Если амплитуды малы и используются лишь несколько фурье-компонент, то нелинейные взаимодействия между компонентами можно изучать непосредственно. Это дает возможность иного подхода к некоторым из предыдущих результатов. Именно таким подходом Бенджамен [1] обнаружил неустойчивость типа (15.40) для волн Стокса на глубокой воде. Подробное исследование этой неустойчивости, основанное как на модуляциях, так и на взаимодействиях, будет проведено в § 16.11. Здесь для демонстрации самого метода мы применим рассуждения Бенджамена к уравнению Клейна Гордона, где выкладки проще.

Для конечного числа фурье-компонент функцию ч можно представить в виде
\[
\varphi=1 / 2 \sum \varphi_{v}(t) e^{i \varkappa v^{x}},
\]

где $v$ пробегает значения $\pm 1, \pm 2, \ldots, \pm N$ и мы полагаем $x_{-n}=$ $=-x_{n}, \varphi_{-n}(t)=\varphi_{n}^{*}(t), n=1, \ldots, N$, чтобы обеспечить вещественность $\varphi$. Для уравнения
\[
\varphi_{t t}-\varphi_{x x}+\varphi=-4 \sigma \varphi^{3}
\]

линейное решение (без учета правой части) имеет вид
\[
\varphi_{v}(t)=A_{v} e^{-i \omega_{v} t}
\]

где
\[
\omega_{n}=\left(x_{n}^{2}+1\right)^{1 / 2}, \quad \omega_{-n}=-\omega_{n \bullet} \quad A_{-n}=A_{n}^{*}
\]

и $A_{v}$ – постоянные. Можно развить почти линейную теорию, считая параметр $\sigma$ малым.
Формально разложив $\varphi$ в степенной ряд теории возмущений
\[
\varphi=\varphi^{(0)}+\sigma \varphi^{(1)}+\sigma^{2} \varphi^{(2)}+\ldots,
\]

получим цепочку уравнений
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{t t}^{(0)}-\varphi_{x x}^{(0)}+\varphi^{(0)}=0, \\
\varphi_{t t}^{(1)}-\varphi_{x x}^{(1)}+\varphi^{(1)}=-4 \varphi^{(0) 3}
\end{array}
\]

и т. д. Запипем решение линейного уравнения (15.52) в виде
\[
\varphi^{(0)}=\frac{1}{2} \sum A_{v} e^{i \kappa_{v} x-i \omega_{v} t}
\]

и подставим его в правую часть уравнения для $\varphi^{(1)}$. Однако резонанс приводит к вековым членам у $\varphi^{(\mathbf{1})}$, и разложение имеет неравномерный характер. Это фактически несколько более общий случай ситуации, отмеченной при рассмотрении разложения Стокса периодических решений в § 13.13. Равномерная аппроксимация получается включением резонирующих членов третьего порядка в уравнение предыдущего приближения для $\varphi^{(0)}$. Это приводпт к более определенной точке зрения на фурье-анализ и к группированию членов согласно их вкладам в различные компоненты $e^{i \gamma_{v} x}$. Таким образом, мы подставляем разложение (15.48) в уравнение (15.49) и для каждой из псходных компонент $e^{i \varkappa_{v} x}$ имеем
\[
\frac{d^{2} \varphi_{v}}{d t^{2}}+\omega_{v}^{2} \varphi_{v}=-\sigma \sum_{x_{\alpha}+x_{\beta}+x_{\gamma}=x_{v}} \varphi_{\alpha} \varphi_{\beta} \varphi_{\gamma},
\]

где $\omega_{v}$ такие же, как и в (15.51). Кубические члены будут также генерировать новые компоненты, которые следует добавить в (15.48), но они не резонируют (по крайней мере в кубическом порядке), и в первом приближении ими можно пренебречь. Поэтому мы рассмотрим решения уравнения (15.54).
Чтобы исключить главные осцилляции, введем
\[
\varphi_{v}(t)=A_{v}(t) e^{-i \omega_{k} t},
\]

причем – и это важное отличие от линейной теории – $A_{v}(t)$ является функцией от $t$. Имеем
\[
\frac{d^{2} A_{v}}{d t^{2}}-2 i \omega_{v} \frac{d A_{v}}{! d t}=-\sigma \sum_{x_{\alpha}+x_{\beta}+x_{\gamma}=x_{v}} A_{\alpha} A_{\beta} A_{\gamma} e^{i\left(\omega_{v}-\omega_{\alpha}-\omega_{\beta}-\omega_{\gamma}\right) t} .
\]

Масштаб времени имеет теперь порядок $O\left(\sigma^{-1}\right)$, и каждое дифференцирование по $t$ увеличивает на единицу порядок соответствующего члена по $\sigma$. Следовательно, можно опустить вторую производ-

ную от $A_{v}$, что дает
\[
\frac{d A_{v}}{d t}=-\frac{i \sigma}{2 \omega_{v}} \sum_{\alpha_{\alpha}+\alpha_{\beta}+\kappa_{\gamma}=\kappa_{v}} A_{\alpha} A_{\beta} A_{\gamma} e^{i\left(\omega_{v}-\omega_{\alpha}-\omega_{\beta}-\omega_{\gamma}\right) t} .
\]

Резонанс возникает при.
\[
\begin{aligned}
x_{\alpha}+x_{\beta}+x_{\gamma} & =x_{v}, \\
\omega_{\alpha}+\omega_{\beta}+\omega_{\gamma} & =\omega_{v} .
\end{aligned}
\]

Самодействие
\[
\left(x_{v}, x_{v},-x_{v}\right) \rightarrow x_{v}
\]
(и его перестановки) всегда относится к этому случаю. Они приводят к эффекту Стокса для частоты. Если существует только одна мода $x_{0}$, то имеем уравнение
\[
\frac{d A_{0}}{d t}=-\frac{3 i \sigma}{2 \omega_{0}} A_{0}^{2} A_{0}^{*}, \quad \omega_{0}=\left(\varkappa_{0}^{2}+1\right)^{1 / 2},
\]

с решением
\[
A_{0}=a_{0} e^{-\left(3 i \sigma /\left(2 \omega_{0}\right)\right) a_{0}^{2} t},
\]

и тогда
\[
\varphi=a_{0} \cos \left\{x_{0} x-\left(\omega_{0}+\frac{3}{2} \frac{\sigma a_{0}^{2}}{\omega_{0}}\right) t\right\}+\ldots .
\]

Это совпадает с результатом Стокса (14.12).
При изучении устойчивости Бенджамен рассматривает эффект близких «боковых частот» с волновыми числами $x_{0} \pm \tilde{\mu}$ при основном волновом числе $x_{0}$. Таким образом, множество $x_{n}, n=1, \ldots$ $\ldots, N$, имеет вид $\left\{x_{0}, x_{0}-\tilde{\mu}, x_{0}+\tilde{\mu}\right\}$, и для получения полного множества $\chi_{v}$ следует добавить их отрицательные значения. Обозначим соответствующие величины $A_{n}$ через $A_{0}, A_{-}, A_{+}$, а сопряженные им величины – так же, как в (15.51). Тогда уравнения (15.55) примут вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d A_{0}}{d t}=-\frac{i \sigma}{2 \omega_{0}}\left\{3 A_{0}^{2} A_{0}^{*}+6 A_{0} A_{+} A_{+}^{*}+6 A_{0} A_{-} A_{-}^{*}+6 A_{0}^{*} A_{+} A_{-} e^{-i \Omega t}\right\}, \\
\frac{d A_{-}}{d t}=-\frac{i \sigma}{2 \omega_{-}}\left\{6 A_{0} A_{0}^{*} A_{-}+3 A_{0}^{2} A_{+}^{*} e^{i \Omega t} \quad 6 A_{+} A_{+}^{*} A_{-}+3 A_{-}^{2} A_{-}^{*}\right\},
\end{array}
\]

где
\[
\Omega=\omega_{+}+\omega_{-}-2 \omega_{0} ;
\]

для того чтобы получить уравнение дл\” $A_{+}$, нужно поменять местами индексы плюс и минус. Тип взаимодействия легко восстанавливается по амплитудам $A$, дающим вклад. Первый член в (15.58) описывает самодействие (Стокс); второй член соответ-

ствует резонансу $\left(x_{0}, x_{0}+\tilde{\mu},-x_{0}-\tilde{\mu}\right) \rightarrow x_{0}$ и т. д. Члены с множителем $e^{i \Omega t}$, строго говоря, не удовлетворяют резонансному условию для частот. Но если $\tilde{\mu}$ мало, то $\Omega$ тоже мало и этот множитель оставляется для сохранения равномерности приближения при $\tilde{\mu} \rightarrow 0$. Числовые коэффициенты перед каждым членом соответствуют числу перестановок для каждого конкретного взаимодействия.

При анализе устойчивости предполагается, что $A_{ \pm} \ll A_{0}$, и уравнения линеаризуются:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d A_{0}}{d t}=-\frac{3 i \sigma}{2 \omega_{0}} A_{0}^{2} A_{0}^{*}, \\
\frac{d A_{-}}{d t}=-\frac{i \sigma}{2 \omega_{-}}\left\{6 A_{0} A_{0}^{*} A_{-}+3 A_{0}^{2} A_{+}^{*} e^{i \Omega t}\right\} .
\end{array}
\]

Эффекты имеют второй порядок по $\boldsymbol{A}_{0}$. Как и в (15.57), полагаем
\[
A_{0}=a_{0} e^{-i \rho t}, \quad \rho=\frac{3}{2} \frac{\sigma a_{0}^{2}}{\omega_{0}},
\]

где $a_{0}$ вещественно. Для малых $\tilde{\mu}$ в коэффициентах уравнений для $A_{ \pm}$достаточно положить $\omega_{ \pm} \simeq \omega_{0}$ и аппроксимировать $\Omega$ выражением
\[
\Omega \simeq \omega_{0}^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) \tilde{\mu^{2}} .
\]

Тогда линейные уравнения для $A_{ \pm}$примут вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d A_{-}}{d t}=-i \rho\left\{2 A_{-}+A^{*} e^{i(\Omega-2 \rho) t}\right\}, \\
\frac{d A_{+}}{d t}=-i \rho\left\{2 A_{+}+A_{-}^{*} e^{i(\Omega-2 \rho) t}\right\} .
\end{array}
\]

Они имеют решения $A_{ \pm}=a_{ \pm} e^{i \lambda_{ \pm}} t$, где $\lambda_{ \pm}$удовлетворяют уравнению
\[
\lambda^{2}+(2 \rho-\Omega) \lambda+\rho(\rho-2 \Omega)=0 .
\]

Малые возмущения амплитуд боковых частот растут, если корни уравнения (15.63) комплексны, т. е. если
\[
\left(\rho+\frac{\Omega}{4}\right) \Omega<0 .
\]

Для нашего конкретного примера $\omega_{0}=\left(x_{0}^{2}+1\right)^{1 / 2}, \omega_{0}^{\prime \prime}=\omega_{0}^{-3}$, так что (15.64) приводит к условию
\[
\left(\frac{3}{2} \sigma a_{0}^{2}+\frac{\tilde{\mu}^{2}}{4 \omega_{0}^{2}}\right)<0 .
\]

Данный результат согласуется с (15.39) и (15.40), если при сопоставлении положить $\tilde{\mu}=\varepsilon \mu$. При $\sigma>0$ амплитуды боковых частот всегда остаются малыми. При $\sigma<0$ имеется неустойчивость

в области
\[
\tilde{\mu}^{2}<6|\sigma| \omega_{0}^{2} a_{0}^{2} .
\]

Опять это неустойчивость по линейному приближению; нелинейные уравнения (15.58) – (15.59) сохраняют суммарную энергию. Это согласуется с предположением, что окончательным результатом является решение с конечными амплитудными осцилляциями.

Должно быть достаточно ясно, что предыдущий анализ, хотя и проведенный на конкретном примере, имеет общий характер. Действительно, из (15.61) видно, что $\rho$ всегда является поправкой Стокса к частоте, обозначенной в § 14.2 через $\omega_{2} a^{2}$. Выражение (15.62) для $\Omega$ имеет общий вид. Таким образом, критерий (15.64) можно записать в виде
\[
\left(\omega_{2} a^{2}+\frac{1}{4} \omega_{0}^{\prime \prime} \widetilde{\mu^{2}}\right) \omega_{0}^{\prime \prime} \widetilde{\mu^{2}}<0 .
\]

Это выражение следует сравнить с радикалом в характеристической скорости (14.21); дополнительный член с $\tilde{\mu}^{2}$ связан с дисперсионными әффектами высшего порядка.

Подходы, основанные на взаимодействиях и модуляциях, можно сопоставить, заметив, что модуляцию $k=k^{(0)}+k^{(1)}, a=$ $=a^{(0)}+a^{(1)}$, использованную при выводе (15.39), можно аппроксимировать следующими разложениями:
\[
\begin{array}{l}
\varphi=\frac{1}{2}\left\{a^{(0)}+a^{(1)}\right\} \exp i\left\{\theta^{(0)}+\theta^{(1)}\right\}+ \\
+ \text { комплексно сопряженное выражение } \simeq \\
\simeq \frac{1}{2} a^{(0)} \exp i \theta^{(0)}+\frac{1}{2} a^{(1)} \exp i \theta^{(0)}+\frac{1}{2} i \theta^{(1)} a^{(0)} \exp i \theta^{(0)}+ \\
+ \text { комплексно сопряженное выражение. }
\end{array}
\]

Если теперь для основного волнового пакета положить
\[
a^{(0)}=a_{0}, \quad \theta^{(0)}=x_{0} x-\left(\omega_{0}+\rho\right) t
\]

и выразить возмущения $a^{(1)}, \theta^{(1)}$ через соответствующие линейные комбинации экспонент $e^{ \pm i \tilde{\mu} x}$, то получится описание в терминах боковых частот.

Теория взаимодействий оказывается эффективной только в почти линейном случае и только для модуляций, содержащих конечное число фурье-компонент. Даже в этом случае выкладки оказываются значительно сложнее, чем в модуляционном подходе. Их можно до некоторой степени упростить, снова обратившись к вариационному принципу. Если в лагранжиан подставить выражение
\[
\varphi=\frac{1}{2} \sum A_{v}(t) e^{i x} v^{x-i \omega} v^{t}
\]

то все члены, за исключением резонансных, будут осциллировать по $x$. Исключив их усреднением, можно при помощи вариационного принципа получить уравнения для $A_{n}$. В простейших случаях, подобных рассмотренному выте, упрощение не очень велико. Довольно легко получаем усредненный лагранжиан
\[
\begin{aligned}
\hat{L} & =\frac{1}{4} \sum\left\{\dot{A}_{n} \dot{A}_{n}^{*}-i \omega_{n} A_{n} \dot{A}_{n}^{*}+i \omega_{n} \dot{A}_{n} A_{n}^{*}\right\}- \\
& -\frac{\sigma}{16}\left\{6 \sum A_{n}^{2} A_{n}^{* 2}+24 \sum \sum_{m
eq n} A_{m} A_{m}^{*} A_{n} A_{n}^{*}\right\}- \\
& -\frac{\sigma}{16}\left\{12 A_{0}^{2} A_{+}^{*} A_{-}^{*} e^{i \Omega t}+12 A_{0}^{* 2} A_{+} A_{-} e^{-i \Omega t}\right\},
\end{aligned}
\]

где суммирования проводятся по $A_{0}, A_{+}, A_{-}$. Но дальнейший анализ вариационных уравнений, по существу, таков же. Главное преимущество данной формы записи лагранжиана заключается в каноничности формы.

Теория взаимодействий не ограничена «соседними» волновыми числами. При достаточно общих дисперсионных соотношениях можно рассматривать резонансы, удовлетворяющие равенству (15.56), для сильно отличающихся волновых чисел $x_{v}$. В этом случае существует значительный обмен энергией между различными модами. Такие случаи исследовал Филлипс [1], который приводит и ссылки на другие работы. Иллюстративный пример можно найти в нелинейной оптике (см. § 16.5). Этот тип взаимодействия между сильно отличающимися волновыми числами тесно связан с многофазовыми решениями, указанными в $\$ 14.9$.