С математической точки зрения «составные» репения, состоящие из непрерывно дифференцируемой части, удовлетворяющей уравнению
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial Q(\rho)}{\partial x}=0
\]

и разрывной части, удовлетворяющей условию
\[
-U[\rho]+[Q(\rho)]=0,
\]

можно рассматривать как слабые решения уравнения (2.31). Коротко говоря, эту идею можно пояснить следующим образом. Рассмотрим наряду с (2.31) уравнение
\[
-\iint_{R}\left\{\rho \varphi_{t}+Q(\rho) \varphi_{x}\right\} d x d t=0,
\]

где $R$ – произвольный прямоугольник в $(x, t)$-плоскости, а ч произвольная «робная» функция с непрерывными первыми пропзводными в $R$, обращающаяся:в нуль на границе $R$. Если $\rho$ п $Q(\rho)$ непрерывно дифференцруемы, то уравнения (2.31) и (2.33) әквивалентны. С одной стороны, если (2.31) умножить на $\varphi$ и пропнтегрировать по $R$, то, интегрируя затем по частям, получаем (2.33). С другой стороны, из (2.33), интегрируя по частям, получаем равенство
\[
\iint_{R}\left\{\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial Q(\rho)}{\partial x}\right\} \varphi d x d t=0 .
\]

Поскольку это равенство должно быть справедливым для произвольной шробной функции $\varphi$, отсюда следует (2.31). Однако уравнение (2.33) имеет более широкий класс решений, поскольку допустимые функции $\rho(x, t)$ не обязаны иметь производные. Функции $\rho(x, t)$, удовлетворяющие равенству (2.33) для всех пробных функций $\varphi$, называются слабыми решениями уравнения (2.31).

Теперь выясним, что дает нам это расширение понятия решения. Рассмотрим возможность существования слабого решения $\rho(x, t)$, т. е. решения, удовлетворяющего уравнению (2.33), непрерывно дифференцируемого в двух частях $R_{1}$ и $R_{2}$ прямоугольника $R$ и имеющего разрыв первого рода на границе $S$, разделяющей $R_{1}$ и $R_{2}$. Интегрируя в каждой из областей $R_{1}, R_{2}$ по частям, полу-

чаем из (2.33)
\[
\begin{aligned}
\iint_{R_{1}}\left\{\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial Q(\rho)}{\partial t}\right\} \varphi d x d t+\iint_{R_{2}}\left\{\frac{\partial \rho}{\partial t}\right. & \left.+\frac{\partial Q(\rho)}{\partial x}\right\} \varphi d x d t+ \\
& +\int_{S}\{[\rho] l+[Q(\rho)] m\} \varphi d s=0,
\end{aligned}
\]

дде $(l, m)$ – нормаль к $S$, а $[\rho]$ и $[Q(\rho)]$ – скачки на $S$. Криволинейный интеграл по $S$ образован граничными членами интегралов по $R_{1}$ и $R_{2}$, полученными при интегрировании по частям. Так как это равенство должно быть справедливым для всех пробных функдий $\varphi$, отсюда следует, что (2.31) справедливо внутри каждой из областей $R_{1}, R_{2}$, но, кроме того, имеет место равенство
\[
[\rho] l+[Q(\rho)] m=0 \text { на } S .
\]

Это п есть устовие на разрыве (2.32), поскольку $U=-l / m$. Таким образом, слабое решение рассмотренного вида удовлетворяет уравнению (2.31) в точках непрерывности и имеет разрыв, на котором выполняется условие (2.32). Как раз то, что нам нужно!

На первый взгляд введение понятия слабого решения позоляет юбойти более сложное и менее точное рассмотрение реального физического процесса. Но в действительности әто не так. Для дифференциального уравнения
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+c(\rho) \frac{\partial \rho}{\partial x}=0
\]

существует бесконечное число законов сохранения
\[
\frac{\partial f(\rho)}{\partial t}+\frac{\partial g(\rho)}{\partial x}=0,
\]

требуется только, чтобы выполнялось соотношение
\[
g^{\prime}(\rho)=f^{\prime}(\rho) c(\rho) .
\]

Для дифференцируемых функций $\rho(x, t)$ все эти законы эквивапентны. Однако их интегральные формы не эквивалентны и приводят к различным условиям на разрыве. Слабое решение уравнения (2.34) дает условие вида
\[
-U[f(\rho)]+[g(\rho)]=0,
\]

и различный выбор $f$ и $g$ приводит к различным соотношениям между $\rho_{1}, \rho_{2}$ и $U$. Следовательно, для того чтобы выбрать слабое решение, отвечающее данной задаче, необходимо, изучить сам физический процесс.

Учитывая дифференциальное уравнение (2.34), можно предложить закон сохранения в интегральном виде
\[
\frac{d}{d t} \int_{x_{2}}^{x_{1}} f(\rho) d x+[g(\rho)]_{x_{2}}^{x_{1}}=0 .
\]

Однако, чтобы выяснить, будет ли этот закон справедлив для недифференцируемых функций $\rho$, придется вернуться к первоначальной формулировке задачи. В § 2.2 последовательность рассуждений была правильной: сначала уравнение (2.10), затем уравнение (2.11). Обратная последовательность, т. е. переход от дифференциального уравнения в частных производных к эквивалентному интегральному закону, приводит к потере единственности.

Если (2.37) – истинный закон сохранения, то соотношение (2.36) можно вывести как условие на разрыве теми же рассуждениями, что и в § 2.3. Таким образом, правильный выбор слабого решения определяется выбором величин, действительно сохраняющихся при пересечении разрывов. Ввиду отсутствия единственности и возможных недоразумений понятие слабого решения в этом контексте не представляется особенно ценным, ;истедует подчеркнуть, что физические задачи, как правило, первоначально формулируются в интегральном виде, откуда вытекают как дифференциальные уравнения в частных производных, так и условия на разрыве.

Однако в упрощенном виде идея слабого решения иногда оказывается полезной при предварительном рассмотрении задачи. Если, например, нас интересует, допускает ли уравнение (2.34) движущиеся разрывы как составную часть решения, то можно испробовать функции
\[
\begin{array}{l}
f(\rho)=f_{0}(x) H(x-U t)+f_{1}, \\
g(\rho)=g_{0}(x) H(x-U t)+g_{1}
\end{array}
\]
(здесь $H(x)$ – ступенчатая функция Хевисайда, а $f_{1}, g_{1}$ – непрерывные функции). Подстав.Іяя их в уравнение (2.34), мы получим члены типа $\delta$-функции
\[
\left(-U f_{0}+g_{0}\right) \delta(x-U t)
\]

плюс менее сингулярные члены. Отсюда выводим, что
\[
-U f_{0}+g_{0}=0
\]

а это и есть условие на разрыве (2.36), поскольку $f_{0}=[f], g_{0}=$ $=[g]$. При таком выводе, конечно, не удается избежать неединственности и, кроме того, $\delta$-функции используются несколько подозрительным образом. Использование $\delta$-функций в нелинейных задачах обычно исключено, потому что нельзя придать удовлетворительного смысла степеням и произведениям таких обобщенных функций: мы ввели искусственную линейность, записав выражения для $f(\rho)$ и $g(\rho)$ в отдельности, вместо того чтобы использовать единое выражение для $\rho$. Конечно, оправданием введению $\delta$-функции служит слабое решение.

Для сравнения рассмотрим тот же самый вопрос о допустимости наличия движущихся разрывов для уравнения $(2.20)$, записанного в виде
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial Q(\rho)}{\partial x}=v \frac{\partial^{2} \rho}{\partial x^{2}} .
\]

Если выражения для $\rho$ и $Q(\rho)$ содержат члены вида $H(x-U t)$, то $\partial^{2} \rho / \partial x^{2}$ будет включать член вида $[\rho] \delta^{\prime}(x-U t)$ и не найдется другого члена с сингулярностью вида $\delta^{\prime}(x-U t)$, чтобы компенсировать его. Таким образом заключаем, что $[\rho]=0$, т. е. что разрывы недопустимы. Это, несомненно, полезный вывод для предварительной оценки задачи.