Простая волна — это возмущение, распространяющееся по одному из трех семейств характеристик. Для задачи Коши с начальными
Рчс. 6.4. Задача Коши в газовой динамике.

данными общего вида волны распространяются по всем трем семействам, если начальные условия сами не удовлетворяют соотношениям простой волны. Если начальные условия однородны с $u=0,a=a_0,S=S_0$ всюду, за исключением отрезка $a⩽x⩽b$, то $(x,t)$-диаграмма имеет вид, изображенный на рис. 6.4. Имеется область взаимодействия $adceb$, но затем, если не возникают ударные волны, возмущение распадается на три простые волны, как пока-

зано на рисунке. Их существование можно установить, заметив, что в каждой из них две характеристики выходят из области с однородными начальными условиями.

В областях, расположенных между простыми волнами, все три характеристики выходят из той или другой области с однородными начальными условиями; следовательно, в них имеется однородное состояние с $u=0,a=a_0,S=S_0$. Как только найдено решение в области взаимодействия, простые волны можно описать аналитически (как и в § 6.8) с граничными условиями, диктуемыми областью взаимодействия.

Если энтропия первоначально всюду одинакова, то течение является изэнтропическим. Тогда на рис. $6.4P$-волна отсутствует и область взаимодействия ограничивается треугольником $abc$.

На практике решение в области взаимодействия чаще всего находится численно. Однако в изэнтропическом случае можно сделать некоторые аналитические упрощения; соответствующая задача была полностью решена Риманом. Для изэнтропического течения вместо $\rho$ можно использовать $a$ и переписать уравнения в виде
$$\begin{array}{l}{a}_t+u{a}_x+\frac{\gamma -1}{2}a{u}_x=0,\\ u_t+u{u}_x+\frac{2}{\gamma -1}a{a}_x=0.\end{array}$$

Уравнения такого вида преобразуются в линейную систему уравнений, если зависимые и независимые переменные поменять ролями; это так называемое «преобразование годографа». При таком преобразовании
$$x_u=\frac{-a_t}{J},x_a=\frac{u_t}{J},t_u=\frac{a_x}{J},t_a=-\frac{u_x}{J},$$

где $J$ — якобиан
$$J=u_t{a}_x-a_t{u}_x.$$

Поскольку уравнения (6.121) квазилинейны и однородны, якобиан сокращается и уравнения принимают вид
$$\begin{array}{l}{x}_u+u{t}_u+\frac{\gamma -1}{2}a{t}_a=0,\\ x_a-u{t}_a+\frac{2}{\gamma -1}a{t}_u=0.\end{array}$$

Это линейные уравнения для $x(u,a)$ и $t(u,a)$. Заметим важность того обстоятельства, что якобиан $J$ сокращается: в противном случае уравнения были бы существенно нелинейны.

Уравнение для $t(u,a)$ можно получить, исключив $x$ перекрестным дифференцированием. Тогда
$${\left(\frac{\gamma -1}{2}\right)}^2{t}_{aa}+\frac{{\gamma }^2-1}{4}\frac{1}{a}{t}_a=t_{uu}.$$

Полагая $b=2a/(\gamma -1),n=(\gamma +1)/(2(\gamma -1))$, перепитем это уравнение так:
$$t_{bb}+\frac{2n}{b}{t}_b=t_{uu}.$$

При $n=1$ это — волновое уравнение в сферически симметричном случае, имеющее сравнительно простое общее решение. Действительно, если $n$ — произвольное целое число, то можно проверить, что общее решение имеет вид
$$t={(\frac{{\partial }^2}{\partial u^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial b^2})}^{n-1}\left\{\frac{F(u+b)+G(u-b)}{b}\right\},$$

где $F$ п $G$ — произвольные функции. К счастью, два практически интересных случая с $\gamma =5/3$ и $\gamma =7/5$ описываются приведенным решением с $n=2$ и $n=3$ соответственно. Инвариавты Римана равны $u\pm b$, так что это выражение полностью определяет основную характеристическую структуру.
В линеаризованном приближении уравнения (6.121) имеют вид
$$a_t+\frac{\gamma -1}{2}{a}_0{u}_x=0,u_t+\frac{2}{\gamma -1}{a}_0{a}_x=0,$$

и общим решением является
$$\begin{array}{rl}u& =f(x-a_{0}t)+g(x+a_{0}t),\\ b-b_0& =\frac{2}{\gamma -1}(a-a_0)=f(x-a_{0}t)-g(x+a_{0}t).\end{array}$$

Нелинейное решение записывается в форме, соответствующей обращению этих соотношений.
Для задачи Коши $a$ и $u$ — заданные функции
$$a=A(x{)}_{2}u=\mathcal{U}(x)\text{ при }t=0.$$

В принципе эти выражения определяют в параметрическом виде некоторую кривую $y_{\text{в }}(b,u)$-плоскости, на которой заданы $x$ и $t=0$. Этих двух граничных условий достаточно для определения решения в соответствующем характеристическом треугольнике ${}^1$ ). На практике, однако, как было указано выше, обычно используют численное решение в $(x,t)$-плоскости.

Для простых волн либо $u+b$, либо $u-b$ постоянно, так что отображение в ( $u,b$ )-плоскость вырожденное: вся область простой волны на $(x,t)$-плоскости отображается в кривую на $(u,b)$-плоскости. Тогда взаимодействие двух простых волн на ( $u,b$ )-плоскости можно описать решением с переменной $t$, заданной на характеристиках
$$u+b=b_1,u-b=b_2.$$

Определение функций $F$ и $G$ в этом случае проще. Решение можно также найти и для произвольного значения $\gamma$; подробности указаны в книге Куранта и Фридрихса [1]. Данный анализ ограничен течениями без ударных волн и, по-видимому, представляет в основном академический интерес; в силу этого, мы не приводим здесь детали.