Как было отмечено ранее, только в случае, когда возникающие ударные волны имеют малую или умеренную интенсивность, для простой волны можно сохранить приближенные равенства
\[
S=S_{0}, \quad a=a_{0}+\frac{\gamma-1}{2} u .
\]

Тогда, как это видно из (6.83), оставшееся уравнение можно записать в виде
\[
u_{t}+c(u) u_{x}=0, \quad c=a+u=a_{0}+\frac{\gamma+1}{2} u .
\]

Кроме того, что соотношения (6.111) исключают два уравнения, они приближенно удовлетворяют двум условиям на разрыве, и остается одно условие, соответствующее (6.112). Поскольку этот подход приближенный, существует много различных вариантов, отличающихся членами !высшего порядка. Как мы видели в гл. 2, для уравнения вида (6.112) удобнее всего положить
\[
U=\frac{c_{1}+c_{2}}{2} ;
\]

в данном случае это сводится к
\[
U=\frac{1}{2}\left(a_{1}+u_{1}+a_{2}+u_{2}\right)=a_{0}+\frac{\gamma+1}{4}\left(u_{1}+u_{2}\right) .
\]

Согласно условиям на слабом скачке,
\[
\begin{array}{r}
\frac{U-u_{1}}{a_{1}}-1=\frac{\gamma+1}{4 \gamma} z-\frac{(\gamma+1)^{2}}{32 \gamma^{2}} z^{2}+O\left(z^{3}\right), \\
\frac{1}{2}\left(\frac{a_{2}-a_{1}}{a_{1}}+\frac{u_{2}-u_{1}}{a_{1}}\right)=\frac{\gamma+1}{4 \gamma} z-\frac{(\gamma+1)^{2}}{16 \gamma^{2}} z^{2}+O\left(z^{3}\right),
\end{array}
\]

так что равенство (6.114) справедливо в первом порядке по $z$, но не во втором. Это приближение является менее точным, чем (6.111). Можно найти выражение, связывающее $U$ с $u_{1}$ и $u_{2}$, верное с точностью до членов третьего порядка по $z$, но это приведет к излишнему обычно неоправданному усложнению при введении разрыва.

Задача построения линии разрыва по существу та же, что и в гл. 2, и в случае (6.113) ее решение повторяет рассуждения $\S 2.8$.

Можно было бы рассмотреть задачу Коши для (6.112), но эта задача является вырожденным частным случаем общей задачи Коши в газовой динамике, когда начальные условия удовлетворяют соотношениям (6.111) п течение является простой волной. Более естественно рассмотреть здесь снова задачу о поршне, где
\[
u=g(t)=\dot{X}(t) \quad \text { при } \quad x=X(t),
\]

п завершить рассуждения $\S 6.8$ и 6.9 рассмотрением случая, когда образуются ударные волны ${ }^{1}$ ). Решение имеет вид
\[
\begin{array}{l}
u=g(\tau), \\
x=X(\tau)+\left\{a_{0}+\frac{\gamma+1}{2} g(\tau)\right\}(t-\tau),
\end{array}
\]

где параметр $\tau$, выделяющий характеристику, выбирается так, что $t=\tau$ на траектории поршня. Ударные волны должны формироваться на характеристиках с $\dot{g}(\tau)>0$. Эту задачу можно было бы связать с задачей Коши, продолжив характеристики назад до оси $x$, как показано на рис. 6.3 , и положив
\[
\xi=X(\tau)-\left\{a_{0}+\frac{\gamma+1}{2} g(\tau)\right\} \tau, \quad F(\xi)=a_{0}+\frac{\gamma+1}{2} g(\tau) .
\]

Затем можно было бы применить результаты § 2.8. Однако, видимо, проще действовать непосредственно.
हРис. 6.3. Ударные волны, возникающие при движении поршня.
Рассмотрим движение передней ударной волны, распространяющейся в невозмущенную область с $u=0$ (рис. 6.3). Если траекторией разрыва является $x=s(t)$, то условие на разрыве (6.114) дает
\[
\frac{d s}{d t}=a_{0}+\frac{\gamma+1}{4} g(\tau),
\]

а характеристическое уравнение (6.116) дает
\[
s(t)=X(\tau)+\left\{a_{0}+\frac{\gamma+1}{2} g(\tau)\right\}(t-\tau) .
\]

Решая эти два уравнения, находим $s$ и $t$ как функции параметра $\tau$, определяя таким образом ударную волну. Поскольку $\dot{X}(\tau) / a_{0} \ll 1$, $X(\tau) / a_{0} \ll \tau$ и $t \gg \tau$ на ударной волне, то равенство (6.118) можно приближенно заменить следующим равенством:
\[
s(t)=\left\{a_{0}+\frac{\gamma+1}{2} g(\tau)\right\} t-a_{0} \tau .
\]

Тогда имеем
\[
\frac{d s}{d t}=a_{0}+\frac{\gamma+1}{2} g(\tau)+\left\{\frac{\gamma+1}{2} \dot{g}(\tau) t-a_{0}\right\} \frac{d \tau}{d t} .
\]

Сравнивая это выражение с (6.117), получаем
\[
\frac{\gamma+1}{4 a_{0}} g(\tau)+\frac{\gamma+1}{2 a_{0}} \dot{g}(\tau) t \frac{d \tau}{d t}=\frac{d \tau}{d t} .
\]

Интегрируя, получаем
\[
\frac{\gamma+1}{4 a_{0}} g^{2}(\tau) t=\int_{0}^{\tau} g\left(\tau^{\prime}\right) d \tau^{\prime} .
\]

Соотношения (6.119) и (6.120) определяют ударную волну.
Если $g(0)>0$, то ударная волна возникает сразу в начале координат. Связь между $\tau$ и $t$ имеет вид
\[
\frac{\gamma+1}{4 a_{0}} g(0) t \sim \tau
\]

так что
\[
s \sim\left\{a_{0}+\frac{\gamma+1}{4} g(0)\right\} t .
\]

Ударная волна начинает распространяться со скоростью $a_{0}+$ $+\{(\gamma+1) / 4\} g(0)$, что согласуется с (6.114).

Если поршень останавливается так, что $g(\tau) \rightarrow 0$ при $\tau \rightarrow \tau_{0}$, то асимптотическое поведение описывается соотношениями
\[
\begin{aligned}
\frac{\gamma+1}{4 a_{0}} g^{2}(\tau) t & \sim \int_{0}^{\tau_{0}} g(\tau) d \tau, \\
s & \sim a_{0} t+\left\{(\gamma+1) a_{0} \int_{0}^{\tau_{0}} g(\tau) d \tau\right\}^{1 / 2} t^{1 / 2}-a_{0} \tau_{0}, \\
u=g(\tau) & \sim\left\{\frac{4 a_{0}}{\gamma+1} \int_{0}^{\tau_{0}} g(\tau) d \tau\right\}^{1 / 2} t^{-1 / 2} .
\end{aligned}
\]

Траектория ударной волны в $(x, t)$-плоскости приближенно представляется параболой, а интенсивность ударной волны убывает как $t^{-1 / 2}$. Между ударной волной и предельной характеристикой $\tau=\tau_{0}$ имеем
\[
x \sim\left\{a_{0}+\frac{\gamma+1}{2} g(\tau)\right\} t-a_{0} \tau_{0},
\]

так что
\[
u=g(\tau) \sim \frac{2}{\gamma+1} \frac{x-a_{0}\left(t-\tau_{0}\right)}{t} .
\]

Другие ударные волны рассматриваются аналогичным образом. Если поршень возвращается в исходное состояние в момент времени $t=T$ и затем остается неподвижным, то асимптотическое поведение описывается уравновешенной $N$-волной со скачками в точках
\[
x=a_{0}\left(t-\tau_{0}\right) \pm\left\{(\gamma+1) a_{0} \int_{0}^{\tau_{0}} g(\tau) d \tau\right\}^{1 / 2} t^{1 / 2},
\]

причем между ними
\[
u \sim \frac{2}{\gamma+1} \frac{x-a_{0}\left(t-\tau_{0}\right)}{t} .
\]

Другие частные случаи и предельные выражения можно изучить, следуя рассуждениям, проведенным в $\$ 2.8$.