Интересно, что уравнения (8.59) – (8.61) оказываются гиперболическими и описывают волновое движение возмущений, распространяющихся вдоль фронта ударной волны. По небольшом размышлении становится ясно, что этого следовало ожидать. Течение в области за деформирующейся ударной волной содержит двумерные волны, распространяющиеся с локальной скоростью звука относительно локального течения, как показано на рис. 8.5.
Рис. 8.5. Цилиндрические волны, возникающие при дифракции ударной волны.
Наши приближенные уравнения некоторым образом описывают след этих цилиндрических волн при их пересечении с ударной волной.
Волновое распространение возмущений по ударной волне проявляется при изучении уравнений в характеристической форме
При подстановке $A=A(M)$ в уравнения (8.59) и (8.60) они принимают вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \theta}{\partial \beta}-\frac{A^{\prime}(M)}{M} \frac{\partial M}{\partial \alpha}=0, \\
\frac{\partial \theta}{\partial \alpha}+\frac{1}{A(M)} \frac{\partial M}{\partial \beta}=0 .
\end{array}
\]
Характеристическая форма такова:
\[
\left(\frac{\partial}{\partial \alpha} \pm c \frac{\partial}{\partial \beta}\right)\left(\theta \pm \int \frac{d M}{A c}\right)=0,
\]
где $c$-функция от $M$, определяемая как
\[
c(M)=\sqrt{\frac{-M}{A A^{\prime}}} .
\]
Поскольку $A^{\prime}(M)<0$, характеристики вещественны, и мы имеем нелинейные волны, распространяющиеся со скоростями
\[
\frac{d \beta}{d \alpha}= \pm c
\]
в $(\alpha, \beta)$-пространстве. Эти волны переносят изменения формы и интенсивности ударной волны по самой ударной волне. Инварианты Римана даются уравнением (8.66), а именно
\[
\begin{array}{ll}
\theta+\int \frac{d M}{A c}=\text { const } \quad \text { на } \quad \frac{d \beta}{d \alpha}=c, \\
\theta-\int \frac{d M}{A c}=\text { const } \quad \text { на } \quad \frac{d \beta}{d \alpha}=-c .
\end{array}
\]
Эти уравнения во всех смыслах аналогичны исходным уравнениям одномерной нелинейной газовой динамики, изученным в гл. 6 , и развитые там идеи и методы можно применить к волнам, распространяющимся вдоль ударной волны.
Зависимость $A(M)$ выводится из уравнения (8.25), которое можно переписать в виде
\[
\frac{1}{A} \frac{d A}{d M}=-\frac{M}{M^{2}-1} \lambda(M) .
\]
Отсюда
\[
A c=\left\{\frac{M^{2}-1}{\lambda(M)}\right\}^{1 / 2},
\]
и интеграл в формулах для инвариантов Римана равен
\[
\omega(M)=\int_{1}^{M} \frac{d M}{A c}=\int_{1}^{M}\left\{\frac{\lambda(M)}{M^{2}-1}\right\}^{1 / 2} d M .
\]
Могут оказаться полезными явные формулы для слабых ударных волн с $M-1 \ll 1$ и для сильных ударных волн с $M \gg 1$.
Эти формулы имеют вид
\[
\left.\begin{array}{rlrl}
\lambda & \sim 4, & \frac{A}{A_{0}} & \sim \frac{\left(M_{0}-1\right)^{2}}{(M-1)^{2}}, \\
A c & \sim\left(\frac{M-1}{2}\right)^{1 / 2}, & \omega(M) & \sim 2^{3 / 2}(M-1)^{1 / 2}
\end{array}\right\} \text { при } M \rightarrow 1
\]
и
\[
\left.\begin{array}{ll}
\lambda \sim n=5,0743 \text { для } \gamma=1,4, & \frac{A}{A_{0}} \sim\left(\frac{M_{0}}{M}\right)^{n}, \\
A c \sim n^{-1 / 2} M, & \omega(M) \sim n^{1 / 2} \ln M
\end{array}\right\} \text { при } M \rightarrow \infty .
\]
Характеристические соотношения проще всего получаются в $(\alpha, \beta)$-координатах, но в приложениях к конкретным краевым задачам иногда предпочтительнее описание в декартовых координатах $(x, y)$. Выражения (8.68) и (8.69) простыми выкладками преобразуются к нужной форме. Заметим, что
\[
\frac{d y}{d x}=\frac{y_{\alpha}+y_{\beta} d \beta / d \alpha}{x_{\alpha}+x_{\beta} d \beta / d \alpha},
\]
где $x_{\alpha}=M \cos \theta, y_{\alpha}=M \sin \theta, x_{\beta}=-A \sin \theta, \quad y_{\beta}=A \cos \theta$. Следовательно, характеристики $d \beta / d \alpha= \pm c$ записываются как
\[
\frac{d y}{d x}=\operatorname{tg}(\theta \pm m)
\]
где
\[
\operatorname{tg} m=\frac{A c}{M}=\left(-\frac{A}{M A^{\prime}}\right)^{1 / 2},
\]
а характеристические уравнения принимают вид
\[
\theta \pm \omega(M)=\text { const на } C_{ \pm}: \frac{d y}{d x}=\operatorname{tg}(\theta \pm m) .
\]
Значения $m(M)$ и $\omega(M)$ приведены в табл. 8.3, заимствованной из статьи Брисона и Гросса [1].
Последние уравнения можно вывести и непосредственно из двумерной формы уравнений (8.50) и (8.51). При $\alpha_{x}=\cos \theta / M$, $\alpha_{y}=\sin \theta / M$ эквивалентная система уравнений для $\theta$ и $M$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\sin \theta}{M}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\cos \theta}{M}\right)=0, \\
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\cos \theta}{A}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\sin \theta}{A}\right)=0 .
\end{array}
\]
Таблица 8.3
Несколько более длинные непосредственные вычисления показывают, что характеристические уравнения совпадают с приведенными выше.
