После обсуждения этих различных точек зрения вернемся к математической задаче построения разрывного решения, удовлетворяющего па разрывах соотношению
\[
U=\frac{Q\left(\rho_{2}\right)-Q\left(\rho_{1}\right)}{\rho_{2}-\rho_{1}}
\]

и представимого в области непрерывности в виде
\[
\rho=f(\xi), \quad x=\xi+F(\xi) t .
\]

Любая многозначная часть волнового профиля (2.39) должна быть заменена некоторым подходящим разрывом, как показано на

Рпс. 2.8. Построение областей равної ілощади для определения положения разрыва в опрокидывающейся волне.

рис. $2.8^{1}$ ). Правильное положение разрыва можно определить с помощью следующего простого соображения. Как многозначная,
1) Этот рисунок построен для случая $c^{\prime}(\rho)>0$, но все формулы этого параграфа справедливы и для случая $c^{\prime}(\rho)<0$.

так и разрывная кривые удовлетворяют закону сохранения. Следовательно, значения интеграла $\int \rho d x$ для них должны совпадать, и поэтому разрыв должен отсекать области с равными площадями, заштрихованные на рис. 2.8. Хотя это определение является совершенно общим, оно неудобно для аналитических построений. Общий случай слишком сложен, и стоит разобрать сначала частный пример. Для этого вернемся к случаю квадратичной функции $Q(\rho)$. Рассматриваемый случай включает в себя слабые возмущения равновесного состояния с $\rho=\rho_{0}$, поскольку тогда $Q(\rho)$ можно аппроксимировать выражением
\[
Q=Q\left(\rho_{0}\right)+Q^{\prime}\left(\rho_{0}\right)\left(\rho-\rho_{0}\right)+1 / 2 Q^{\prime \prime}\left(\rho_{0}\right)\left(\rho-\rho_{0}\right)^{2},
\]

и поәтому обладает значительной общностью.
Рассмотрим
\[
Q(\rho)=\alpha \rho^{2}+\beta \rho+\gamma ;
\]

тогда
\[
c(\rho)=Q^{\prime}(\rho)=2 \alpha \rho+\beta,
\]

так что скорость ударной волны (2.38) равняется
\[
U=1 / 2\left(c_{1}+c_{2}\right),
\]

где $c_{1}=c\left(\rho_{1}\right), c_{2}=c\left(\rho_{2}\right)$.
Простота этого случая состоит в том, что все решение задачи можно записать только через одну переменную $c$. Непрерывное решение имеет вид
\[
\begin{array}{l}
c=F(\xi), \\
x=\xi+F(\xi) t,
\end{array}
\]

и разрывы следует строить таким образом, чтобы
\[
U=1 / 2\left(c_{1}+c_{2}\right)=1 / 2\left\{F\left(\xi_{1}\right)+F\left(\xi_{2}\right)\right\},
\]

где $\xi_{1}$ и $\xi_{2}$ — значения $\xi$ на сторонах разрыва. Поскольку $\rho$ и $c$ связаны линейным соотношением, из сохранения $\rho$ следует сохранение $c$, т. е. на решениях $\int c d x$ сохраняется. Следовательно, для этого частного случая построение для ( $\rho, x$ )-кривой, приведенное на рис. 2.8 , применимо равным образом и к ( $c, x$ )-кривой.

Для дальнейших ссылок стоит отметить, что это решение, записанное через $c$, удовлетворяет уравнению
\[
c_{t}+c c_{x}=0,
\]

а соответствующие слабые решения удовлетворяют закону сохранения
\[
c_{t}+\left(c^{2} / 2\right)_{x}=0
\]

так что условие на разрыве имеет вид
\[
U=\frac{c_{2}^{2} / 2-c_{1}^{2} / 2}{c_{2}-c_{1}}=\frac{1}{2}\left(c_{1}+c_{2}\right) .
\]

Уравнение (2.42) справедливо для случая произвольной зависимости $Q(\rho)$, поскольку оно получается умножением на $c^{\prime}(\rho)$ уравнения $\rho_{t}+c(\rho) \rho_{x}=0$; результат (2.44) всегда является одним

Рис. 2.9. Построение ообластей равной площади: $a$ — для исходного профиля, $b$ — для трансформированного опрокидывающегося профиля.

из возможных стабых рещений, но этот выбор правилен лишь тогда, когда $Q(\rho)$ — квадратичная функция или аппроксимируе тся квадратичной функцией, поскольку только в этом случае интегральный аналог равенства (2.43) сохраняется при переходе через разрыв.

Построение разрыва можно теперь вести параллельно с построением непрерывного рещения (2.40). Поскольку теперь мы работаем с $c$, не нужно делать усложняющего дело различия между случаями $c^{\prime}(\rho)>0$ и $c^{\prime}(\rho)<0$. Согласно (2.40), решение в момент времени $t$ получается из исходного профиля $c=F(\xi)$ на рис. 2.9. Разрыв вырезает часть, соответствующую отрезку $\xi_{2} \geqslant \xi \geqslant \xi_{1}$. Если линию разрыва на рис. $2.9, b$ также отобразить обратно на рис. 2.9 , a, то она перейдет в отрезок хорды, соединяющий точки кривой $F(\xi)$ с $\xi=\xi_{1}$ и $\xi=\xi_{2}$. Далее, поскольку площади при таком отображении сохраняются, свойство равных площадей остается справедливым и для рис. $2.9, a$; площади областей, ограниченных кривой $F$ и отрезками хорды, равны между собой. Таким образом, разрыв можно полностью найти по заданной кривой $F(\xi)$, построив все хорды со свойством равных площадей. Точки $\xi=\xi_{1}, \xi=\xi_{2}$, лежащие на концах такой хорды, отвечают характеристикам, пересекающимся в точке разры-

ва. Соответствующая $(x, t)$-плоскость изображена на рис. 2.10. Аналитически свойство равных площадей можно выразить следующим образом:
\[
\frac{1}{2}\left\{F\left(\xi_{1}\right)+F\left(\xi_{2}\right)\right\}\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right)=\int_{\xi_{2}}^{\xi_{1}^{1}} F(\xi) d \xi,
\]

поскольку левая часть равна площади, ограниченной сверху хордой, а правая — площади, ограниченной сверху кривой $F$. Если разрыв в момент времени $t$ находится в точке $x=s(t)$, то имеем также
\[
\begin{array}{l}
s(t)=\xi_{1}+F\left(\xi_{1}\right) t, \\
s(t)=\xi_{2}+F\left(\xi_{2}\right) t,
\end{array}
\]

что следует из второго из равенств (2.40). Три уравнения (2.45) (2.47) определяют три функции $s(t), \xi_{1}(t)$ и $\xi_{2}(t)$. Функция $s(t)$

Рис. 2.10. ( $x, t$ )-диаграмма, соответствующая построению разрыва на рис. 2.9.

находится с помощью функций $\xi_{1}(t)$ и $\xi_{2}(t)$, которые определяют характеристики, пересекающиеся в точке разрыва в момент времени $t$. Значения $c$ на двух сторонах разрыва равны $c_{1}=F\left(\xi_{1}\right)$ и $c_{2}=F\left(\xi_{2}\right)$; значения $\rho$ находятся по значениям $c$.

Поскольку равенства (2.45) — (2.47), определяющие положение разрыва, получены геометрически, интересно проверить непосредственно, что они действительно удовлетворяют условию (2.41) на разрыве. Эту проверку можно провести как независимый вывод равенства (2.45). Нам надо найти три функции $s(t), \xi_{1}(t)$ и $\xi_{2}(t)$, удовлетворяющие равенствам $(2.46),(2.47)$ и условию
\[
\dot{s}(t)=1 / 2\left\{F\left(\xi_{1}\right)+F\left(\xi_{2}\right)\right\}
\]

(точка означает дифференцирование по $t$ ). Из (2.46) и (2.47) имеем
\[
t=-\frac{\xi_{1}-\xi_{2}}{F\left(\xi_{1}\right)-F\left(\xi_{2}\right)}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\dot{s}(t)=\left\{1+t F^{\prime}\left(\xi_{1}\right)\right\} \dot{\xi}_{1}+F\left(\xi_{1}\right), \\
\dot{s}(t)=\left\{1+t F^{\prime}\left(\xi_{2}\right)\right\} \dot{\xi}_{2}+F\left(\xi_{2}\right) .
\end{array}
\]

Взяв для сохранения симметрии среднее арифметическое двух последних выражений для $\dot{s}$, подставив для $t$ выражение (2.49) и затем подставив результат в (2.48), получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\left\{F^{\prime}\left(\xi_{1}\right) \dot{\xi}_{1}+F^{\prime}\left(\xi_{2}\right) \dot{\xi}_{2}\right\}\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right)+ \\
\quad+\frac{1}{2}\left\{F\left(\xi_{1}\right)+F\left(\xi_{2}\right)\right\}\left(\dot{\xi}_{1}-\dot{\xi}_{2}\right)=F\left(\xi_{1}\right) \dot{\xi}_{1}-F\left(\xi_{2}\right) \dot{\xi}_{2} .
\end{array}
\]

Проинтегрировав это выражение, получим равенство (2.45); постоянную интегрирования можно опустить, поскольку начальная точка разрыва $\xi_{1}=\xi_{2}$ должна быть решением.

Выражение (2.49) для $t$ можно использовать для исследования развития разрыва. Поскольку $t>0$, все интересующие нас хорды на рис. 2.9 , а должны иметь отрицательный наклон. Так как, согласно выбору обозначений, $\xi_{1}>\xi_{2}$, имеем $F\left(\xi_{2}\right)>F\left(\xi_{1}\right)$, т. е. $c_{2}>c_{1}$, как и следует из условия опрокидывания. Самое раннее время возникновения разрыва соответствует самой крутой хорде. Этому отвечает предельный случай, когда хорда является касательной в точке перегиба, скажем $\xi=\xi_{B}$. В этом случае $F\left(\xi_{1}\right)=F\left(\xi_{2}\right)$, так что разрыв начинается с нулевого скачка и в момент времени
\[
t_{B}=-\frac{1}{F^{\prime}\left(\xi_{B}\right)} .
\]

Этот результат полностью совпадает с выведенным ранее условием (2.8) для точки первого опрокидывания. Для кривой $F$ показанного на рис. $2.9, a$ вида при $t \rightarrow \infty$ хорды стремятся к горизонталям, при этом $F\left(\xi_{2}\right)-F\left(\xi_{1}\right) \rightarrow 0$, откуда $c_{2}-c_{1} \rightarrow 0$, тав что при $t \rightarrow \infty$ разрыв стремится к нулю.
Одиночный горб
Для подробного изучения разрыва предположим сначала, что $F(\xi)$ равна некоторой постоянной $c_{0}$ вне интервала $0<\xi<L$ и $F(\xi)>c_{0}$ в этом интервале́. Уравнение (2.45) можно переписать в виде
\[
\frac{1}{2}\left\{F\left(\xi_{1}\right)+F\left(\xi_{2}\right)-2 c_{0}\right\}\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right)=\int_{\xi_{2}}^{\xi_{1}}\left\{F(\xi)-c_{0}\right\} d \xi .
\]

С ростом времени $\xi_{1}$ возрастает и в какой-то момент превосходит
$L$. На этой стадии $F\left(\xi_{1}\right)=c_{0}$ и разрыв движется в область, где $c=c_{0}$. Функцию $\xi_{1}(t)$ можно исключить, поскольку теперь
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2}\left\{F\left(\xi_{2}\right)-c_{0}\right\}\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right)=\int_{\xi_{2}}^{L}\left\{F(\xi)-c_{0}\right\} d \xi, \\
t=\frac{\xi_{1}-\xi_{2}}{F\left(\xi_{2}\right)-c_{0}} .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
\left.\frac{1}{2} \right\rvert\,\left\{F\left(\xi_{2}\right)-c_{0}\right\}^{2} t=\int_{\xi_{2}}^{L}\left\{F(\xi)-c_{0}\right\} d \xi .
\]

На этой стадии положение разрыва и значение $c$ сразу за разрывом даются равенствами
\[
\begin{array}{c}
s(t)=\xi_{2}+F\left(\xi_{2}\right) t, \\
c=F\left(\xi_{2}\right),
\end{array}
\]

где $\xi_{2}(t)$ удовлетворяет соотношению
\[
\frac{1}{2}\left\{F\left(\xi_{2}\right)-c_{0}\right\}^{2} t=\int_{\xi 2}^{L}\left\{F(\xi)-c_{0}\right\} d \xi
\]

Если $t \rightarrow \infty$, то $\xi_{2} \rightarrow 0$ и $F\left(\xi_{2}\right) \rightarrow c_{0}$; при этом уравнение для $\xi_{2}(t)$ принимает предельный вид
\[
\frac{1}{2}\left\{F\left(\xi_{2}\right)-c_{0}\right\}^{2} t \sim A,
\]

где
\[
A=\int_{0}^{L}\left\{F(\xi)-c_{0}\right\} d \xi
\]
— площадь горба над невозмущенным уровнем $c_{0}$. Таким обравом, при $\xi_{2} \rightarrow 0$ мы имеем $F\left(\xi_{2}\right) \sim c_{0}+\sqrt{2 A / t}$. Поэтому выражения (2.50) переходят в следующие асимптотические формулы для $s(t)$ и $c$ :
\[
\begin{aligned}
s & \sim c_{0} t+\sqrt{2 A t}, \\
c-c_{0} & \sim \sqrt{2 A / t} .
\end{aligned}
\]

Линия разрыва асимптотически приближается к параболе, а величина разрыва, равная $\left(c-c_{0}\right) / c_{0}$, стремится к нулю как $t^{-1 / 2}$.

Решение за разрывом дается равенствами (2.40), где $0<\xi<$ $<\xi_{2}$. Так как $\xi_{2} \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$, все интересующие нас зна-

чения $\xi$ также стремятся к нулю и асимптотическое выражение имеет вид
\[
c \sim \frac{x}{t}, \quad c_{0} t<x<c_{0} t+\sqrt{2 A t} .
\]

Это асимптотическое решение и соответствующая ( $x, t$ )-диаграмма
Рис. 2.11. Асимптотическая форма треугольной волны.

приведены на рис. 2.11. Отметим, что все детали начального префиля утеряны, в асимптотическом решении фигурирует только величина $A=\int_{0}^{L}\left\{F(\xi)-c_{0}\right\} d \xi$.
$N$-волна
Аналогичным образом можно рассматривать и некоторые другие задачи. Важным примером является случай, когда $F(\xi)$ имеет положительную и отрицательную фазы относительно невозмущенного значения $c_{0}$, как показано на рис. 2.12. В этом случае существуют два разрыва, соответствующие двум областям сжатия — спереди и сзади, где $F^{\prime}(\xi)<0$. Семейства хорд для каждого разрыва изображены на рисунке. При $t \rightarrow \infty$ пара ( $\xi_{2}, \xi_{1}$ ) стремится для переднего разрыва к $(0, \infty)$, а для заднего разрыва к ( $-\infty, 0)$. Асимптотически передний разрыв определяется так:
\[
s \sim c_{0} t+\sqrt{2 A t},
\]

Рис. 2.12. Построение разрывов для $N$-волны.
Рис. 2.13. Асимптотическая форма $N$-волны.

a ero величина — так:
\[
c-c_{0} \sim \sqrt{2 A / t}
\]

где $A$ — площадь области, расположенной ниже кривой $F$ и выше прямой $c=c_{0}$. Задний разрыв определяется соотношениями
\[
\begin{aligned}
s & \sim c_{0} t-\sqrt{2 B t}, \\
c-c_{0} & \sim-\sqrt{2 B / t},
\end{aligned}
\]

где $B$ — плоцадь области, расположенной выше кривой $F$ и ниже прямой $c=c_{0}$. Между разрывами решение асимштотически снова представляется так:
\[
c \sim \frac{x}{t}, \quad c_{0} t-\sqrt{2 B t}<x<c_{0} t+\sqrt{2 A t} .
\]

Асимптотическая форма $N$-волны и соответствующая $(x, t)$-диаграмма приведены на рис. 2.13. Очертания этого профиля напоминают букву $N$; әтим и обусловлено название $N$-волны.
Периодическая волна
Другой интересный случай — начальный профиль вида
\[
c=F(\xi)=c_{0}+a \sin (2 \pi \xi / \lambda) .
\]

В этом случае уравнения (2.45) — (2.47) для разрыва значительно
Рис. 2.14. Построение разрыва для периодической волны.

упрощаются при всех $t$. Рассмотрим один период $0<\xi<\lambda$, как это сделано на рис. 2.14. Соотношение (2.45) принимает вид
\[
\begin{aligned}
\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right) \sin \frac{\pi}{\lambda}\left(\xi_{1}+\xi_{2}\right) \cos \frac{\pi}{\lambda}\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right) & = \\
= & \frac{\lambda}{\pi} \sin \frac{\pi}{\lambda}\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right) \sin \frac{\pi}{\lambda}\left(\xi_{1}+\xi_{2}\right),
\end{aligned}
\]

и единственное подходящее решение — это тривиальное решение
\[
\sin \frac{\pi\left(\xi_{1}+\xi_{2}\right)}{\lambda}=0, \text { т. е. } \xi_{1}+\xi_{2}=\lambda .
\]

Вычитая и складывая равенства (2.46) и (2.47), получаем
\[
\begin{array}{l}
t=\frac{\xi_{1}-\xi_{2}}{2 a \sin \left[(\pi / \lambda)\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right)\right]}, \\
s=c_{0} t+\frac{\lambda}{2}
\end{array}
\]

соответственно. Изменение ${ }_{-} c$ на разрыве равно

Положим
\[
c_{2}-c_{1}=a \sin \frac{2 \pi \xi_{1}}{\lambda}-a \sin \frac{2 \pi \xi_{2}}{\lambda}=2 a \sin \frac{\pi}{\lambda}\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right) .
\]

тогда
\[
\xi_{1}-\xi_{2}=\frac{\lambda \theta}{\pi}, \quad \xi_{1}+\xi_{2}=\lambda
\]
\[
\begin{aligned}
t & =\frac{\lambda}{2 \pi a} \frac{\theta}{\sin \theta}, \\
s & =c_{0} t+\frac{\lambda}{2}, \\
\frac{c_{2}-c_{1}}{c_{0}} & =\frac{2 a}{c_{0}} \sin \theta .
\end{aligned}
\]

Разрыв имеет постоянную скорость $c_{0}$, и этот результат можно было бы получить заранее из симметрии задачи. Разрыв начинается
Рис. 2.15. Асимптотическая форма периодической волны.

с нулевой величины, соответствующей $\theta=0$, в момент $t=\lambda /(2 \pi a)$. Он достигает максимального значения $2 a / c_{0}$ при $\theta=\pi / 2, t=$ $=\lambda /(4 a)$ и, наконец, затухает при $\theta \rightarrow \pi, t \rightarrow \infty$,
\[
\frac{c_{2}-c_{1}}{c_{0}} \sim \frac{\lambda}{c_{0} t} .
\]

Интересно, что эта асимптотическая формула не содержит амплитуду $a$ в явном виде. Однако она применима лишь при условии $t \gg \lambda / a$. Для любой периодической функции $F(\xi)$, синусоидальной или нет, $\xi_{1}-\xi_{2} \rightarrow \lambda$ при $t \rightarrow \infty$; отсюда, в силу (2.49),
\[
\frac{c_{2}-c_{1}}{c_{0}}=\frac{F\left(\xi_{2}\right)-F\left(\xi_{1}\right)}{c_{0}} \sim \frac{\lambda}{c_{0} t} .
\]

Между двумя соседними разрывами решение для $c$ является линейной по $x$ функцией с наклоном $1 / t$, как и раньше, и асимптотический профиль имеет пилообразную форму; см. рис. 2.15.
Слияние разрывов
Если возникло несколько ударных волн, то, вообще говоря, одна из них может догнать идущую впереди. В этом случае они объединяются и продолжают двигаться как единая ударная волна. Данный процесс также описывается нашим разрывным репением. Рассмотрим кривую $F$ на рис. 2.16. Возникли два разрыва, соответствующие точкам перегиба $P$ и $Q$ с семействами хорд, отсекающих равные площади, таких, как
Рис. 2.16. Построение сливающихся разрывов. $P_{1} P_{2}$ и $Q_{1} Q_{2}$. Со временем точки $Q_{1}$ и $P_{2}$ сближаются, пока, наконец, не наступает момент, изображенный на рис. $2.16, b$, когда общая хорда отсекает от обоих горбов области с равными площадями. В этот момент характеристики, соответствующие точкам $P_{2}^{\prime}$ и $Q_{1}^{\prime}$, совпадают и, следовательно, разрывы сливаются в один, как это показано на ( $x, t$ )диаграмме (рис. 2.17).

Все характеристики, проходящие между $Q_{2}^{\prime}$ и $P_{1}^{\prime}$, теперьпоглощены тем или другим разрывом; двигаться продолжает единый разрыв, определяемый хордами вида $P_{1}^{\prime \prime} Q_{2}^{\prime \prime}$ (рис. 2.16, c), для которых принимаются в расчет только суммарные площади, лежащие выше хорды и ниже ее.