Простая волна – это возмущение, распространяющееся по одному из трех семейств характеристик. Для задачи Коши с начальными
Рчс. 6.4. Задача Коши в газовой динамике.
данными общего вида волны распространяются по всем трем семействам, если начальные условия сами не удовлетворяют соотношениям простой волны. Если начальные условия однородны с $u=0, a=a_{0}, S=S_{0}$ всюду, за исключением отрезка $a \leqslant x \leqslant b$, то $(x, t)$-диаграмма имеет вид, изображенный на рис. 6.4. Имеется область взаимодействия $a d c e b$, но затем, если не возникают ударные волны, возмущение распадается на три простые волны, как пока-
зано на рисунке. Их существование можно установить, заметив, что в каждой из них две характеристики выходят из области с однородными начальными условиями.
В областях, расположенных между простыми волнами, все три характеристики выходят из той или другой области с однородными начальными условиями; следовательно, в них имеется однородное состояние с $u=0, a=a_{0}, S=S_{0}$. Как только найдено решение в области взаимодействия, простые волны можно описать аналитически (как и в § 6.8) с граничными условиями, диктуемыми областью взаимодействия.
Если энтропия первоначально всюду одинакова, то течение является изэнтропическим. Тогда на рис. $6.4 P$-волна отсутствует и область взаимодействия ограничивается треугольником $a b c$.
На практике решение в области взаимодействия чаще всего находится численно. Однако в изэнтропическом случае можно сделать некоторые аналитические упрощения; соответствующая задача была полностью решена Риманом. Для изэнтропического течения вместо $\rho$ можно использовать $a$ и переписать уравнения в виде
\[
\begin{array}{l}
a_{t}+u a_{x}+\frac{\gamma-1}{2} a u_{x}=0, \\
u_{t}+u u_{x}+\frac{2}{\gamma-1} a a_{x}=0 .
\end{array}
\]
Уравнения такого вида преобразуются в линейную систему уравнений, если зависимые и независимые переменные поменять ролями; это так называемое «преобразование годографа». При таком преобразовании
\[
x_{u}=\frac{-a_{t}}{J}, \quad x_{a}=\frac{u_{t}}{J}, \quad t_{u}=\frac{a_{x}}{J}, \quad t_{a}=-\frac{u_{x}}{J},
\]
где $J$ – якобиан
\[
J=u_{t} a_{x}-a_{t} u_{x} .
\]
Поскольку уравнения (6.121) квазилинейны и однородны, якобиан сокращается и уравнения принимают вид
\[
\begin{array}{l}
x_{u}+u t_{u}+\frac{\gamma-1}{2} a t_{a}=0, \\
x_{a}-u t_{a}+\frac{2}{\gamma-1} a t_{u}=0 .
\end{array}
\]
Это линейные уравнения для $x(u, a)$ и $t(u, a)$. Заметим важность того обстоятельства, что якобиан $J$ сокращается: в противном случае уравнения были бы существенно нелинейны.
Уравнение для $t(u, a)$ можно получить, исключив $x$ перекрестным дифференцированием. Тогда
\[
\left(\frac{\gamma-1}{2}\right)^{2} t_{a a}+\frac{\gamma^{2}-1}{4} \frac{1}{a} t_{a}=t_{u u} .
\]
Полагая $b=2 a /(\gamma-1), n=(\gamma+1) /(2(\gamma-1))$, перепитем это уравнение так:
\[
t_{b b}+\frac{2 n}{b} t_{b}=t_{u u} .
\]
При $n=1$ это – волновое уравнение в сферически симметричном случае, имеющее сравнительно простое общее решение. Действительно, если $n$ – произвольное целое число, то можно проверить, что общее решение имеет вид
\[
t=\left(\frac{\partial^{2}}{\partial u^{2}}-\frac{\partial^{2}}{\partial b^{2}}\right)^{n-1}\left\{\frac{F(u+b)+G(u-b)}{b}\right\},
\]
где $F$ п $G$ – произвольные функции. К счастью, два практически интересных случая с $\gamma=5 / 3$ и $\gamma=7 / 5$ описываются приведенным решением с $n=2$ и $n=3$ соответственно. Инвариавты Римана равны $u \pm b$, так что это выражение полностью определяет основную характеристическую структуру.
В линеаризованном приближении уравнения (6.121) имеют вид
\[
a_{t}+\frac{\gamma-1}{2} a_{0} u_{x}=0, \quad u_{t}+\frac{2}{\gamma-1} a_{0} a_{x}=0,
\]
и общим решением является
\[
\begin{aligned}
u & =f\left(x-a_{0} t\right)+g\left(x+a_{0} t\right), \\
b-b_{0} & =\frac{2}{\gamma-1}\left(a-a_{0}\right)=f\left(x-a_{0} t\right)-g\left(x+a_{0} t\right) .
\end{aligned}
\]
Нелинейное решение записывается в форме, соответствующей обращению этих соотношений.
Для задачи Коши $a$ и $u$ – заданные функции
\[
a=A(x)_{2} \quad u=\mathscr{U}(x) \text { при } t=0 .
\]
В принципе эти выражения определяют в параметрическом виде некоторую кривую $y_{\text {в }}(b, u)$-плоскости, на которой заданы $x$ и $t=0$. Этих двух граничных условий достаточно для определения решения в соответствующем характеристическом треугольнике ${ }^{1}$ ). На практике, однако, как было указано выше, обычно используют численное решение в $(x, t)$-плоскости.
Для простых волн либо $u+b$, либо $u-b$ постоянно, так что отображение в ( $u, b$ )-плоскость вырожденное: вся область простой волны на $(x, t)$-плоскости отображается в кривую на $(u, b)$-плоскости. Тогда взаимодействие двух простых волн на ( $u, b$ )-плоскости можно описать решением с переменной $t$, заданной на характеристиках
\[
u+b=b_{1}, \quad u-b=b_{2} .
\]
Определение функций $F$ и $G$ в этом случае проще. Решение можно также найти и для произвольного значения $\gamma$; подробности указаны в книге Куранта и Фридрихса [1]. Данный анализ ограничен течениями без ударных волн и, по-видимому, представляет в основном академический интерес; в силу этого, мы не приводим здесь детали.
