В связи с общим использованием вариационных принципов, введенных в гл. 11, важно иметь вариационную формулировку задачи о волнах на воде. В явном виде ее, по-видимому, до последнего времени не было, и лишь сравнительно недавно она была дана в статье Льюка [2]. Конечно, хорошо известно, что уравнение Лапласа можно получить из принципа Дирихле
\[
\delta \iiint \frac{1}{2}(
abla \varphi)^{2} d \mathbf{x} d y d t=0,
\]

но Льюк показал, что вариационный принцип
\[
\begin{array}{c}
\delta \int_{R} L d \mathbf{x} d t=0, \\
L=-\rho \int_{-h_{\theta}}^{\eta}\left\{\varphi_{t}+\frac{1}{2}(
abla \varphi)^{2}+g y\right\} d y
\end{array}
\]

дает, кроме того, и требуемые граничные условия. Здесь $R$ – произвольная область в $(\mathbf{x}, t$ )-пространстве. Когда выражение (13.17) подставлено в (13.16), интегрирование проводится по области $R_{1}$ в $(\mathbf{x}, y, t)$-пространстве, состоящей из точек, для которых $(\mathbf{x}, t) \in$ $\in R$ и $-h_{0} \leqslant y \leqslant \eta$. Входящие в выражение (13.17) члены $\varphi_{t}$ и $g y$, дополнительные по сравнению с принципом Дирихле (13.15), влияют только на граничные условия, поскольку они интегрируются и дают вклад лишь на границе области $R_{1}$.
Для малых отклонений $\delta \varphi$ от $\varphi$ имеем
\[
\begin{array}{l}
-\delta \iint \frac{L}{\rho} d \mathbf{x} d t=\iint_{R}\left\{\int_{-h_{0}}^{\eta}\left(\delta \varphi_{t}+
abla \varphi \cdot
abla \delta \varphi\right) d y\right\} d \mathbf{x} d t= \\
\quad=\iint_{R}\left\{\frac{\partial}{\partial t} \int_{-h_{0}}^{\eta} \delta \varphi d y+\frac{\partial}{\partial x_{i}} \int_{-h_{0}}^{\eta} \varphi_{x_{i}} \delta \varphi d y\right\} d \mathbf{x} d t- \\
\quad-\int_{R} \int\left\{\int_{-h_{0}}^{\eta}\left(\varphi_{x_{i} x_{i}}+\varphi_{y y}\right) \delta \varphi d y\right\} d \mathbf{x} d t- \\
\quad-\int_{R} \int_{t}\left[\left(\eta_{t}+\varphi_{x_{i}} \eta_{x_{i}}-\varphi_{y}\right) \delta \varphi\right]_{y=\eta} d \mathbf{x} d t+ \\
\quad+\int_{R}\left[\left(\varphi_{x_{i}} h_{0 x_{i}}+\varphi_{y}\right) \delta \varphi\right]_{y=-h_{0}} d \mathbf{x} d t .
\end{array}
\]
(По повторяющимся индексам $i$ проводится суммирование с $i=$ $=1,2$.) Первый член после интегрирования дает вклад только на границе области $R$ и обращается в нуль, если выбрать $\delta \varphi$ равной нулю на границе области $R$. Если (13.18) должно обращаться в нуль для всех $\delta \varphi$, то необходимо
\[
\begin{aligned}
\varphi_{x_{i} x_{i}}+\varphi_{y y}=0, & -h_{0}<y<\eta, \\
\eta_{t}+\varphi_{x_{i}} \eta_{x_{i}}-\varphi_{y}=0, & y=\eta, \\
\varphi_{x_{i}} h_{0 x_{i}}+\varphi_{y}=0, & y=-h_{0} .
\end{aligned}
\]

Чтобы получить первое уравнение, выберем $\delta \varphi=0$ при $y=\eta$ и $y=-h_{0}$, а потом используем обычные вариационные рассуждения. Затем после исключения первых двух членов выражения (13.18) подходящий выбор $\delta \varphi>0$ при $y=\eta, \delta \varphi=0$ при $y=-h_{0}$ дает граничное условие при $y=\eta$; аналогичным образом выбор $\delta \varphi=0$ при $y=\eta, \delta \varphi>0$ при $y=-h_{0}$ дает граничное условие при $y=-h_{0}$.
Для вариации $\delta \eta$ из (13.16) – (13.17) сразу следует, что
\[
\delta \int_{R} \int_{R} d \mathbf{x} d t=-\rho \int_{R} \int_{t}\left[\varphi_{t}+\frac{1}{2}(
abla \varphi)^{2}+g y\right]_{y=\eta} \delta \eta d \mathbf{x} d t=0,
\]

и обычными рассуждениями получаем, что
\[
\left[\varphi_{t}+\frac{1}{2}(
abla \varphi)^{2}+g y\right]_{y=\eta}=0 .
\]

Уравнения (13.19) – (13.20) совпадают с уравнениями, выведенными в предыдущем параграфе, так что приведенная там формулировка содержится в (13.16) – (13.17).

Самым существенным в функционале (13.17) является то, что величина в скобках равна $p-p_{0}$, и наш принцип является принципом стационарного давления! Связь этого принципа с принципом Гамильтона подробно обсуждается Селиджером и Уиземом [1].