Для газа в равновесном состоянии при отсутствии массовых сил справедливо следующее.
1. Напряжение на любом элементе поверхности направлено но нормали к этому элементу и не зависит от его ориентации, так что
\[
p_{j i}=-p \delta_{j i},
\]

тде $p$ – скалярное давление.
2. Тепловой поток отсутствует:
\[
q_{j}=0 .
\]
3. Внутренняя энергия является заданной функцией
\[
e=e(p, \rho)
\]

от давления и плотности. Вид этой функции устанавливается на основе эксперимента и различных термодинамических соображений.

Если газ неоднороден и находится в движении, то ни одно из этих соотношений, строго говоря, не выполняется. Однако если производные по времени и по пространственным переменным не слишком велики, то указанные формулы во многих случаях являются хорошим приближением. С учетом этих соотношений основные уравнения сохранения образуют полную систему уравнений для пяти параметров течения $\rho, p, u_{i}$. Эти уравнения имеют вид
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\rho u_{j}\right) & =0, \\
\frac{\partial\left(\rho u_{i}\right)}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\rho u_{i} u_{j}\right)+\frac{\partial p}{\partial x_{i}} & =\rho F_{i}, \\
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2} \rho u_{i}^{2}+\rho e\right)+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left\{\left(\frac{1}{2} \rho u_{i}^{2}+\rho e+p\right) u_{j}\right\} & =\rho F_{i} u_{i} .
\end{aligned}
\]

В случае когда эти уравнения предсказывают ударные волны или другие области с высокими градиентами, используемые формулы, возможно, потребуют уточнения.

Первое предположение (6.22) соответствует пренебрежению влиянием вязкости и может быть улучшено в приближении НавьеСтокса добавлением членов, линейных по градиентам скорости $\partial u_{j} / \partial x_{i}$. Второе предположение (6.23) связано с пренебрежением

теплошередачей, и его можно улучшить, положив $\mathbf{q}$ пропорциональным градиенту температуры. Итак, в приближении Навье Стокса формулы (6.22) и (6.23) заменяются следующими:
\[
\begin{aligned}
p_{j i} & =-p \delta_{j i}-\frac{2}{3} \mu\left(\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}\right) \delta_{j i}+\mu\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}\right), \\
q_{i} & =-\lambda \frac{\partial T}{\partial x_{i}},
\end{aligned}
\]

где $\mu$ и $\lambda$ – коэффициенты вязкости и теплопроводности соответственно. Температура $T$ связана с $p$ и $\rho$ уравнением состояния газа.

Третье предположение (6.24) означает, что газ находится в состоянии локального термодинамического равновесия. В изменяющихся течениях внутренняя энергия всегда стремится к равновесному значению, соответствующему новым условиям. Однако при этом существует некоторая задержка во времени, особенно для установления колебательной и вращательной энергии. Такое явление называется эффектом релаксации, а характерное время задержки – временем релаксации. Это интересный, но несколько частный вопрос, так что детали мы отложим и приведем в качестве примера в гл. 10.