Рассмотрим теперь уравнения модуляций в следующем после (15.1) – (15.3) порядке приближения. Для простоты будем работать с примером
\[
\varphi_{t t}-\varphi_{x x}+\varphi+4 \sigma \varphi^{3}=0
\]

и ограничим анализ почти линейным случаем. Но результаты типичны для задачи в целом, и более содержательные физические приложения будут указаны при изложении нелинейной оптики в § 16.4. Вариационный принцип для (15.30) включает лагранжиан
\[
L=\frac{1}{2} \varphi_{t}^{2}-\frac{1}{2} \varphi_{x}^{2}-\frac{1}{2} \varphi^{2}-\sigma \varphi^{4},
\]

и точные уравнения модуляций находятся из условия
\[
\begin{array}{c}
\delta \iint \bar{L} d X d T=0, \\
\bar{L}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left\{\frac{1}{2}\left(-\omega \Phi_{\theta}+\varepsilon \Phi_{T}\right)^{2}-\frac{1}{2}\left(k \Phi_{\theta}+\varepsilon \Phi_{X}\right)^{2}-\right. \\
\left.-\frac{1}{2} \Phi^{2}-\sigma \Phi^{4}\right\} d \theta,
\end{array}
\]

как показано в (14.44). (Мы возвращаемся к обычной частоте $\omega=-v$.) Для почти линейной теории можно использовать ряд Фурье
\[
\Phi=a \cos \theta+a_{3} \cos 3 \theta+a_{5} \cos 5 \theta+\ldots,
\]

как и при выводе (14.52). Но теперь мы сохраним также члены следующего порядка по $\varepsilon$. Коэффициенты $a_{n}$ пропорциональны $a^{n}$, и данный случай особенно прост, поскольку в нужном нам порядке приближения дает вклад только член $a \cos \theta$. Имеем
\[
\bar{L}=\frac{1}{4}\left(\omega^{2}-k^{2}-1\right) a^{2}-\frac{3}{8} \sigma a^{4}+\frac{1}{4} \varepsilon^{2}\left(a_{T}^{2}-a_{X}^{2}\right)+O\left(a^{6}, \varepsilon^{2} a^{4}\right) .
\]

Это двойное разложение, в котором предполагается, что $\varepsilon$ и $a$ величины одинакового порядка ${ }^{1}$ ). Линейный член равен $1 / 4\left(\omega^{2}-k^{2}-1\right) a^{2}$, первая нелинейная поправка дает – $3 / 8 \sigma a^{4}$, и первая поправка за счет дисперсии высшего шорядка составляет $1 / 4 \varepsilon^{2}\left(a_{T}^{2}-a_{X}^{2}\right)$. Вариационные уравнения записываются так:
\[
\begin{array}{l}
\delta a:\left(\omega^{2}-k^{2}-1\right) a-3 \sigma a^{3}-\varepsilon^{2}\left(a_{T T}-a_{X X}\right)=0, \\
\delta \Theta: \frac{\partial}{\partial T}\left(\omega a^{2}\right)+\frac{\partial}{\partial X}\left(k a^{2}\right) \quad=0, \\
\end{array}
\]

а условие совместности – так:
\[
\frac{\partial k}{\partial T}+\frac{\partial \omega}{\partial X}=0 .
\]

Следует отметить, что, в силу (15.35), $\Theta(X, T)$ теперь зависит также и от $\varepsilon$ и что последовательное разделение в депочку уравнений для различных порядков по $\varepsilon$ не было проведено. Вариационный принцип (15.32) является точным, и мы всего лишь применили его к приближенному лагранжиану (15.34).

В данном конкретном случае уравнения модуляций высшего порядка оказываются более сложными по форме, чем исходное уравнение (15.30)! Тем не менее по ним легче определить поведение модуляций, чем по исходному уравкению. Конечно, обычно при переходе к уравнениям модуляций достигается значительное упрощение, но как бы то ни было система (15.35) – (15.37) типична для общего случая.

Когда члены с $\varepsilon$ опущены, уравнения модуляций становятся гиперболическими при $\sigma>0$ и эллиштическими при $\sigma<0$. Эффекты дисперсии выспего порядка вводят в уравнения (15.35) (15.37) третьи производные от $a$, и уравнения модуляций сами становятся диспергирующими. В случае $\sigma>0$ они по структуре аналогичны уравнениям Буссинеска.

Следует ожидать, что следствия для опрокидывания будут такими же, как было указано в § 15.4. Относительно существования периодических решений и уединенных волн мы ограничимся краткими замечаниями. Сначала, однако, посмотрим, какое
1) Эквивалентным образом можно положить $a$ величиной порядка $O$ (1), принять $\sigma$ за меру нелинейности и использовать двойное разложение по малым параметрам $\sigma$ и $\varepsilon^{2}$.

влияние оказывают дополнительные члены на неустойчивость, обнаруженную в эллиптическом случае $\sigma<0$.

Однородный волновой пакет является решением с постоянными величинами $\omega^{(0)}, k^{(0)}, a^{(0)}$, удовлетворяющими дисперсионному соотнопению (15.35). Для малых возмущений $\omega^{(1)}, k^{(1)}, a^{(\mathbf{1})}$ этих значений линеаризованные уравнения (15.35) – (15.37) являются однородными и имеют постоянные коэффициенты, зависящие от $\omega^{(0)}, k^{(0)}, a^{(0)}$. Для возмущений $\omega^{(1)}, k^{(1)}, a^{(1)}$ имеются элементарные репения, пропорциональные $e^{i \mu(X-C T)}$, где $C$ удовлетворяет соотношению
\[
\left\{\omega^{(0)} C-k^{(0)}\right\}^{2}-(1-C)^{2}\left\{\frac{3 \sigma a^{(0) 2}}{2}+\frac{\varepsilon^{2} \mu^{2}}{4}\left(1-C^{2}\right)\right\}=0 .
\]

Параметр $\mu$ определяет волновое число для модулядий. Для малых значений $a^{(0)}$ и $\varepsilon$
\[
C=\frac{k^{(0)}}{\omega^{(0)}} \pm \frac{1}{\omega^{(0) 2}}\left(\frac{3 \sigma a^{(0) 2}}{2}+\frac{\varepsilon^{2} \mu^{2}}{4 \omega^{(0)}}\right)^{1 / 2} .
\]

Если пренебречь членом с $\mu$, то это будут простохарактеристические скорости, комплексные при $\sigma<0$. Влияние дисперсии за счет поправки по $\mu$ имеет стабилизирующий характер, и неустойчивость теперь ограничена областью
\[
0<\varepsilon^{2} \mu^{2}<6|\sigma| \omega^{(0) 2} a^{(0) 2}
\]

изменения модуляционного волнового числа $\varepsilon \mu$.
В обоих случаях $\sigma>0$ п $\sigma<0$ важно заметить, что система (15.35) – (15.37) имеет решения в виде стационарных профилей, распространяющихся без изменения формы. Они находятся обычным образом как решения, у которых все величины являются функциями от переменной $X-V T$. Имеем
\[
\begin{aligned}
\varepsilon^{2}\left(1-V^{2}\right) a^{\prime \prime}+\left(\omega^{2}-k^{2}-1\right) a-3 \sigma a^{3} & =0, \\
(\omega V-k) a^{2} & =R, \\
\omega-V k & =S,
\end{aligned}
\]

где $R$ и $S$ – постоянные интегрирования. Последние два уравнения можно использовать для исключения из первого уравнения переменных $\omega$ и $k$, что дает
\[
\varepsilon^{2}\left(1-V^{2}\right)^{2} a^{\prime \prime}=\frac{R^{2}-S^{2} a^{4}+\left(1-V^{2}\right)\left(a^{4}+3 \sigma a^{6}\right)}{a^{3}} .
\]

В общем случае это уравнение имеет периодические решения (волновые пакеты, образованные огибающей исходного модулированного волнового пакета!), в которых а осциллирует между двумя простыми нулями числителя правой части. Уединенные волны соответствуют предельным случаям.

Уединенная волна с $a \rightarrow 0$ при $X \rightarrow \pm \infty$ представляет особый интерес; она описывает волновой пакет, изображенный на рис. 15.2.
Рис. 15.2. Модуляция типа уединенной волны.

В этом случае в равенстве (15.42) $R=0$, поскольку $a \rightarrow 0$ на $\infty$. Отсюда
\[
V=\frac{k}{\omega}
\]

далее, в свою очередь, в силу соотношения (15.43), величины $\omega$ и $k$ являются постоянными. Для этого примера линейное дисперсионное соотношение имеет вид $\omega_{0}=\left(k^{2}+1\right)^{1 / 2}$ и линейная групповая скорость выражается формулой
\[
C_{0}=\frac{k}{\left(k^{2}+1\right)^{1 / 2}}=\frac{k}{\omega_{0}}<1 .
\]

Мы видим, что скорость $V$ является нелинейным аналогом скорости $C_{0}$; для малых амплитуд $V$ и $C_{0}$ будут близки. Поскольку $C_{0}<1$, можно считать, что $V<1$. Так как $\omega$ и $k$ постоянны, уравнение (15.41) для $a$ интегрируется и дает
\[
\varepsilon^{2}\left(1-V^{2}\right) a^{\prime 2}=\frac{3}{2} \sigma a^{4}-\left(\omega^{2}-k^{2}-1\right) a^{2} .
\]

Чтобы $a \rightarrow 0$ на $\infty$, должно выполняться неравенство
\[
\omega^{2}-k^{2}-1<0 .
\]

Для максимального значения $a$ имеем
\[
\omega^{2}-k^{2}-1=\frac{3}{2} \sigma a_{m}^{21},
\]

так что уединенные волны данного типа существуют только в эллиптическом случае $\sigma<0$. Скорость (15.45) для такого волнового пакета равна
\[
V=\frac{k}{\left(k^{2}+1\right)^{1 / 2}}-\frac{3}{4} \frac{|\sigma| a_{m}^{2}}{\left(k^{2}+1\right)^{3 / 2}} ;
\]

он движется несколько медленнее, чем возмущения с линейной групновой скоростью. Для аналогичной задачи нелинейной оптики Островский [1] предположил, что результатом неустойчивости может быть периодическое решение, по существу являющееся последовательностью таких волновых шакетов.

В гиперболическом случае $\sigma>0$ такие предельные уединенные волны отсутствуют, но можно найти периодические волновые пакеты и уединенные волны с амплитудой $a$, отделенной от нуля. Это похоже на истину, поскольку при $\sigma>0$ модуляции в гиперболической теории ( $\varepsilon=0$ ) приводят к искажениям, но не нарастают. Дисперсия может противодействовать этим искажениям и привести к стационарным профилям, и нет причины для возрастания, ведущего к предельному случаю с $a=0$. Наличие таких профилей подтверждает существующее мнение, что в некоторых случаях не происходит опрокидывания, и в области опрокидывания волновой пакет стремится к стационарному осциллирующему профилю.

В почти линейной теории дисперсионные члены высокого порядка возникают за счет квадратичной части лагранжиана и легко показать, что общее выражение, отвечающее лагранжиану (15.34), имеет вид
\[
\bar{L}=G(\omega, k) a^{2}+G_{2}(\omega, k) a^{4}+\frac{1}{2} \varepsilon^{2}\left\{G_{\omega \omega} a_{T}^{2}+2 G_{\omega k} a_{T} a_{X}+G_{k k} a_{X}^{2}\right\} .
\]

Вариационные уравнения аналогичны уравнениям (15.35) – (15.37).