В своих классических исследованиях волнового уравнения Адамар указал, что общий характер решения различен для четного и нечетного числа пространственных измерений. Точные утверждения будут приведены ниже, но можно грубо сформулировать результат, сказав, что иметь дело с нечетным числом измерений проще, чем с четным. Поэтому трехмерный случай сферической симметрии был рассмотрен первым, и цилиндрическое волновое решение будет выведено из сферического волнового решения. Здесь мы получим решение только для уходящих волн.

Мы начнем с решения (7.24) для точечного источника. Предположим, что такие источники распределены равномерно вдоль оси $z$ с плотностью $q(t)$ на единицу длины (см. рис. 7.2). Полное возмущение, создаваемое этим распределением, является, очевидно, функцией только от расстояния $r$ до оси $z$ и от времени $t$; это и есть цилиндрическая волна, генерируемая линейным источником. Полное возмущение равно
\[
\varphi(r, t)=-\frac{1}{4 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{q(t-R / c) d z}{R}=-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\infty} \frac{q(t-R / c) d z}{R},
\]

где $R=\sqrt{r^{2}+z^{2}}$.
Решение можно записать в различных формах. Подставив в интеграл $z=r \operatorname{sh} \zeta, R=r \operatorname{ch} \zeta$, получим
\[
\varphi(r, t)=-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\infty} q\left(t-\frac{r}{c} \operatorname{ch} \zeta\right) d \zeta .
\]

С другой стороны, положив
\[
t-\frac{R}{c}=\eta, \quad z=c \sqrt{(t-\eta)^{2}-r^{2} / c^{2}},
\]

получим
\[
\varphi(r, t)=-\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{t-r / c} \frac{q(\eta) d \eta}{V(t-\eta)^{2}-r^{2} / c^{2}} .
\]

Рис. 7.2. Детали настроения для линейного источника.

Формула (7.28) удобнее для вычисления производных $\varphi$ и, следовательно, для непосредственной проверки справедливости волнового уравнения. Легко показать, что
\[
\begin{aligned}
c^{2}\left(\varphi_{r r}+\frac{1}{r} \varphi_{r}\right)-\varphi_{t t} & =\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\infty} \frac{d}{d \zeta}\left\{\frac{c}{r} \operatorname{sh} \zeta q^{\prime}\left(t-\frac{r}{c} \operatorname{ch} \zeta\right)\right\} d \zeta= \\
& =\lim _{\zeta \rightarrow \infty}\left\{\frac{c}{2 \pi r} \operatorname{sh} \zeta q^{\prime}\left(t-\frac{r}{c} \operatorname{ch} \zeta\right)\right\} .
\end{aligned}
\]

Если $q^{\prime}(t) \rightarrow 0$ достаточно быстро при $t \rightarrow-\infty$, например, если $q$ тождественно равно нулю при $t<0$, то этот предел равен нулю.

Для периодического источника $q(t)=e^{-i \omega t}$, чтобы удовлетворить условию $q(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow-\infty$, будем считать, что $\omega$ имеет малую положительную мнимую часть, незначительно изменяющую решение за конечные интервалы времени. Согласно (7.28), решение для периодического источника имеет вид
или
\[
\varphi=-H_{0}^{(1)}\left(\frac{\omega r}{c}\right) e^{-i \omega t},
\]

поскольку интеграл совпадает с одним из представлений функции Ганкеля. Это решение можно было бы получить проще, решив

волновое уравнение методом разделения переменных. Интеграл Фурье от таких элементарных решений дает другой вывод формулы (7.28).

Первые производные $\varphi$ описывают важные физические величины (давление и скорость в акустике). Делая в (7.28) подстановку $\operatorname{ch} \zeta=c(t-\eta) / r$, получаем
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{t}=-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\infty} q^{\prime}\left(t-\frac{r}{c} \operatorname{ch} \zeta\right) d \zeta=-\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{t-r / c} \frac{q^{\prime}(\eta) d \eta}{\sqrt{(t-\eta)^{2}-r^{2} / c^{2}}} . \\
\varphi_{r}=\frac{1}{2 \pi c} \int_{0}^{\infty} \operatorname{ch} \zeta q^{\prime}\left(t-\frac{r}{c} \operatorname{ch} \zeta\right) d \zeta= \\
=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{t-r / c} \frac{t-\eta}{r} \frac{q^{\prime}(\eta) d \eta}{\sqrt{(t-\eta)^{2}-r^{2} / c^{2}}} .
\end{array}
\]

Эти формулы можно также вывести непосредственно из (7.29), использовав разумное интегрирование по частям, чтобы избежать расходящихся интегралов, или понятие «конечной части» интеграла по Адамару. Последнее включается в подход, использующий теорию обобщенных функций.
Поведение вблизи начала координат
Из последней формулы (7.30) следует, что
\[
\varphi_{r} \sim \frac{1}{2 \pi r} \int_{-\infty}^{t} q^{\prime}(\eta) d \eta=\frac{1}{2 \pi r} q(t) \text { при } r \rightarrow 0 .
\]

Отсюда расход на единицу длины линейного источника равен
\[
\lim _{r \rightarrow 0} 2 \pi r \varphi_{r}=q(t)
\]

что подтверждает наше определение $q(t)$. Имеем также
\[
\varphi \sim \frac{q(t)}{2 \pi} \ln r
\]

но часто требуется следующий член разложения. Интегрируя выражение (7.29) по частям, получаем
\[
\varphi=-\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{t-r / c} q^{\prime}(\eta) \ln \left\{\frac{(t-\eta)+\sqrt{(t-\eta)^{2}-r^{2} / c^{2}}}{r / c}\right\} d \eta .
\]

Если теперь это выражение при малых $r$ заменить на
\[
\varphi \sim-\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{t} q^{\prime}(\eta) \ln \frac{2 c(t-\eta)}{r} d \eta, \quad \frac{r}{c t} \rightarrow 0,
\]

то аккуратными оценками можно показать, что ошибки пропорциональны $r$. Выражение для $\varphi_{t}$ получается из (7.31) заменой $q^{\prime}(\eta)$ на $q^{\prime \prime}(\eta)$.
Поведение вблизи волнового фронта и на больших расстояниях
Если $q(t)=0$ при $t<0$, то нижний предел в интеграле (7.29) можно положить равным нулю и решение отлично от нуля лишь при $t-r / c>0$. Первый сигнал прибывает с волновым фронтом $t-r / c=0$. Введем переменную
\[
\tau=t-\frac{r}{c},
\]

измеряющую время, прошедшее после прибытия волнового фронта; тогда (7.29) можно переписать так:
\[
\varphi=-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\tau} \frac{q(\eta) d \eta}{\sqrt{(\tau-\eta)(\tau-\eta+2 r / c)}}, \quad \tau=t-\frac{r}{c}>0 .
\]

Поскольку $\eta$ меняется от 0 до $\tau$, при $c \tau / r \ll 1$ второй сомножитель под знаком корня можно приближенно заменить на $2 r / c$. Отсюда
\[
\varphi \sim-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\tau} \frac{q(\eta) d \eta}{\sqrt{\tau-\eta}}\left(\frac{c}{2 r}\right)^{1 / 2}, \frac{c \tau}{r} \ll 1 .
\]

Таким образом, имеем.
\[
\varphi \sim-\left(\frac{c}{2 r}\right)^{1 / 2} Q(t-r / c), \quad \frac{c t-r}{r} \ll 1,
\]

где
\[
Q(\tau)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\tau} \frac{q(\eta) d \eta}{\sqrt{\tau-\eta}} .
\]

Выражение (7.32) можно сравнить с выражениями (7.20) и (7.24). Во всех трех случаях амплитуда убывает как $r^{-(n-1) / 2}$, где $n$ – размерность пространства. В данном случае, однако, соответствующая формула не подходит и $Q$ не является просто интенсивностью источника. Простая интерпретация указанной зависимости амплитуды будет приведена в § 7.7 (уравнение (7.70)).

Разложение (7.32) можно продолжить, заметив, что
\[
\begin{aligned}
\varphi & =-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\tau} \frac{q(\eta)}{(\tau-\eta)^{1 / 2}}\left(\frac{c}{2 r}\right)^{1 / 2}\left\{1+c \frac{(\tau-\eta)}{2 r}\right\}^{-1 / 2} d \eta= \\
& =-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\tau} \frac{q(\eta)}{(\tau-\eta)^{1 / 2}}\left(\frac{c}{2 r}\right)^{1 / 2} \sum_{m=0}^{\infty}\left(\begin{array}{c}
-1 / 2 \\
m
\end{array}\right)\left\{\frac{c(\tau-\eta)}{2 r}\right\}^{m} d \eta= \\
& =-\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(m-1 / 2) !}{(-m-1 / 2) !} \frac{Q_{m}(\tau)}{m !}\left(\frac{c}{2 r}\right)^{m+1 / 2}, \quad \frac{c \tau}{2 r}<1
\end{aligned}
\]

где
\[
Q_{m}(\tau)=\frac{(-1 / 2) !}{(m-1 / 2) !} \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\tau} q(\eta)(\tau-\eta)^{m-1 / 2} d \eta .
\]

Интересно, что если $q(+0)>0$, так что источник при включении имел конечную интенсивность, то
\[
Q_{m}(\tau) \sim \tau^{m+1 / 2}, \quad \tau \rightarrow 0 .
\]

Таким образом, разложение по времени после прохождения волнового фронта происходит по полуцелым степеням.
Хвост цилиндрической волны
Одним из важных различий между нечетным и четным числом измерений, замеченных Адамаром, является поведение решения для источника, действующего в течение конечного интервала времени. Предположим, что $q(t)$ равна нулю вне интервала времени $0<t<T$. Для плоских или сферических волн из (7.20) ${ }^{1}$ ) и (7.24) видно, что возмущение ограничено интервалами
\[
\frac{x}{c}<t<\frac{x}{c}+T \text { и } \frac{R}{c}<t<\frac{R}{c}+T
\]

соответственно. Первый сигнал прибывает с волновым фронтом, покинувшим источник при $t=0$; это должно быть верно независимо от размерности. Интересно то, что возмущение прекращается вместе с сигналом, покинувшим источник в последний момент времени $t=T$. Для цилиндрической волны выражение (7.29) содержит интеграл от интенсивности источника $q(t)$ и возмущение
1) Для (7.20) задается $\varphi_{x}$, так что под «возмущением» мы понимаем величины $\varphi_{x}$ и $\varphi_{t}$; то обстоятельство, что $\varphi$ может быть отличной от нуля постоянной при $t>x / c+T$, не считается возмущением.

продолжается после $t=r / c+T$. Имеем
\[
\varphi=-\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{T} \frac{q(\eta) d \eta}{\sqrt{(t-\eta)^{2}-r^{2} / c^{2}}}, \quad t>\frac{r}{c}+T .
\]

Дэя фиксированного $r$
\[
\Psi \sim-\left\{\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{T} q(\eta) d \eta\right\} \frac{1}{t}, \quad t \rightarrow \infty .
\]

Возмущение стремится к нулю только асимптотически при $t \rightarrow \infty$.