Общее квазилинейное уравнение первого порядка линейно по $\rho_{t}$ и $\rho_{x}$, но может содержать свободный член. Коэффициенты при $\rho_{t}, \rho_{x}$ и свободный член могут быть произвольными функциями переменных $\rho, x$ и $t$. Если коэффициент при $\rho_{t}$ отличен от пуля, то уравнение можно разделить на этот коэффициент и записать в виде
\[
\rho_{t}+c \rho_{x}=b,
\]

где $b$ и $c$ – функции переменных $\rho, x$ и $t$. Решение такого уравнения опять можно свести к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль характеристик, представив (2.70) в виде
\[
\frac{d \rho}{d t}=b(\rho, x, t), \quad \frac{d x}{d t}=c(\rho, x, t) .
\]

В частности, задача с начальными условиями
\[
\rho=f(x), \quad t=0
\]

решается интегрированием системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений (2.71) с начальными условиями
\[
\rho=f(\xi), \quad x=\xi \text { при } t=0 .
\]

Каждому значению $\xi$ сопоставляются характеристика, выходящая из точки $x=\xi$, и значение $\rho$ на ней. Репение во всей области получается варьированием параметра $\xi$.

Когда $b
eq 0$, величина $\rho$ не является постоянной вдоль характеристики и в общем случае характеристики не являются прямыми. Но метод решения по существу остается тем же самым. Волны снова могут опрокидываться, а характеристики в $(x, t)$-плоскости накладываться одна на другую. Снова можно устранить многозначность решения, введя соответствующие разрывы.

Существует несколько интересных случаев, связанных с опрокидыванием, и здесь мы рассмотрим двациз’них.

Затухаюцие волны

В качестве первого примера рассмотрим случай
\[
c_{t}+c c_{x}+a c=0,
\]

где $a$ – положительная постоянная. Запишем это уравнение в характеристическом виде
\[
\frac{d c}{d t}=-a c, \quad \frac{d x}{d t}=c .
\]

Если рассматривать задачу Коши, то первое уравнение можно проинтегрировать:
\[
c=e^{-a t} f(\xi) .
\]

Тогда второе уравнение принимает вид
\[
\frac{d x}{d t}=e^{-a t} f(\xi),
\]

причем $x=\xi$ при $t=0$. Интегрируя, получаем
\[
x=\xi+\frac{1-e^{-a t}}{a} f(\xi) .
\]

Нелинейность приводит к типичному искажению профиля волны, но одновременно волна затухает из-за наличия в уравнении свободного члена.

Рассмотрим теперь вопрос об опрокидывании. Его проще всего исследовать, выяснив, существует ли огибающая характеристических кривых (2.75). Такая огибающая удовлетворяет уравнению полученному дифференцированием (2.75) по параметру $\xi$ :
\[
0=1+\frac{1-e^{-a i}}{a} f^{\prime}(\xi) .
\]

Поскольку $a>0, t>0$, это равенство может выполняться тогда и только тогда, когда
\[
f^{\prime}(\xi)<-a .
\]

Таким образом, опрокидывание происходит в том и только том случае, когда начальный профиль имеет достаточно больпую отрицательную крутизну; если же волна сжатия недостаточно крута, то затухание может предотвратить опрокидывание.

Хотя соответствующие уравнения сложнее, чем только что рассмотренные (см. гл. 3), неравенства такого типа определяют, окажется ли приливная волна, распространяющаяся вверх по реке, достаточно мощной для опрокидывания и образования боры или трение возьмет верх. В большинстве рек доминируют эффекты трения. Однако некоторые знаменитые реки, на которых образуется бора, имеют в устье приливные волны (дополнительно

усиливающиеся за счет резкого сужения русла), достаточно высокие для того, чтобы преодолеть различные эффекты трения. Теория этого явления обсуждалась и применялась Абботтом [1]; мы вернемся к ней в § 5.7.
Волны от движущегося источника
Если в уравнении (2.70) свободный член $b$ не зависит от $\rho$, то его можно рассматривать как внешний источник. Особенно интересен случай, когда этот источник движется с постоянной скоростью $V$. Недавно рассмотрен пример в более сложной области магнитной газовой динамики, где волны возбуждаются приложенной к жидкости движущейся силой (Хоффман [1]). В нашей простой модели можно рассмотреть некоторые качественные эффекты.
Пусть
\[
b=B(x-V t),
\]

где $V$ – постоянная, а $B(x)$ – некоторая положительная функция, быстро стремящаяся к нулю при $|x| \rightarrow \infty$. Будем считать, что при $t=0$ величина $\rho$ постоянна, $\rho=\rho_{0}$, и положим $c_{0}=c\left(\rho_{0}\right)$. Возможны два существенно различных случая, отвечающих движению источника со сверхзвуковой скоростью $V>c_{0}$ и с дозвуковой скоростью $V<c_{0}$.

Оказывается, справедлив следующий удивительный результат: сверхзвуковой источник не обязательно приводит к образованию ударной волны, хотя это неизбежно для дозвукового источника. Это легко увидеть, рассмотрев решения со стационарным профилем вида
\[
\rho=\rho(X), X=x-V t .
\]

Поскольку мы все равно интересуемся только качественными эффектами, ограничимся частным случаем
\[
c_{t}+c c_{x}=B(x-V t) .
\]

Тогда для решения со стационарным профилем получаем
\[
\begin{array}{c}
(c-V) c_{X}=B(X), \\
\frac{1}{2}(V-c)^{2}-\frac{1}{2}\left(V-c_{0}\right)^{2}=-\int_{X}^{\infty} B(y) d y .
\end{array}
\]

В сверхзвуковом случае $V>c_{0}$ функция $c$ равна
\[
c=V-\left\{\left(V-c_{0}\right)^{2}-2 \int_{X}^{\infty} B(y) d y\right\}^{1 / 2} .
\]

Если
\[
V-c_{0}>\left\{2 \int_{-\infty}^{\infty} B(y) d y\right\}^{1 / 2},
\]

то равенство (2.80) определяет гладкую однозначную функцию и разрывы не возникают. Критерий (2.81) – неравенство, связывающее скорость $V-c_{0}$ и полную интенсивность источника
\[
\int_{-\infty}^{\infty} B(y) d y .
\]

Этот результат можно пояснить следующими рассуждениями. Если источник движется со сверхзвуковой скоростью, то ударная волна может двигаться вместе с ним лишь тогда, когда она достаточно сильна. Но если источник сравнительно маломощен, то сильная ударная волна не может возникнуть и не возникает.

Если неравенство (2.81) не выполняется, то волна (2.80) опрокидывается при $X \leqslant X_{0}$, где $X_{0}$ определяется из равенства
\[
V-c_{0}=\left\{2 \int_{X_{0}}^{\infty} B(y) d y\right\}^{1 / 2} .
\]

При $X=X_{0}$ мы имеем $c=V$ и случайные возмущения начальных условий могут определять и действительно определяют поведение волны. Решение не может быть полным без тщательного учета этих возмущений. Аналогичным образом и в дозвуковом случае решение нельзя построить без учета возмущений. В обоих случаях обнаружено возникновение ударных волн. Этот вопрос был подробно рассмотрен Хоффманом [1].