Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Каждое уравнение в характеристической форме вводит свою линейную комбинацию производных. Для простоты мы рассмотрим упрощенную форму (5.10), где эта линейная комбинация имеет вид $l_{i} d u_{i} / d t$. В линейной теории вектор $\mathbf{l}$ не зависит от $\mathbf{u}$, так что после введения новой переменной $r=l_{i} u_{i}$ уравнение принимает следующий простой вид:
\[
\frac{d r}{d t}+f(x, t, \mathbf{u})=0 .
\]
В нелинейной теории, однако, l может зависеть от и и не всегда возможно привести уравнение к такому виду. Для этого необходимо найти $\lambda$ и $r$, такие, чтобы
\[
l_{i} d u_{i}=\lambda d r,
\]
или – что то же самое – чтобы
\[
l_{i}=\lambda \frac{\partial r}{\partial u_{i}} .
\]
(Здесь $x$ и $t$ фиксированы; дифференциал $d r$ относится только к приращениям и.) Это частный случай задачи Пфаффа об интегрируемости дифференциальных форм. Для $n=2$ можно исключить $r$ и получить уравнение для $\lambda$, которое, очевидно, имеет решение. Однако при $n>2$ исключение из равенств (5.13) как $\lambda$, так и $r$ приводит к условиям на $l_{i}$, которые являются необходимыми условиями существования такого представления.
Для гиперболической системы $n$ характеристических уравнений принимают особенно простой вид, если оказывается возможным ввести переменные $r_{k}$ для каждой дифференциальной формы $l_{i}^{(\text {( })} d u_{i}$. Тогда функции $r_{k}$ можно использовать как новые переменные вместо $u_{i}$ и характеристические уравнения запишутся в виде
\[
\frac{d r_{k}}{d t}+f_{k}(x, t, \mathbf{r})=0 \text { на } \frac{d x}{d t}=c_{k}(x, t, \mathbf{r}) .
\]
Это всегда можно сделать в линейной теории, и в этом случае функции $f_{k}$ линейны по $\mathbf{r}$. Для нелинейных теорий это всегда возможно при $n-2$ и может оказаться невозможным при $n>2$.
Такие переменные для случая $n=2$ были введены Риманом в его работе по плоским волнам в газовой динамике. В этом частном случае (см. § 6.7) функции $f_{k}$ равны пулю, так что $r_{1}$ и $r_{2}$ постоянны на соответствующих характеристиках; поэтому функции $r_{1}$ и $r_{2}$ называются инвариантами Римана. В общем случае функции $r_{k}$ можно называть римановыми переменными.
