Волновое уравнение (1.1) встречается в акустике, теории упругости и электромагнетизме, и его основные свойства и решения вшервые были изучены в этих областях классической физики. Во всех перечисленных случаях оно, однако,не дает полного описания процесса.

В акустике исходят из уравнений для сжимаемой жидкости. Даже без учета вязкости и теплопроводности это система нелинейных уравнений относительно вектора скорости $\mathbf{u}$, плотности $\rho$ и давления $p$. Акустика описывается приближенной линейной

теорией с малыми возмущениями равновесного состояния, в котором $\mathbf{u}=0, \rho=\rho_{0}, p=p_{0}$. Уравнения тинеаризуются за счет сохранения только членов первого порядка по малым величинам $\mathbf{u}, \rho-\rho_{0}, p-p_{0}$, т. е. за счет отбрасывания всех членов со степенями малых величин выше первой и с их произведениями. Можно показать, что в этом случае и каждая компонента вектора и, и возмущения $\rho-\rho_{0}, p-p_{0}$ удовлетворяют волновому уравнению (1.1).

Найдя решение этого уравнепия при надлежащих граничных или начальных условиях, определяемых источником звука, естественно задаться рядом вопросов о связи полученного решения с исходными нелинейными уравнениями. Являются ли линейные результаты адекватными, хотя бы для малых возмущений, и не теряются ли при таком приближении какие-либо существенные качественные черты? Ести возмущения не являются малыми (как при взрыве или при движении сверхзвукового самолета и ракеты), то какие результаты можно получить непосредственно из исходных нетинейных уравнений? Какие изменепия происходят при учете вязкости и теплопроводности? Ответы на эти вопросы в газовой динамике приводят к осповным идеям нетипейных гиперболических волн. Наиболее иитересным явлением, которое описывается лишь нелипейной теорией, оказываются ударные волны, представляющие собой резкие скачки давления, плотности и скорости, например ударные волны при сильном взрыве и звуковые удары при движении высокоскоростных самолетов. Для их предсказания потребовалось развить весь сложный аппарат теории нелинейных гиперболических уравнений, а для полиого понимания понадобились апализ эффектов вязкости и пекоторые аспекты кинетической теории газов.

Таким образом, круг основных идей становится ясным уже в газовой динамике, однако изучение более сложных случаев требует развития кинетической теории. Основная математическая теория, развитая в газовой динамике, подходит для любых систем, описываемых нелинейными гиперболическими уравнениями; она использовалась и уточнялась во многих других областях.

В теории упругости классическая волновая теория также полу чается после линеаризации. Однако даже в линейном случае ситуация оказывается более сложной, поскольку исходная система уравнений приводит по существу к двум волновым уравнениям вида (1.1) для двух функций $\varphi_{1}, \varphi_{2}$ и двух скоростей $c_{1}, c_{2}$, отвечающим движению продольной и поперечной волн (волны сжатия и волны сдвига). Функции $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ связаны надлежащими граничными условиями, так что в общем случае задача гораздо сложнее, чем просто решение уравнения (1.1). На свободной поверхности упругого тела возникает новое усложнение, поскольку возможно появление поверхностных волн, так называемых волн Рэлея,

которые приближаются к диспергирующим волнам и распространяются со скоростью, промежуточной между $c_{1}$ и $c_{2}$. В силу әтих дополнительных усложнений, нелинейная теория не была развита здесь в такой степени, как в газовой динамике.

В электромагнетизме также имеется усложнение, связанное с тем, что разтичные компоненты электрического и магнитного полей, удовлетворяя уравнениям (1.1), связаны, кроме того, дополнительными уравнениями и граничными устовиями. Хотя ктассические уравнения Максвелта с самого начала записываются в линейной форме, в настоящее время значительный интерес представляет «нелинейная оптика», поскольку, например, лазеры создают волны высокой интенсивности, на которые ряд сред реагирует нелинейным образом.

Соответствующая математическая теория начинается с изучения решений уравнения (1.1). Самым простым является одномерное уравнение для плоских волн
\[
\varphi_{t t}-c_{0}^{2} \varphi_{x x}=0 .
\]

Введя новые переменные
\[
\alpha=x-c_{0} t, \quad \beta=x+c_{0} t,
\]

его можно переписать так:
\[
\varphi_{\alpha \beta}=0 .
\]

Последнее уравнение элементарно интегрируется и имеет общее решение
\[
\varphi=f(\alpha)+g(\beta)=f\left(x-c_{0} t\right)+g\left(x+c_{0} t\right),
\]

где $f$ и $g-$ произвольные функции.
Это решение является комбинацией двух волн: одна с формой, описываемой функцией $f$, движется вправо со скоростью $c_{9}$, а другая с формой, описываемой функцией $g$, движется влево с такой же скоростью $c_{0}$. Еще проще было бы в случае только одной волны. Нужное для этого уравнение получается факторизацией уравнения (1.5)
\[
\left(\frac{\partial}{\partial t}-c_{0} \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+c_{0} \frac{\partial}{\partial x}\right) \varphi=0
\]

и оставлением только одного из сомножителей. Оставив
\[
\varphi_{t}+c_{0} \varphi_{x}=0,
\]

получим общее решение
\[
\varphi=f\left(x-c_{0} t\right) .
\]

Это простейшая задача гиперболических волн. Хотя классические задачи приводят к уравнению (1.5), для многих волновых

движений, изученных к настоящему времени, в действительности получается уравнение (1.10). В качестве примеров можно указать паводковые волны, волны в ледниках и волны в потоках транспорта, а также некоторые волновые явления в химических реакциях. Изложение теории этих процессов начинается в главах 2 и 3. Точно так же как в классических задачах, исходные формулировки приводят к нелинейным уравнениям, простейшее из которых имеет вид
\[
\varphi_{t}+c(\varphi) \varphi_{x}=0,
\]

где скорость распространения $c(\varphi)$ является функцией локального возмущения $\varphi$. Исследование этого обманчиво простого на вид уравнения дает все основные понятия нелинейных гиперболических волн. Мы будем следовать идеям, впервые развитым в газовой динамике, но придем к ним в более простой математической форме. Основное следствие нелинейности заключается в опрокидывании волн и возникновении ударных волн. Математическим отражением этого явления служат теория характеристик и выдетение разрывов. Все это подробно описано в гл. 2. Затем теория применяется и дополняется в гл. 3, где подробно обсуждаются вопросы паводковых и прочих волн, о которых говорилось выше.

Уравнение первого порядка (1.12) называется квазилинейным, так как оно нелинейно по $\varphi$, но линейно по производным $\varphi_{t}$ и $\varphi_{x}$. В общем нелинейном уравнении первого порядка для функции $\varphi(x, t)$ допускается произвольная функциональная связь между $\varphi$, $\varphi_{t}$ и $\varphi_{x}$. Об этом более общем случае, а также о его распространении на уравнения первого порядка с $n$ независимыми переменными речь пойдет в гл. 2.

В рамках уравнения (1.12) ударные волны появляются как разрывы функции $\varphi$. Однако при выводе уравнения (1.12) обычно используют приближения, строго говоря не справедливые в условиях возникновения ударных волн. В газовой динамике соответствующее приближение заключается в пренебрежении вязкостью и теплопроводностью. Те же самые математические эффекты можно продемонстрировать на примерах более простых, чем газовая динамика, в которой впервые были развиты соответствующие идеи. Эти әффекты будут рассматриваться в гл. 2 п в гл. 3. Самым простым является уравнение
\[
\varphi_{t}+\varphi \varphi_{x}=v \varphi_{x x},
\]

на которое, в частности, Бюргерс [1] указал как на простейшее уравнение, объединяющее типичную нелинейность с типичной тепловой диффузией, так что это уравнение обычно называют уравнением Бюргерса, хотя, вероятно, его впервые ввел Бейтмен [1]. Это уравнение привлекло еще больщее внимание, когда Хопф [1] и Коул [1] показали, что его общее репение можно получить

в явном виде. На этом типичном примере можно весьма детально исследовать различные вопросы, а затем с достаточной достоверностью использовать результаты в других случаях, когда полное решение получить невозможно и приходится ограничиваться частными или приближенными методами. Глава 4 посвящена уравнению Бюргерса и его решению.

Для двух независимых переменных, обычно времени и одной пространственной переменной, общая система, соответствующая уравнению (1.12),
\[
A_{i j} \frac{\partial u_{j}}{\partial t}+a_{i j} \frac{\partial u_{j}}{\partial x}+b_{i}=0, \quad i=1, \ldots, n,
\]

содержит $n$ неизвестных функций $u_{i}(x, t)$. (Мы будем пользоваться обычным соглашением о суммировании по повторяющемуся индекcy $j, j=1, \ldots, n$.) Для линейных систем матрицы $A_{i j}$ и $a_{i j}$ не зависят от $\mathbf{u}$, а вектор $b_{i}$ представляет собой линейное по u выражение:
\[
b_{i}=b_{i j} u_{j}
\]

заметим, что уравнение (1.5) можно записать в таком виде. Если $A_{i j}, a_{i j}, b_{i}$ – функции от вектора $\mathbf{u}$, не зависящие от его производных, то система является квазилинейной. Глава 5 начинается с обсуждения условий, необходимых для того, чтобы система (1.14) являлась гиперболической (и, следовательно, описывала гиперболические волны). Затем излагается общая теория характеристик и разрывов для таких гиперболических систем.

Эта теория была развита на основе газовой динамики, которая и обеспечила ее наиболее плодотворный физический контекст. Глава 6 содержит весьма подробный обзор по нестационарным задачам газовой динамики и сверхзвуковым течениям. В нее включены также задачи о цилиндрическом и сферическом взрывах, поскольку они сводятся к двум независимым переменным.

В главе 7 при всестороннем обсуждении репений волнового уравнения (1.1) мы обрәщаемся к двух- и трехмерным задачам. Пожалуй, в книге, посвященной распространению волн, необычно так долго откладывать этот вопрос и начинать со столь тщательного обсуждения нелинейных эффектов. Это следствие упорядочения, произведенного по числу измерений, а не по сложности понятий или доступности математического аппарата. В главе 7 освещаются свойства решений уравнения (1.1), позволяющие судить о природе рассматриваемого волнового движения и дающие возможность обобщения на другие волновые системы. Главным примером служит геометрическая оптика, которая обобщается на линейные волны в неоднородной среде и является основой для аналогичных построений, связанных с распространением разрывов в нелинейных задачах. Мы даже не пытаемся дать хотя бы

сравнительно краткий обзор огромной области дифракции и теории рассеяния, а также специальных свойств упругих и электромагнитных волн. Все они слишком обширны для того, чтобы их можно было подобающим образом изложить в книге, уже охватывающей столь широкий круг тем.

Главы 8 и 9 посвящены динамике ударных волн и задачам, связанным с явлением звукового удара. Здесь демонстрируется, как можно обойти трудности, сбусловленные нелинейным характером задачи.

В этих двух главах для преодоления математических трудностей используются интуитивные идеи и приближения, основанные на физических соображениях. Хотя рассматриваемые задачи взяты из механики жидкости, мы надеемся, что результаты и стиль рассуждений окажутся полезными и в других областях.

Последняя глава по гиперболическим волнам касается случаев, когда одновременно существуют волны различных порядков. Типичным примером служит уравнение
\[
\eta\left(\varphi_{t t}-c_{0}^{2} \varphi_{x x}\right)+\varphi_{t}+a_{0} \varphi_{x}=0 .
\]

Это гиперболическое уравнение с характеристическими скоростями $\pm c_{0}$, определяемыми волновым оператором второго порядка. Однако если $\eta$ мало, то в известном смысле хорошее приближение должно обеспечивать волновое уравнение низшего порядка $\varphi_{t}+$ $+a_{0} \varphi_{x}=0$, а оно предсказывает волны со скоростью $a_{0}$. Оказывается, что волны обоих типов играют важную роль и существуют важные эффекты взаимодействия между ними. Волны высшего порядка несут «первый сигнал» со скоростью $c_{0}$, а «основное возмущение» передается волнами низшего порядка со скоростью $a_{0}$. B нелинейных аналогах уравнения (1.16) это существенно отражается на свойствах ударных волн и их структуре. Все эти вопросы разбираются в гл. 10.