Как и гамильтонова динамика, вариационный формализм естественным образом применим к консервативным системам; диссипативные эффекты описываются несколько неудобным образом как ненулевые добавки к правым частям предыдущих уравнений. Однако можно сохранить различные канонические формы и левые части по-прежнему можно записывать через лагранжиан. Для того чтобы продемонстрировать это, рассмотрим как частный пример уравнение
\[
\varphi_{t t}-\varphi_{x x}+V(\varphi)=-\varepsilon D\left(\varphi, \varphi_{t}\right),
\]

где член $\varepsilon D\left(\varphi, \varphi_{t}\right)$ описывает малые диссипативные әффекты Уравнение в двухмасштабной форме, соответствующее (14.42), имеет следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial \theta}\left\{\frac{1}{2}\left(v^{2}-k^{2}\right) \Phi_{\theta}^{2}+V(\Phi)-\frac{1}{2} \varepsilon^{2} \Phi_{T}^{2 i}+\frac{1}{2} \varepsilon^{2} \Phi_{X}^{2}\right\}+ \\
+\varepsilon \frac{\partial}{\partial T}\left\{v \Phi_{\theta}^{2}+\varepsilon \Phi_{\theta} \Phi_{T}\right\}-\varepsilon \frac{\partial}{\partial X}\left\{k \Phi_{\theta}^{2}+\varepsilon \Phi_{\theta} \Phi_{X}\right\}= \\
=-\varepsilon \Phi_{\theta} D\left(\Phi, v \Phi_{\theta}+\varepsilon \Phi_{T}\right) .
\end{array}
\]

В низшем порядке имеем
\[
\frac{1}{2}\left(v^{2}-k^{2}\right) \Phi_{\theta}^{2}+V(\Phi)=A(X, T),
\]

а условие периодичности дает
\[
\frac{\partial}{\partial T} \int_{0}^{2 \pi} v \Phi_{\theta}^{2} d \theta-\frac{\partial}{\partial \bar{X}} \int_{0}^{2 \pi} k \Phi_{\theta}^{2} d \theta=-\int_{0}^{2 \pi} \Phi_{\theta} D\left(\Phi, v \Phi_{\theta}\right) d \theta .
\]

Из уравнения (14.87) можно найти производную $\Phi_{\theta}$ как функцию от $\Phi, v, k, A$, и все интегралы в уравнении (14.88) можно записать

как интегралы по замкнутому контуру. Имеем
\[
\frac{\partial}{\partial T} \mathscr{L}_{v}+\frac{\partial}{\partial X} \mathscr{L}_{k}=-\mathscr{D},
\]

где, как и ранее,
\[
\mathscr{L}(v, k, A)=\frac{1}{2 \pi}\left\{2\left(v^{2}-k^{2}\right)\right\}^{1 / 2} \oint\{A-V(\Phi)\}^{1 / 2} d \Phi-A
\]
4
\[
\mathscr{D}(v, k, A)=\frac{1}{2 \pi} \oint D\left(\Phi, \Phi_{\theta}\right) d \Phi .
\]

К уравнению (14.89) добавляются уравнения
\[
\mathscr{L}_{A}=0, \quad \frac{\partial k}{\partial T}-\frac{\partial v}{\partial X}=0,
\]

и получается полная система уравнений для $v, k, A$. Уравнение (14.89) указывает на потерю волнового действия за счет диссипации.

Здесь в уравнениях мы вернулись к методу двух времен, но сохранили канонические формы законов сохранения, следующие из лагранжева формализма. Это, очевидно, менее желательно, чем непосредственное применение данного метода к какому-либо расширенному вариационному принципу. Недавно Хименес [1] достиг некоторого успеха в выводе результатов типа уравнения (14.89) в рамках подхода Пригожина к необратимым системам (Доннелли и др. [1]).