

Теперь ясно, что изменение энтропии при переходе через ударную волну является следствием диссипации энергии за счет вязкости и теплопередачи, и это изменение автоматически записывается с нужным знаком.

Детали профиля ударной волны между предельными значениями на $\pm \infty$ определяются обыкновенными дифференциальными уравнениями (6.129). Положив $v=U-u$ и введя новые постоянные, связанные с $A, B$ и $C$, эти уравнения можно переписать так:
\[
\begin{aligned}
\rho v & =Q, \\
\rho v^{2}+p+4 / 3 \mu v_{X} & =P, \\
\left(h+\frac{1}{2} v^{2}\right) \rho v+\frac{4}{3} \mu v v_{X}+\lambda T_{X} & =E .
\end{aligned}
\]

Это уравнения стационарного течения в системе координат, движущейся вместе с ударной волной, причем положительное направление $v$ соответствует отрицательному $X$-направлению. Условия на разрыве, связывающие однородные состояния на $\pm \infty$, имеют теперь вид, соответствующий (6.95)-(6.97).

Уравнение неразрывности $\rho v=Q$ и соотношения (6.128) можно использовать для сведения системы к двум уравнениям для $v$ и $T$. Для политропного газа
\[
h=\frac{\gamma}{\gamma-1} \mathscr{R} T=c_{p} T
\]

и несколько удобнее работать $\mathbf{c} v$ и $h$. Уравнения имеют вид
\[
\begin{aligned}
\frac{4}{3} \mu v_{X} & =P-Q\left(v+\frac{\gamma-1}{\gamma} \frac{h}{v}\right), \\
\frac{\lambda}{c_{p}} h_{X}+\frac{4}{3} \mu v v_{X} & =E-Q\left(h+\frac{1}{2} v^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Качественное исследование показывает, что решение требуемого вида существует. В частном случае $\lambda / c_{p}=\frac{4}{4} / 3$, что является хорошим приближением для воздуха, существует первый интеграл и решение находится в явном виде. (Величина $\mu c_{p} / \lambda$ представляет собой число Прандтля и равняется 0,71 для воздуха при обычных температурах.) Для такого значения $\lambda / c_{p}$ уравнение (6.131) можно переписать так:
\[
\frac{4}{3} \mu\left(h+\frac{1}{2} v^{2}\right)_{X}=E-Q\left(h+\frac{1}{2} v^{2}\right) .
\]

Правая часть стремится к нулю при $X \rightarrow \infty$, так что $h_{1}+1 / 2 v_{1}^{2}=$ $=E / Q$. Следовательно, единственное решение, ограниченное при $X \rightarrow-\infty$, это
\[
h+\frac{1}{2} v^{2}=\frac{E}{Q}
\]

всюду. В этом случае величина $h+1 / 2 v^{2}$ не только одинакова по обе стороны от ударной волны, но остается постоянной по всей ударной волне. Уравнение (6.130) тогда принимает вид
\[
\frac{4}{3} \mu v_{X}=P-Q\left(\frac{\gamma+1}{2 \gamma} v+\frac{\gamma-1}{\gamma} \frac{E}{Q} \frac{1}{v}\right) .
\]

Поскольку постоянные должны быть такими, чтобы правая часть обращалась в нуль как при $v=v_{1}$, так и при $v=v_{2}$, это уравнение можно переписать иначе:
\[
\frac{4}{3} \mu v_{X}=\frac{\gamma+1}{2 \gamma} Q \frac{\left(v_{1}-v\right)\left(v-v_{2}\right)}{v} .
\]

Это уравнение легко интегрируется, что дает
\[
\frac{3 Q}{4 \mu} \frac{\gamma+1}{2 \gamma} X=\frac{v_{2}}{v_{1}-v_{2}} \ln \left(v-v_{2}\right)-\frac{v_{1}}{v_{1}-v_{2}} \ln \left(v_{1}-v\right) .
\]

В нашем случае $Q=\rho_{1} v_{1}$, так что толщина ударного слоя пропорциональна
\[
\frac{4 \mu}{3 \rho_{1}} \frac{2 \gamma}{\gamma+1} \frac{1}{v_{1}-v_{2}} .
\]

Как и ожидалось, она становится меньше, если $\mu$ убывает при фиксированной интенсивности волны, а также если интенсивность волны возрастает при фиксированном $\mu$.