В случае одной пространственной переменной $x$ волновое уравнение имеет вид
$${\phi }_{tt}=c^2{\phi }_{xx}.$$

Если ввести характеристические координаты $\alpha =x-ct$, $\beta =x+ct$, то оно сведется к
$$\frac{{\partial }^2\phi }{\partial \alpha \partial \beta }=0,$$

и общим решением явится
$$\phi =f(\alpha )+g(\beta )=f(x-ct)+g(x+ct),$$

где $f$ и $g-$ произвольные функции. Эти произвольные функции легко определяются по заданным начальным или граничным

условиям. Для задачи о распространении сигнала с условием ${}^2)$
$${\phi }_x=Q(t)\text{ при }x=0$$

решение имеет вид
$$\phi =-c{Q}_1(t-\frac{x}{c}),$$

где $Q_1(t)$ — первообразная функции $Q(t)$. Для задачп с начальными условиями
$$\phi ={\phi }_0(x),{\phi }_t={\phi }_1(x),t=0,-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty },$$

решение имеет вид
$$\phi =\frac{1}{2}\{{\phi }_0(x-ct)+{\phi }_0(x+ct)\}+\frac{1}{2c}{\int }_{x-ct}^{x+ct}{\phi }_1(\xi )d\xi .$$