Концепция волнового движения является одним из широчайших научных понятий, и несколько необычно, что волны можно изучать на любом техническом уровне. Поведение волн на воде, распространение света и звука известны каждому из повседневного опыта. Всеобщий интерес вызывают такие современные задачи, как возникновение звукового удара или пробки в потоке транспорта. Содной стороны, эти явления можно рассматривать в описательном плане без каких-либо технических сведений. С другой стороны, их интенсивно изучают и специалисты, поскольку почти любая область науки или техники связана с волновым движением.

Это привело к сравнительно широкому развитию математических понятий и методов для объяспения данного явления с теоретической точки зрения и решения возникающих задач. Хотя детали в каждом конкретном приложении могут быть различными и некоторые проблемы могут обладать своими уникальными особенностями, удалось выработать общий единый подход к исследованию любых волновых процессов.

Настоящая книга содержит изложение математической теории, образующей основу такого исследования, причем особое внимание обращается па общие идеи и основные моменты поведения волн. Приводится большая часть характерных методов решения задач, однако лишь постольку, поскольку они позволяют получить информацию о природе волп, не превращаясь в чисто математические упражнения, хотя бы, возможно, трудные и интересные. Это, в частности, относитея к задачам о линейных волнах.

После изложения важных основных результатов линейной теории, необходимых для понимания волновых процессов вообще, можно было бы заполнить целые тома описанием решений методов и исследования частных задач. Такая цель в этой книге не ставится. В нее включен основной материал по линейным волнам, но все же предполагается, что читатель в известной мере знаком с линейной теорией, и главное внимание уделяется более сложной нелинейной теории. В изучении нелинейных волн, начавшемся сто с лишним лет тому назад с основополагающих работ Стокса [2] и Римана [1] и развивавшемся с нарастающей скоростью, в последние годы были достигнуты значительные результаты. Наша цель дать единый подход ко всему накопившемуся материалу.

Изложение общих математических идей свободно перемежкается с обсуждением частных случаев и конкретных физических приложений. Это — особенно в нелинейных задачах — существенно и как стимул для строгих математических выводов, и как итлюстрация к таким выводам; кроме того, изложение, во всяком случае, становится интереснее. Многие пробтемы связаны с некоторыми разделтами механики жидкости или с примерами, подобными потоку транспорта, рассматриваемыми аналогичным образом. Это непзбежно, ибо основные идеи теории нелинейных волн возник.ти при изученни соответствующих задач, хотя выбор примеров, несомненно, отражает также тичные интересы и опыт автора.

В то же время книга не ориентирована специально на гидрои аэродинамиков. Идеи излағаются в общем виде, а приложения и обоснования приводятся с расчетом на широкий круг читателей различных специальностей. Предполагается, что паводковые волны в реках, волны в ледниках, волны в потоке транспорта, звуковые удары, взрывные волны, океанские штормовые волны и т. п. интересны всем. Не исключаются из рассмотрения и прочие области; подробно обсуждаются, например, нелинейная оптика и волны в различных механических системах. В целом, однако, представляется, что лучше сконцентрировать внимание на нетривиальных вошросах, относящихся к избранным обтастям, чем провести поверхностный обзор приложений к системам уравнений, выбранных из всевозможных разделов физики.

Книга делится на две части; первая из них посвящена гиперболическим волнам, вторая — диспергирующим волнам. Различпе между этими двумя понятиями будет пояснено в стедующем параграфе. В части I основные идеи содержатся в главах 2,5 и 7 , а в части II — главах 11, 14, 15 и 17. В промежуточных главах общие идеи излагаются в частиых контекстах; эти главы можно читать полностью или выборочно в зависимости от интересов читателя. Можно также сразу посте главы 2 перейти к чтению части II.