Если формулы (11.1) – (11.2) дают әлементарное решение линейного уравнения, то – по крайней мере формально – функция
\[
\varphi(\mathbf{x}, t)=\int_{-\infty}^{\infty} F(x) e^{i x \cdot \mathbf{x}-i W(x) t} d x
\]
также будет решением. Подбирая должным образом произвольную функцию $F(x)$, можно удовлетворить заданным начальным или граничным условиям, если, конечно, эти условия достаточно разумны для того, чтобы можно было применять преобразование Фурье. Если имеется $n$ мод с $n$ различными функциями $W(\boldsymbol{x})$, то будет $n$ слагаемых вида (11.15) с $n$ произвольными функциями $F(\boldsymbol{x})$. В этом случае для полного определения решения естественно задавать $n$ начальных условий. Примеры (11.6)-(11.8) включают по две моды, и естественно задавать $\varphi$ и $\varphi_{t}$ при $t=0$. Как и в этих примерах, две моды обычно имеют вид $0= \pm W(x)$, и в типичной одномерной задаче соответственно шолучаем
\[
\varphi=\int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(x) e^{i \kappa x-i W(\kappa) t} d x+\int_{-\infty}^{\infty} F_{2}(x) e^{i \varkappa x+i W(x) t} d x
\]
с начальными условиями
\[
\varphi=\varphi_{0}(x), \quad \varphi_{t}=\varphi_{1}(x) \text { при } t=0 .
\]
Если $W(x)$ – нечетная по $x$ функция, как, например, в примере (11.7), то в (11.16) первый член описывает волны, движущиеся вправо, а второй член – влево. Если же $W(x)$ – четная функция, как, например, в примерах (11.6) п (11.8), то волны, движущиеся и вправо, и влево, содержатся в обоих членах. Накладывая начальные условия, получаем
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{0}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\left\{F_{1}(x)+F_{2}(x)\right\} e^{i x x} d x, \\
\varphi_{1}(x)=-i \int_{-\infty}^{\infty} W(x)\left\{F_{1}(x)-F_{2}(x)\right\} e^{i \gamma x} d x .
\end{array}
\]
Формулы обращения дают
\[
\begin{aligned}
F_{1}(x)+F_{2}(x)=\Phi_{0}(x) & =\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{0}(x) e^{-i x x} d x, \\
-i W(x)\left\{F_{1}(x)-F_{2}(x)\right\} & =\Phi_{1}(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \varphi_{1}(x) e^{-i x x} d x,
\end{aligned}
\]
откуда находим $F_{1}(x)$ п $F_{2}(x)$ :
\[
\begin{array}{l}
F_{1}(x)=\frac{1}{2}\left\{\Phi_{0}(x)+\frac{i \Phi_{1}(x)}{W(x)}\right\}, \\
F_{2}(x)=\frac{1}{2}\left\{\Phi_{0}(x)-\frac{i \Phi_{1}(x)}{W(x)}\right\} .
\end{array}
\]
Поскольку функции $\varphi_{0}(x)$ и $\varphi_{1}(x)$ вещественны, $\Phi_{0}(-x)=$ $=\Phi_{0}^{*}(x)$ и $\Phi_{1}(-x)=\Phi_{1}^{*}(x)$, где звездочкой отмечены комплексно сопряжешные величины. Отсюда следует, что для нечетной функции $W(x)$
а для четной $W(x)$
\[
\begin{array}{l}
F_{1}(-x)=F_{1}^{*}(x), \\
F_{2}(-x)=F_{2}^{*}(x),
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
F_{1}(-x)=F_{2}^{*}(x), \\
F_{2}(-x)=F_{1}^{*}(x) .
\end{array}
\]
В обоих случаях решение (11.16) вещественно; вещественные начальные условия для вещественного уравнения должны приводить к вещественным решениям.
Стандартное решение, по которому легко построить остальные решения, можно получить, положив
\[
\varphi_{0}(x)=\delta(x), \quad \varphi_{1}(x)=0 .
\]
Тогда $F_{1}(x)=F_{2}(x)=1 /(4 \pi)$ и выражение (11.16) сводигся к следующему:
\[
\varphi=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \cos x x \cos W(x) t d x .
\]
Конечно, этот расходящийся интеграл следует интерпретировать как обобщенную функцию.
