При обсуждении волнового уравнения было выявлено большинство основных идей линейной теории гиперболических волн в пространствах двух и трех измерений, и теперь мы обратимся к нелинейным эффектам. Для плоских волн в однородной среде оказалось возможным разработать законченную нелинейную теорию. Однако в противоположность линейной теории, которая была почти тривиальной, здесь потребовались глубокие идеи и изощренные методы. Значительные труднөсти ожидаются в задачах с бопьшим числом измерений или в случае неоднородной среды, где даже линейная теория становится сложной. Цилиндрические и сферические волны все еще описываются двумя независимыми переменными, но возникает некоторое усложнение, поскольку уравнения для них содержат переменные коэффициенты. Аналогичная ситуация имеет место для плоских волн в неоднородной среде.

В общем случае двух- или трехмерного распространения приходится иметь дело с бо́льшим числом независимых переменных и геометрия становится еще сложнее; не удивительно поэтому, что приходится прибегать к приближенным методам. В самом деле, единственные точные решения, которые удается найти, это автомодельные решения для частных задач, и даже в них обычно требуется численное интегрирование приведенных уравнений. Автомодельные решения для цилиндрических и сферических волн и для волн в неоднородной среде были рассмотрены в $\$ 6.16$, о других речь пойдет ниже. Наряду с автомодельными решениями приходится использовать приближенные теории или численные методы.

Эта и следующая главы посвящены некоторым приближенным теориям, созданным для изучения распространения ударных волн в таких условиях. Изложение проводится для ударных волн в газах, но идеи и математическую технику можно использовать и для аналогичных задач из других областей.

Наиболее очевидный способ приближения для таких задач состоит в том, что их можно рассматривать как малые возмущения более простых задач с известными решениями. Например, плоскую волну, распространяющуюся в слегка неоднородной среде или вдоль слегка гофрированной стенки, можно рассматривать как возмущение однородного случая. Задача, подобная этой, будет подробно проанализирована ниже, поскольку она оказывается необходимой в иной связи; будут указаны и другие задачи. Но

методы, соответствующие возмущениям такого типа, обычно очевидны, и возникающие математические задачи, хотя зачастую и трудные, уже не связаны с какими-либо новыми аспектами поведения волн. Мы снова не ставим своей задачей развивать чисто математические методы и переносим внимание на приближения, по существу связанные с распространением волн.

Основываясь на интуиции, можно сказать, что трудности в этих задачах обусловлены сочетанием двух эффектов: ударная волна приспосабливается к изменению геометрии (или среды) и в то же время вовлекается в сложное нелинейное взаимодействие с течением позади нее. Нелинейные плоские волны свободны от первого, линейные неплоские волны свободны от второго. Если в более общем случае сравнительно просто учесть один из эффектов, так что можно сосредоточить внимание на втором әффекте, то можно надеяться, что удастся развить приближенную теорию.

Эта глава посвящена задачам, в которых основную роль играют нелинейные геометрические әффекты и взаимодействие с течением позади ударной волны не приводит к существенным изменениям в ее движении. «Динамика ударных волн»,- по-видимому, подходящее название, поскольку движение ударной волны решающим образом действует на течение всей жидкости. В следующей гтаве мы рассмотрим задачи, для которых справедливо скорее обратное. Это задачи о слабых ударных волнах, и основная идея заключается в том, что для слабых ударных волн геометрические эффекты, хотя и важные, можно без изменения заимствовать из линейной теории. Тогда нелинейный анализ состоит во введении в рамках этой геометрии основных эффектов нелинейного взаимодействия с течением.

В обоих случаях приближения проводятся на интуитивном уровне и основаны на включении известных эффектов в математическое описание. Обоснование достигается проверками на частных случаях, которые допускают точное решение, и сравнением с наблюдениями. Эти задачи слишком трудны для обычных приближенных методов.

При изучении динамики ударных волн описание будет основано на картине, даваемой геометрической оптикой. При этом геометрия течения описывается в терминах волновых фронтов, распространяющихся по трубкам лучей, причем для изотропной среды лучи являются ортогональными траекториями последовательных положений волнового фронта. Для ударной волны, распространяющейся по неподвижному газу, среда изотропна. Поэтому по аналогии мы введем лучи, ортогональные последовательным положениям ударной волны, и выясним, как әлемент ударной волны распространяется по трубке лучей.

В то же время между ударной волной и линейным волновым фронтом существует принципиальное различие. Скорость ударной

волны в данной точке зависит от ее интенсивности, так что геометрию нельзя задать заранее независимо от определения интенсивности волны. Оба вопроса связаны между собой, и геометрия труб́ки лучей должна определяться одновременно с определением интенсивности волны по площади трубки лучей. Уравнения, соответствующие уравнениям (7.60) и (7.61), связаны между собой так, как если бы в уравнении (7.60) скорость $c$ зависела от $\Phi_{0}$. Приходится снова проанализировать весь этот вопрос.

Краеугольным камнем этой теории является распространение волн по заданной трубке с произвольным поперечным сечением, и это распространение нам необходимо изучить. Оно интересно само по себе, и, конечно, распространение в клинообразном канале идентично цилиндрическим волнам, а распространение в конусе идентично сферическим волнам, так что мы имеем возможности для изучения в дальнейшем и этих задач. Распространение плоской волны в неоднородной среде происходит аналогично, и некоторые его детали также включены в рассмотрение.