Одним из наиболее замечательных достижений в недавних исследованиях по нелинейным диспергирующим волнам является открытие многих точных решений для некоторых простых канонических уравнений теории. Это касается в основном следующих уравнений.
1. Уравнение Кортевега — де Фриза, нормированное теперь к виду
$${\eta }_t+\sigma \eta {\eta }_x+{\eta }_{xxx}=0,$$

где $\sigma$ — некоторая постоянная.
2. Кубическое уравнение Шредингера
$$i{u}_t+u_{xx}+v|u{|}^{2}u=0.$$
3. Уравнение Sin-Гордона
$${\phi }_{tt}-{\phi }_{xx}+\sin \phi =0.$$

Можно построить явные решения, описывающие взаимодействие произвольного числа уединенных волн, и предсказать точное количество уединенных волн, которые в конце концов образуются из любого финитного начального возмущения.

Эти уравнения являются каноническими для рассматриваемой теории в том смысле, что они объединяют некоторые простейшие типы дисперсии с простейшими типами нелинейности. Уравнение Кортевега — де Фриза объединяет линейную дисперсию
$$\omega =-x^3$$

с тишичным нелинейным оператором переноса. Уравнение (17.2) объединяет дисперсию
$$\omega =x^2$$

с простой кубической нелинейностью. В обоих случаях дисперсионное соотношение можно рассматривать как начало разложения в ряд Тейлора более общего дисперсионного соотношения, причем (17.4) относится к нечетному по х случаю, а (17.5) — к четному. (Если в (17.4) или в (17.5) добавлен член, пропорциональный $x$,

то его можно исключить переходом к движущейся системе отсчета.) По этой причине это не просто модельные уравнения, а уравнения, которые часто можно рассматривать как длинноволновые приближения. Линейное дисперсионное соотнотение ${\omega }^2=x^2+1$ в (17.3) также имеет довольно общий вид, не считая даже его первоначальной связи с релятивистскими частицами через уравнение Клейна Гордона. Ряд задач, в которых соответствующий нелинейный тлен равен $\sin \phi$, был указан в § 14.1.

Сразу же после решения Коулом и Хопфом уравнения Бюргерса начались бесчисленные попытки применить аналогичные приемы к уравнению (17.1), но окончательный метод решения потребовал большего, нежели простой замены. Гарднер, Грин, Крускал и Миура [1] разработали остроумный способ, связывающий это уравнение с обратной задачей рассеяния. Конечный результат состоит в сведении уравнения (17.1) к линейному интегральному уравнению, но кажется невероятным, чтобы кто-нибудь смог обнаружить это без промежуточных шагов. Зная ответ, можно увидеть, что подстановка
$$\sigma \eta =12(\ln F{)}_{xx},$$

являющаяся разумным обобщением подстановки
$$c=-2v(\ln \phi {)}_x$$

для уравнения Бюргерса, дает легкий способ получения частных решений, описывающих взаимодействие уединенных волн. Уравнение для $F$ нелинейно, но имеет специальную структуру, и решения в виде ряда по экспонентам приводят к уединенным волнам. Однако не ясно, как из этого уравнения для $F$ извлечь более общую информацию.

Уравнение (17.2) было решено Захаровым и Шабатом [1] при помощи аналогичной техники обратной задачи рассеяния, связанной до некоторой степени с общими идеями Јакса [1].

Явное решение уравнения (17.3) для двух взаимодействующих уединенных волн впервые было получено Перрингом и Скирмом $[1]$, видимо, на основе численного анализа. Дж. Лэмб [1,2] затем нашел, как, последовательно используя преобразование Беклунда, можно получить дальнейшие решения. Недавно Дж. Ләмб [3], а также Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сегюр [1] показали, как можно использовать обратную задачу рассеяния.

Удивительный общий результат состоит в том, что если уединенные волны, первоначально разделенные в пространстве, вступают во взаимодействие, то со временем они выходят из области взаимодействия и восстанавливают свои исходные формы и скорости. Единственным напоминанием о взаимодействии являются постоянные смещения от положений, которые они занимали бы

в противном случае. Интересна аналогия со столкновением частиц. Основные решения и методы их получения будут описаны ниже.

Мы добавим два связанных с этими идеями примера. Тода $[1,2]$ рассматривает цепочку из соединенных пружинами точечных масс, являющуюся дискретным аналогом некоторых из наших задач. Если растяжение $n$-й пружины относительно ее равновесной длины равно $r_n(t)$, то уравнения можно записать в виде
$$\ddot{m{r}_n}=2f\left(r_n\right)-f\left(r_{n+1}\right)-f\left(r_{n-1}\right),$$

где $f\left(r_i\right)$ — сила натяжения $i$-й пружины. Непрерывным пределом этого разностного уравнения будет волновое уравнение, причем нелинейное, если $f(r)$ нелинейная функция от $r$. В нелинейном случае существование решений уравнений (17.7) в виде однородных волновых пакетов можно доказать, основываясь на разложениях типа Стокса по степеням амплитуды. Но Тода обнаружил хитроумные точные выражения в эллиптических функциях для случая
$$f(r)=-\alpha (1-e^{-\beta r}).$$

Более того, эти решения содержат уединенные волны как предельные случаи, и Тода смог найти решения, описывающие взаимодействия и подобные соответствующим решениям уравнений с частными производными.
Наконец, уравнение
$$(1-{\phi }_t^2){\phi }_{xx}+2{\phi }_x{\phi }_t{\phi }_{xt}-(1+{\phi }_x^2){\phi }_{tt}=0$$

было предложено Борном и Инфельдом [1] в виде вариационного принципа
$$\delta \iint {\{1-{\phi }_t^2+{\phi }_x^2\}}^{1/2}dxdt=0$$

Идея состояла в обобщении обычного волнового уравнения (с лагранжианом $1/2{\phi }_t^2-1/2{\phi }_x^2$ ) и во введении нелинейных эффектов с сохранением свойств лоренцевой инвариантности. Это уравнение допускает волны произвольной формы, движущиеся со скоростями +1 или -1 . Их можно было бы рассматривать как уединенные волны, если бы не отсутствие у них специфической внутренней структуры, характерной для предыдущих случаев. Однако Барбашов и Черников [1] показали, что можно найти явные решения, описывающие взаимодействия, опять со свойствами сохранения формы и со смещением положения вследствие взаимодействия. Мы проводим краткое описание этих решений, хотя, возможно, у них и нет глубокой связи с остальными уравнениями.