Последние примеры, которые мы рассмотрим, легче получить, подобрав сначала подходящие решения ч уравнения теплопроводности (4.7) и затем подставив их в равенство (4.6), определяющее $c$. При этом в качестве наводящего соображения можно использовать

идею, что $c$ ведет себя как $\varphi_{x}$. Так, в случае одиночного горба следовало бы взять $\varphi$ равным решению уравнения (4.7) с начальными условиями в виде ступеньки. Для того чтобы получить $N$-волну для $c$, выберем в качестве $\varphi$ решение уравнения теплопроводности в виде функции источника:
\[
\varphi=1+\sqrt{a / t} e^{-x^{2} /(4 v t)} .
\]

В силу (4.6), соответствующее решение $c$ равно
\[
c=-\frac{2 v \varphi_{x}}{\varphi}=\frac{x}{t} \frac{\sqrt{a / t} e^{-x^{2} /(4 v t)}}{1+\sqrt{a / t} e^{-x^{2} /(4 v t)}} .
\]

Поскольку $\varphi$ при $t \rightarrow 0$ ведет себя как $\delta$-функция, выражение (4.41) несколько затруднительно интерпретировать как решение задачи
Рис. 4.2. Решение уравнения Бюргерса в виде $N$-волны.

Коши для $c$. Однако для любого $t>0$ оно представляется графиком, изображенным на рис. 4.2, с положительной п отрицательной фазами, и в качестве начального профиля можно взять профиль при любом значении $t=t_{0}>0$. Этот профиль типичен для решений вида $N$-волны.
Площадь положительной фазы профиля равна
\[
\int_{0}^{\infty} e d x=-2 v[\ln \varphi]_{0}^{\infty}=2 v \ln (1+\sqrt{a / t}) .
\]

Отрицательная фаза имеет такую же площадь. Таким образом, в противоположность предыдущему случаю площадь положительной фазы стремится к нулю при $t \rightarrow \infty$. Если величину интеграла $(4,42)$ в начальный момент времени $t_{0}$ обозначить через $A$, то можно ввести число Рейнольдса
\[
R_{0}=\frac{A}{2 v}=\ln \left(1+\sqrt{a / t_{0}}\right) .
\]

Но с ростом времени эффективным числом Рейнольдса будет
\[
R(t)=\frac{1}{2 v} \int_{0}^{\infty} c \cdot d x=\ln (1+\sqrt{a / t})
\]

и это число стремится к нулю при $t \rightarrow \infty$. Если $R_{0} \gg 1$, то можно ожидать, что «невязкая теория» (4.4) – (4.5) в течение некоторого времени будет хорошим приближением, но, поскольку $R(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$, в результате будет преобладать диффузионный член. В этом отношении данный пример отличается от предыдущего, в котором эффективное число Рейнольдса оставалось постоянным и равным исходному числу Рейнольдса. Проверим теперь детали. Введя величины $R_{0}$ и $t_{0}$, получаем $a=t_{0}\left(e^{R_{0}}-1\right)^{2}$, поэтому (4.41) можно переписать в виде
\[
c=\frac{x}{t}\left\{1+\sqrt{\frac{t}{t_{0}}} \frac{e^{x^{2} /(4 v t)}}{e^{R_{0}}-1}\right\}^{-1} .
\]

При $R_{0} \gg 1$ (соответственно при $t_{0} \ll a$ ) это выражение можно аппроксимировать следующим:
\[
c \sim \frac{\widetilde{x}}{t}\left\{1+\sqrt{\frac{t}{t_{0}}} e^{\left(x^{2 /(2 A t)-1) R_{0}}\right\}^{-1}}\right.
\]

для всех $x$ и $t$. Таким образом при фиксированном $t$ и $R_{0} \rightarrow \infty$
\[
c \sim\left\{\begin{array}{l}
\frac{x}{t}, \quad-\sqrt{2 A t}<x<\sqrt{2 A t}, \\
0, \quad|x|>\sqrt{2 A t} .
\end{array}\right.
\]

Этот результат в точности совпадает с невязким решением. Однако для любых фиксированных $a$ и $v$ непосредственно из (4.41) видно (и можно также проверить с помощью (4.46)), что
\[
c \sim \frac{x}{t} \sqrt{\frac{a}{t}} e^{-x^{2} /(4 v t)} \quad \text { при } \quad t \rightarrow \infty .
\]

Это дипольное решение уравнения теплопроводности. В последней стадии затухания диффузия доминирует над линейностью. Следует, однако, помнить, что эта стадия затухания наступает при чрезвычайно больших значениях времени, так что невязкая теория оказывается приемлемой почти во всей интересующей нас области.