Гравитационные волны в жидкости со стратифицированной плотностью представляют большой интерес в метеорологии и океанографии. Градиент плотности может возникать за счет перепада температур, изменения содержания соли или других факторов, но часто желательно исключить сжимаемость и звуковые волны в последующем движении. Для этого уравнение неразрывности расщепляется на две части:
\[
\frac{D \rho}{D t}=0, \quad
abla \cdot \mathbf{u}=0,
\]

и обе сохраняются! Плотность не постоянна, но считается неизменной вдоль траектории частицы в волновом движении. К этим уравнениям добавляются уравнения сохранения импульса
\[
\rho \frac{D \mathbf{u}}{D t}=-
abla p-\rho \mathrm{g} .
\]

Двойное использование уравнения неразрывности делает ненужным уравнение сохранения энергии, так что мы имеем полную систему. Результаты и приближения можно сопоставить с более полными описаниями; основное требование состоит в том, что скорость звука должна намного превышать волновые скорости, которые получаются в данной теории.

Для двумерного течения в $(x, y)$-плоскости со стратификацией в направлении оси $y$ положим невозмущенные параметры рав-

ными $u=v=0, \rho=\rho_{0}(y), p=p_{0}(y)$, причем
\[
\frac{d p_{0}}{d y}+\rho_{0} g=0,
\]

и проведем линеаризацию для малых возмущений этого состояния. Обозначим возмущения параметров $\rho$ и $p$ через $\rho_{1}$ и $p_{1}$ соответственно; тогда линеаризованные уравнения примут вид
\[
\begin{array}{c}
\rho_{1 t}+v \rho_{0}^{\prime}=0, \quad u_{x}+v_{y}=0, \\
\rho_{0} u_{t}+p_{1 x}=0, \quad \rho_{0} v_{t}+p_{1 y}+g \rho_{1}=0 .
\end{array}
\]

Введя функцию тока $\Psi$, определяемую равенствами $u=\Psi_{y}, v=$ $=-\Psi_{x}$, эту систему можно заменить уравнением
\[
\rho_{0} \Psi_{x x t t}+\left(\rho_{0} \Psi_{y t}\right)_{y t}-g_{\rho_{0}^{\prime}}^{\prime} \Psi_{x x}=0 .
\]

При изучении волнового движения удобно иметь уравнение с производными только четных порядков, и этого можно достичь подстаповкой $\Psi=\rho^{-1 / 2} \chi$ :
\[
\chi_{x x t t}+\chi_{y y t t}+\left(\frac{\rho_{0}^{\prime 2}}{4 \rho_{0}^{2}}-\frac{\rho_{n}^{\prime \prime}}{2 \rho_{0}}\right) \chi_{l+}-\frac{\mu \rho_{0}^{\prime}}{\rho_{0}} \chi_{x x}=0 .
\]

Частный случай экспоненциального распределения $\rho \propto e^{-\alpha y}$ привлекателен постоянными коэффициентами, и его можно достаточно хорошо сращивать с другими распределениями. Для этого случая дисперсионное соотношение имеет вид
\[
\omega^{2}\left(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+\frac{1}{4} \alpha^{2}\right)-\alpha g k_{1}^{2}=0 .
\]

Во многих ситуациях представляющие интерес длины волн расположены в области $k \gg \alpha$ и соотношение (12.57) аппроксимируется равенствами
\[
\omega^{2}=\frac{\omega_{0}^{2} k_{1}^{2}}{k_{1}^{2}+k_{2}^{2}}, \quad \omega_{0}^{2}=\alpha g=-\frac{g \rho_{0}^{\prime}}{\rho_{0}} .
\]

Частота $\omega_{0}$ называется частотой Вейсала – Бранта, она постоянна для экспоненциального распределения и зависит от $y$ в более общем случае.

Заметим, что волны возможны только при $\omega<\omega_{0}$ и ситуация в чем-то аналогична случаю вращающейся жидкости. Для источника с фиксированной частотой $\omega<\omega_{0}$ одно из решений уравнения (12.58) имеет вид
\[
k_{1}=k \cos \psi, \quad k_{2}=-k \sin \psi,
\]

где
\[
\psi=\arccos \left(\omega / \omega_{0}\right)
\]

для любой величины $k$; следовательно, все волны образуют с осью $x$ фиксированный угол $\psi$. Соответствующая групповая скорость имеет компоненты
\[
C_{1}=\frac{\omega_{0} k_{2}^{2}}{k^{3}}, \quad C_{2}=-\frac{\omega_{0} k_{1} k_{2}}{k^{3}} .
\]

Поскольку $\mathbf{k} \cdot \mathbf{C}=0$, фазовая и групповая скорости ортогональны. Поэтому групповая скорость направлена под углом $\xi=\pi / 2-\psi$ к оси $x$. Направление групповой скорости указывает, где следует искать волны. В силу (12.60), это направление одно и то же для всех волн и составляет угол
\[
\xi=\frac{\pi}{i^{2}}-\psi=\arcsin \frac{\omega}{\omega_{0}}
\]

с осью $x$. С учетом всех возможных знаков компонент $k_{1}$ и $k_{2}$ получается крестообразная картина возмущений. Линии гребней также лежат на кресте, но локально движутся по нормали к его образующим, постепенно затухая по мере удаления, причем их место занимают новые линии гребней. (Само собой разумеется, что каждая образующая креста практически имеет конечную толщину вследствие конечных размеров источника.)

Превосходные фотографии, полученные Моубреем и Рерити [1], воспроизведены на рис. 12.9. Источником служит цилиндр, нормальный к плоскости фотографии осциллирующий в горизонтальном направлении (вертикальный стержень является зондом). Источник вводит также слабую, но различимую вторую гармонику с частотой $2 \omega$. Это дает линии под углом $\operatorname{arc} \sin \left(2 \omega / \omega_{0}\right)$. В этой и в следующих статьях (Рерити [1], Моубрей и Рерити [2]) авторы подробно исследуют теоретические картины, а также изу-

Рис. 12.9. 1: изображение невозмущенной жидкости; $2: \omega / \omega_{0}=0,318$; 3: $\omega / \omega_{0}=0,366 ; 4: \omega / \omega_{0}=0,419 ; 5: \omega / \omega_{0}=0,615 ; 6: \omega / \omega_{0}=0,699$; 7: $\omega / \omega_{0}=0,900 ; 8: \omega / \omega_{0}=1,11$. (Моубрей и Рерити [1].)

чают картину волн, создаваемых движущейся сферой. Практически распределение плотности несколько отличается от экспоненциального, и на некоторых фотографиях можно заметить искривление групповых линий, обусловленное зависимостью $\omega_{0}$ от $y$. Это иллюстрирует эффекты неоднородности среды, причем различные ситуации можно анализировать кинематическими методами, развитыми в предыдущей главе и примененными в § 12.5 .