Как и гамильтонова динамика, вариационный формализм естественным образом применим к консервативным системам; диссипативные эффекты описываются несколько неудобным образом как ненулевые добавки к правым частям предыдущих уравнений. Однако можно сохранить различные канонические формы и левые части по-прежнему можно записывать через лагранжиан. Для того чтобы продемонстрировать это, рассмотрим как частный пример уравнение
$${\phi }_{tt}-{\phi }_{xx}+V(\phi )=-\epsilon D(\phi ,{\phi }_t),$$

где член $\epsilon D(\phi ,{\phi }_t)$ описывает малые диссипативные әффекты Уравнение в двухмасштабной форме, соответствующее (14.42), имеет следующий вид:
$$\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial \theta }\{\frac{1}{2}(v^2-k^2){\mathrm{\Phi }}_{\theta }^2+V(\mathrm{\Phi })-\frac{1}{2}{\epsilon }^2{\mathrm{\Phi }}_T^{2i}+\frac{1}{2}{\epsilon }^2{\mathrm{\Phi }}_X^2\}+\\ +\epsilon \frac{\partial }{\partial T}\{v{\mathrm{\Phi }}_{\theta }^2+\epsilon {\mathrm{\Phi }}_{\theta }{\mathrm{\Phi }}_T\}-\epsilon \frac{\partial }{\partial X}\{k{\mathrm{\Phi }}_{\theta }^2+\epsilon {\mathrm{\Phi }}_{\theta }{\mathrm{\Phi }}_X\}=\\ =-\epsilon {\mathrm{\Phi }}_{\theta }D(\mathrm{\Phi },v{\mathrm{\Phi }}_{\theta }+\epsilon {\mathrm{\Phi }}_T).\end{array}$$

В низшем порядке имеем
$$\frac{1}{2}(v^2-k^2){\mathrm{\Phi }}_{\theta }^2+V(\mathrm{\Phi })=A(X,T),$$

а условие периодичности дает
$$\frac{\partial }{\partial T}{\int }_0^{2\pi }v{\mathrm{\Phi }}_{\theta }^{2}d\theta -\frac{\partial }{\partial \overline{X}}{\int }_0^{2\pi }k{\mathrm{\Phi }}_{\theta }^{2}d\theta =-{\int }_0^{2\pi }{\mathrm{\Phi }}_{\theta }D(\mathrm{\Phi },v{\mathrm{\Phi }}_{\theta })d\theta .$$

Из уравнения (14.87) можно найти производную ${\mathrm{\Phi }}_{\theta }$ как функцию от $\mathrm{\Phi },v,k,A$, и все интегралы в уравнении (14.88) можно записать

как интегралы по замкнутому контуру. Имеем
$$\frac{\partial }{\partial T}{\mathcal{L}}_v+\frac{\partial }{\partial X}{\mathcal{L}}_k=-\mathcal{D},$$

где, как и ранее,
$$\mathcal{L}(v,k,A)=\frac{1}{2\pi }{\left\{2(v^2-k^2)\right\}}^{1/2}\oint \{A-V(\mathrm{\Phi }){\}}^{1/2}d\mathrm{\Phi }-A$$
4
$$\mathcal{D}(v,k,A)=\frac{1}{2\pi }\oint D(\mathrm{\Phi },{\mathrm{\Phi }}_{\theta })d\mathrm{\Phi }.$$

К уравнению (14.89) добавляются уравнения
$${\mathcal{L}}_A=0,\frac{\partial k}{\partial T}-\frac{\partial v}{\partial X}=0,$$

и получается полная система уравнений для $v,k,A$. Уравнение (14.89) указывает на потерю волнового действия за счет диссипации.

Здесь в уравнениях мы вернулись к методу двух времен, но сохранили канонические формы законов сохранения, следующие из лагранжева формализма. Это, очевидно, менее желательно, чем непосредственное применение данного метода к какому-либо расширенному вариационному принципу. Недавно Хименес [1] достиг некоторого успеха в выводе результатов типа уравнения (14.89) в рамках подхода Пригожина к необратимым системам (Доннелли и др. [1]).