Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Следующий шаг в развитии теории гиперболических волн связан с обобщением развитых выше идей и методов на системы высшего порядка. Ряд предварительных замечаний уже был сделан при рассмотрении разнообразных модификаций основного волнового движения, но вопросы, непосредственно связанные с возможностью существове пия в системе нескольких различных волновых мод, были затронуты лишь мимоходом. Теперь мы перейдем к общему обсуждению этих вопросов.
Многие физические задачи приводят к системам квазилинейных уравнений первого порядка. Такие уравнения линейны по производным первого порядка от зависимых переменных, но их коэффициенты могут быть функциями от зависимых переменных. Если такие уравнения описывают волновое движение, то во многих вопросах можно разобраться, изучая плоские волны. Учитывая это, мы пачнем со случая двух независимых переменных. Этими двумя переменными часто являются время и одна пространственная координата, так что будем обозначать их через $t$ и $x$ и использовать соответствующую терминологию, хотя наши рассуждения применимы к любым системам с двумя независимыми переменными. Если зависимые переменные обозначить через $u_{i}(x, t), i=1, \ldots$ …, $n$, то общая квазилинейная система первого порядка будет иметь вид
\[
A_{i j} \frac{\partial u_{j}}{\partial t}+a_{i j} \frac{\partial u_{j}}{\partial x}+b_{i}=0, \quad i=1, \ldots, n,
\]
где матрицы $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{a}$ и вектор $\boldsymbol{b}$ могут быть функциями от $u_{1}, \ldots$ …, $u_{n}$, а также от $x$ и $t$. (Напоминаем, что здесь и ниже, если не оговорено противное, автоматически проводится суммирование по повторяющимся индексам.)
В этой главе мы установим условия, при которых система (5.1) является гиперболической, и обсудим некоторые общие следствия гиперболичности. Будут сделаны отдельные краткие замечания о ситуации, которая возникает в случае нескольких пространственных переменных, но этот случай большего числа измерений будет рассматриваться в основном применительно к конкретным задачам, причем будет существенно использоваться то обстоятельство, что в любой малой области двух- или трехмерные волны локально ведут себя как плоские.
