Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
В случае одной пространственной переменной $x$ волновое уравнение имеет вид
\[
\varphi_{t t}=c^{2} \varphi_{x x} .
\]
Если ввести характеристические координаты $\alpha=x-c t$, $\beta=x+c t$, то оно сведется к
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial \alpha \partial \beta}=0,
\]
и общим решением явится
\[
\varphi=f(\alpha)+g(\beta)=f(x-c t)+g(x+c t),
\]
где $f$ и $g-$ произвольные функции. Эти произвольные функции легко определяются по заданным начальным или граничным
условиям. Для задачи о распространении сигнала с условием $\left.{ }^{2}\right)$
\[
\varphi_{x}=Q(t) \quad \text { при } \quad x=0
\]
решение имеет вид
\[
\varphi=-c Q_{1}\left(t-\frac{x}{c}\right),
\]
где $Q_{1}(t)$ – первообразная функции $Q(t)$. Для задачп с начальными условиями
\[
\varphi=\varphi_{0}(x), \quad \varphi_{t}=\varphi_{1}(x), \quad t=0, \quad-\infty<x<\infty,
\]
решение имеет вид
\[
\varphi=\frac{1}{2}\left\{\varphi_{0}(x-c t)+\varphi_{0}(x+c t)\right\}+\frac{1}{2 c} \int_{x-c t}^{x+c t} \varphi_{1}(\xi) d \xi .
\]
