Рассмотрение квазилинейного уравнения подняло много вопросов, требующих дальнейшего изучения. Прежде чем приступить к этому, заметим, однако, что аналогичные построения, использующие характеристики, можно провести в общем случае произвольного нелинейного уравнения первого порядка. Эти результаты нам также понадобятся в дальнейшем.

Полезно иметь характеристическую форму для уравнения с $n$ независимыми переменными ( $x_{1}, \ldots, x_{n}$ ). Для этого рассмотрим функцию $\varphi\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, удовлетворяющую дифференциальному уравнению
\[
H(\mathbf{p}, \varphi, \mathbf{x})=0,
\]

где $\mathbf{p}$ и $\mathbf{x}$ — векторы с компонентами $p_{i}$ и $x_{i}, i=1, \ldots, n$, и
\[
p_{i}=\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} .
\]

Для введения характеристической формы зададимся вопросом: существуют ли в $x$-пространстве кривые, родственные характеристикам квазилинейных уравнений? Любую кривую $\mathscr{C}$ в $x$-пространстве можно записать в параметрическом виде
\[
\mathbf{x}=\mathbf{x}(\lambda) .
\]

Полная производная функции $\varphi$ вдоль кривой $\mathscr{C}$ равна ${ }^{1}$ )
\[
\frac{d \varphi}{d \lambda}=\frac{\partial \varphi}{\partial x_{j}} \frac{d x_{j}}{d \lambda}=p_{j} \frac{d x_{j}}{d \lambda} .
\]

Существует ли касательный вектор $d x_{j} / d \lambda$, играющий особую роль при репении уравнения (2.82)? В квазилинейном случае, где $H \equiv c_{j}(\varphi, \mathbf{x}) p_{j}-b(\varphi, \mathbf{x})$, мы положили
\[
\frac{d x_{j}}{d \lambda}=c_{j}(\varphi, \mathbf{x}),
\]

так что $d \varphi / d \lambda=c_{j} p_{j}$; затем с помощью исходного уравнения мы нашли
\[
\frac{d \varphi}{d \lambda}=b(\varphi, \mathbf{x}) .
\]

Но в общем случае величины $p_{i}$ нельзя исключить из уравнения для $d \varphi / d \lambda$, каким бы ни был выбор $d x_{j} / d \lambda$. Таким образом, нельзя получить обыкновенное дифференциальное уравнение только для $\varphi$ : в уравнение обязательно войдут и $p_{i}$. Однако рассмотрим теперь полные производные вдоль кривой $\mathscr{C}$ и от $p_{i}$ :
\[
\frac{d p_{i}}{d \lambda}=\frac{d}{d \lambda}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}\right)=\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \frac{d x_{j}}{d \lambda} .
\]

Дифференцируя уравнение (2.82) по $x_{i}$, получаем
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \frac{\partial H}{\partial p_{j}}+\frac{\partial H}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}+\frac{\partial H}{\partial x_{i}}=0 .
\]

Сравнивая (2.84) и (2.85), видим, что особенно выгодно выбрать грривую $\mathscr{C}$, положив
\[
\frac{d x_{i}}{d \lambda}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}} .
\]

В этом случае равенство (2.84) с учетом (2.85) приводится к виду
\[
\frac{d p_{i}}{d \lambda}=-p_{i} \frac{\partial H}{\partial \varphi}-\frac{\partial H}{\partial x_{i}} .
\]
1) Мы пользуемся соглашением о суммировании по повторяющемуся индексу в пределах $1, \ldots, n$.

Добавим еще уравнение
\[
\frac{d \varphi}{d \lambda}=p_{j} \frac{\partial H}{\partial p_{j}} ;
\]

тогда уравнения (2.86)-(2.88) образуют полную систему из $2 n+1$ обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих «характеристики» $x_{i}(\hat{\lambda})$ и значения $\varphi$ и $p_{i}$ вдоль них. В принципе решение во всей области можно получить, интегрируя эти уравнения вдоль характеристик, покрывающих данную область.

В частном случае квазилинейного уравнения $H \equiv c_{i}(\varphi, \mathbf{x}) p_{i}-$ $-b(\varphi, \mathbf{x})$ и уравнения (2.86) и (2.88) сводятся к уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x_{i}}{d \lambda}=c_{i}(\varphi, \mathbf{x}), \\
\frac{d \varphi}{d \lambda}=p_{j} c_{j}=b(\varphi, \mathbf{x}),
\end{array}
\]

которые можно решить независимо от (2.87). В наших предыдущих рассуждения одной из переменных $x_{i}$ было время $t$, соответствующий коэффициент $c_{i}$ был равен единице, а параметром $\lambda$ служило само время $t$.