Как было отмечено ранее, только в случае, когда возникающие ударные волны имеют малую или умеренную интенсивность, для простой волны можно сохранить приближенные равенства
$$S=S_0,a=a_0+\frac{\gamma -1}{2}u.$$

Тогда, как это видно из (6.83), оставшееся уравнение можно записать в виде
$$u_t+c(u)u_x=0,c=a+u=a_0+\frac{\gamma +1}{2}u.$$

Кроме того, что соотношения (6.111) исключают два уравнения, они приближенно удовлетворяют двум условиям на разрыве, и остается одно условие, соответствующее (6.112). Поскольку этот подход приближенный, существует много различных вариантов, отличающихся членами !высшего порядка. Как мы видели в гл. 2, для уравнения вида (6.112) удобнее всего положить
$$U=\frac{c_1+c_2}{2};$$

в данном случае это сводится к
$$U=\frac{1}{2}(a_1+u_1+a_2+u_2)=a_0+\frac{\gamma +1}{4}(u_1+u_2).$$

Согласно условиям на слабом скачке,
$$\begin{array}{r}\frac{U-u_1}{a_1}-1=\frac{\gamma +1}{4\gamma }z-\frac{(\gamma +1{)}^2}{32{\gamma }^2}{z}^2+O\left(z^3\right),\\ \frac{1}{2}(\frac{a_2-a_1}{a_1}+\frac{u_2-u_1}{a_1})=\frac{\gamma +1}{4\gamma }z-\frac{(\gamma +1{)}^2}{16{\gamma }^2}{z}^2+O\left(z^3\right),\end{array}$$

так что равенство (6.114) справедливо в первом порядке по $z$, но не во втором. Это приближение является менее точным, чем (6.111). Можно найти выражение, связывающее $U$ с $u_1$ и $u_2$, верное с точностью до членов третьего порядка по $z$, но это приведет к излишнему обычно неоправданному усложнению при введении разрыва.

Задача построения линии разрыва по существу та же, что и в гл. 2, и в случае (6.113) ее решение повторяет рассуждения $\mathrm{\S }2.8$.

Можно было бы рассмотреть задачу Коши для (6.112), но эта задача является вырожденным частным случаем общей задачи Коши в газовой динамике, когда начальные условия удовлетворяют соотношениям (6.111) п течение является простой волной. Более естественно рассмотреть здесь снова задачу о поршне, где
$$u=g(t)=\dot{X}(t)\text{ при }x=X(t),$$

п завершить рассуждения $\mathrm{\S }6.8$ и 6.9 рассмотрением случая, когда образуются ударные волны ${}^1$ ). Решение имеет вид
$$\begin{array}{l}u=g(\tau ),\\ x=X(\tau )+\{a_0+\frac{\gamma +1}{2}g(\tau )\}(t-\tau ),\end{array}$$

где параметр $\tau$, выделяющий характеристику, выбирается так, что $t=\tau$ на траектории поршня. Ударные волны должны формироваться на характеристиках с $\dot{g}(\tau )>0$. Эту задачу можно было бы связать с задачей Коши, продолжив характеристики назад до оси $x$, как показано на рис. 6.3 , и положив
$$\xi =X(\tau )-\{a_0+\frac{\gamma +1}{2}g(\tau )\}\tau ,F(\xi )=a_0+\frac{\gamma +1}{2}g(\tau ).$$

Затем можно было бы применить результаты § 2.8. Однако, видимо, проще действовать непосредственно.
हРис. 6.3. Ударные волны, возникающие при движении поршня.
Рассмотрим движение передней ударной волны, распространяющейся в невозмущенную область с $u=0$ (рис. 6.3). Если траекторией разрыва является $x=s(t)$, то условие на разрыве (6.114) дает
$$\frac{ds}{dt}=a_0+\frac{\gamma +1}{4}g(\tau ),$$

а характеристическое уравнение (6.116) дает
$$s(t)=X(\tau )+\{a_0+\frac{\gamma +1}{2}g(\tau )\}(t-\tau ).$$

Решая эти два уравнения, находим $s$ и $t$ как функции параметра $\tau$, определяя таким образом ударную волну. Поскольку $\dot{X}(\tau )/a_0\ll 1$, $X(\tau )/a_0\ll \tau$ и $t\gg \tau$ на ударной волне, то равенство (6.118) можно приближенно заменить следующим равенством:
$$s(t)=\{a_0+\frac{\gamma +1}{2}g(\tau )\}t-a_0\tau .$$

Тогда имеем
$$\frac{ds}{dt}=a_0+\frac{\gamma +1}{2}g(\tau )+\{\frac{\gamma +1}{2}\dot{g}(\tau )t-a_0\}\frac{d\tau }{dt}.$$

Сравнивая это выражение с (6.117), получаем
$$\frac{\gamma +1}{4a_0}g(\tau )+\frac{\gamma +1}{2a_0}\dot{g}(\tau )t\frac{d\tau }{dt}=\frac{d\tau }{dt}.$$

Интегрируя, получаем
$$\frac{\gamma +1}{4a_0}{g}^2(\tau )t={\int }_0^{\tau }g\left({\tau }^{\prime }\right)d{\tau }^{\prime }.$$

Соотношения (6.119) и (6.120) определяют ударную волну.
Если $g(0)>0$, то ударная волна возникает сразу в начале координат. Связь между $\tau$ и $t$ имеет вид
$$\frac{\gamma +1}{4a_0}g(0)t\sim \tau$$

так что
$$s\sim \{a_0+\frac{\gamma +1}{4}g(0)\}t.$$

Ударная волна начинает распространяться со скоростью $a_0+$ $+\{(\gamma +1)/4\}g(0)$, что согласуется с (6.114).

Если поршень останавливается так, что $g(\tau )\to 0$ при $\tau \to {\tau }_0$, то асимптотическое поведение описывается соотношениями
$$\begin{array}{rl}\frac{\gamma +1}{4a_0}{g}^2(\tau )t& \sim {\int }_0^{{\tau }_0}g(\tau )d\tau ,\\ s& \sim a_{0}t+{\{(\gamma +1)a_0{\int }_0^{{\tau }_0}g(\tau )d\tau \}}^{1/2}{t}^{1/2}-a_0{\tau }_0,\\ u=g(\tau )& \sim {\{\frac{4a_0}{\gamma +1}{\int }_0^{{\tau }_0}g(\tau )d\tau \}}^{1/2}{t}^{-1/2}.\end{array}$$

Траектория ударной волны в $(x,t)$-плоскости приближенно представляется параболой, а интенсивность ударной волны убывает как $t^{-1/2}$. Между ударной волной и предельной характеристикой $\tau ={\tau }_0$ имеем
$$x\sim \{a_0+\frac{\gamma +1}{2}g(\tau )\}t-a_0{\tau }_0,$$

так что
$$u=g(\tau )\sim \frac{2}{\gamma +1}\frac{x-a_0(t-{\tau }_0)}{t}.$$

Другие ударные волны рассматриваются аналогичным образом. Если поршень возвращается в исходное состояние в момент времени $t=T$ и затем остается неподвижным, то асимптотическое поведение описывается уравновешенной $N$-волной со скачками в точках
$$x=a_0(t-{\tau }_0)\pm {\{(\gamma +1)a_0{\int }_0^{{\tau }_0}g(\tau )d\tau \}}^{1/2}{t}^{1/2},$$

причем между ними
$$u\sim \frac{2}{\gamma +1}\frac{x-a_0(t-{\tau }_0)}{t}.$$

Другие частные случаи и предельные выражения можно изучить, следуя рассуждениям, проведенным в $\mathrm{\$}2.8$.