Уравнения сохранения в форме (6.25) – (6.27) соответствуют законам в интегральной форме (6.2) – (6.4) и понадобятся при рассмотрении ударных волн. Но для других целей эти уравнения можно упростить. Удобно ввести оператор
\[
\frac{D}{D t}=\frac{\partial}{\partial t}+u_{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}}
\]
для производной по времени от величин, связанных с индивидуальной частицей. Уравнение сохранения массы (6.25) можно переписать в виде
\[
\frac{D \rho}{D t}+\rho \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{j}}=0 .
\]
Исключая из уравнения (6.26) производные от $\rho$ (для этого используем уравнение (6.25)), получаем
\[
\rho \frac{D u_{i}}{D t}+\frac{\partial p}{\partial x_{i}}=\rho F_{i} .
\]
Уравнение сохранения энергии (6.27) можно записать в различных формах. Прежде всего, используя два других уравнения, его можно привестп к виду
\[
\rho \frac{D e}{D t}+p \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{j}}=0 .
\]
Далее, в силу (6.44), пмеем другую эквивалентную форму
\[
\frac{D e}{D t}-\frac{p}{\rho^{2}} \frac{D \rho}{D t}=0 .
\]
При помощи термодинамического соотнопения (6.31) это уравнение приводится к виду
\[
T \frac{D S}{D t}=0 .
\]
Иначе говоря, энтроппя остается постоянной вдоль траектории частицы. Течения, удовлетворяющие уравнению (6.47), обычно называются адиабатическими.
Следует подчеркнуть, что рассуждения, которые привели нас к (6.47), являются чисто математическими преобразованиями уравнений сохранения. В принципе таким образом можно было бы ввести «интересную величину $S(p, \rho)$ » без какого-либо предварительного знакомства с термодинамикой. Полученный таким путем результат достаточно убедителен. Вывод равенства (6.31) в термодинамике связан с бесконечно медленными обратимыми изменениями, и может показаться,’что мы необоснованно используем его вне этих условий. Однако, как только сделаны предшоложения, что $p_{j i}=-p \delta_{j i}$ и $e=e(p, \rho)$, все остальное сводится к простым математическим выкладкам и следствия, такие, как уравнения (6.47), получаются без каких-либо ограничений типа малой скорости течения в термодинамическом смысле.
Поскольку из выражения для $S$ как функции от $p$ и $\rho$ можно в принципе найти $p=p(\rho, S)$, можно использовать уравнение
\[
\frac{\mid D p}{D t}=a^{2} \frac{D \rho}{D t}, \quad a^{2}=\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{S=\text { const }}
\]
как эквивалентную форму уравнения (6.47). Величину а будем в дальнейшем называть скоростью звука.
За исключением случаев, когда уравнения в форме законов сохранения особенно удобны, обычно работают с уравнениями (6.44), (6.45) и либо (6.47), либо (6.48). Удобно собрать их вместе
для дальнейщих ссылок:
\[
\begin{aligned}
\frac{D \rho}{D t}+\rho \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{j}} & =0, \\
\rho \frac{D u_{i}}{D t}+\frac{\partial p}{\partial x_{i}} & =\rho F_{i}, \\
\frac{D S}{D t} & =0 \text { или } \frac{D p}{D t}-a^{2} \frac{D_{\rho}}{D t}=0 .
\end{aligned}
\]
Для политропного газа
\[
e=\frac{1}{\gamma-1} \frac{p}{\rho}, \quad S=c_{0} \ln \frac{p}{\rho^{\gamma}}, \quad a^{2}=\frac{\gamma p}{\rho} .
\]
Уравнение энтропии означает, что энтропия остается постоянной вдоль траектории каждой частицы. В общем случае она может принимать различные значения на траекториях различных частиц. Однако если газ первоначально находился в покое с однородной әнтропией $S_{0}$, то $S=S_{0}$ на траектории каждой частицы, и, следовательно, энтропия остается при движении постоянной. Такие течения называются изэнтропическими. В этом случае $p$ является функцией только от $\rho$ и уравнения сводятся к первым двум из уравнений (6.49). Для политропного газа
\[
p=x \rho^{\gamma} .
\]
Если появляются ударные волны илп какие-лиӧо другие разрывы, то эти рассуждения должны быть пересмотрены. Дифференциальные уравнения, в частности уравнение энтропии, справедливы только в областях, где функции дифференцируемы. При переходе через поверхность разрыва энтропия скачком изменяется, и в общем случае величина этого скачка зависит от времени и точки на перемещающейся поверхности разрыва. Таким образом, первоначально изэнтропический поток может уже не оставаться таковым после прохождения ударной волны. Это будет подробно обсуждаться в $\$ 6.10$.
