По-видимому, не существует единого строгого определения волн. Можно дать различные частные определения, но чтобы охватить весь диапазон волновых процессов, предпочтительнее руководетвоваться интуитивным представлением о волне как о любом различимом сигнале, передающемся от одной части среды к другой с некоторой определенной скоростью. Такой сигнал может быть возмущением любого вида, например максимумом какой-либо величины или резким ее изменением при условии, что это возмущение четко выделено и что в любой заданный момент времени можно определить его местонахождение. Этот сигнал может искажаться, изменять свою величину и скорость, но при этом должен оставаться различимым. Такое определение может показаться несколь-
ко расплывчатым, но оно оказывается вполне приемлемым, а любая попытка дать более строгое представляется слишком ограничптельной, поскольку различным типам волн присущи различные характерные черты.
Тем не менее можно выделить два основных класса волн. Первый класс описывается математически (гишерболическими уравнениями в частных производных); волны әтого класса будут называться аиперболическими. Второй класс столь просто характеризовать нельзя, но, поскольку простейпими его представителями являются диспергирующие волны в линейных задачах, мы будем называть все волны этого класса диспераируюцими и лишь постепенно разовьем более полное его описание. Наше деление на классы не является исчерпывающим. С одной стороны, эти классы пересекаются, так как в некоторых волновых движениях проявляются оба типа поведения, а с другой существуют исктючения, не соответствующие ни одному из них.
При описании гиперболических волн за основу часто берут волновое уравнение
\[
\varphi_{t t}=c_{0}^{2}
abla^{2} \varphi,
\]
хотя более простым является уравнение
\[
\varphi_{t}+c_{0} \varphi_{x}=0 .
\]
Как мы увидим, существует четкое определение гиперболических уравнений, зависящее только от вида уравнений и не зависящее от возможности получения решений в явном виде. Сдругой стороны, понятие диспергирующих волн связано скорее с характерным видом решений, чем с типом уравнения. Линейная диспергирующая система – әто любая система, имеющая решения вида
\[
\varphi=a \cos (x x-\omega t),
\]
где частота $\omega$ представляет собой известную вещественную функцию волнового числа $x$, причем функция $\omega(x)$ определяется выбором системы. Фазовая скорость в данном случае равна $\omega(\chi) / \chi$, и волны обычно называют диспергирующими, если эта фазовая скорость не постоянна, а зависит от $\chi$. Такой термин указывает на то, что более общее решение является суммой мод вида (1.3) с различными значениями $x$. (В самом общем случае эта сумма переходит в интеграл Фурье.) Если фазовая скорость $\omega / x$ зависит от $x$, т. е. если $\omega
eq c_{0} x$, где $c_{0}$ – некоторая постоянная, то моды с различными $x$ будут распространяться с различными скоростями и волна будет диспергировать (расползаться). Удобно несколько изменить это определение и говорить, что волна вида (1.3) является диспергирующей, если $\omega^{\prime}(x)$ не постоянна, т. е. если $\omega^{\prime \prime}(x)
eq 0$.
Следует отметить, что функция (1.3) является также решением типерболического уравнения (1.2) с $\omega=c_{0} x$ или уравнения (1.1) c $\omega= \pm c_{0} x$, но эти случаи исключаются из диспергирующего ктасса условием $\omega^{\prime \prime}
ot \equiv 0$. Однако нетрудно привести примеры действительного пересечения классов, когда уравнепия оказываются гиперболическими, и в то же время имеют решения вида (1.3) c нетривиальными дисперсионными соотношениями $\omega=\omega(\chi)$. Одип из таких примеров – уравнение Клейна – Гордона
\[
\varphi_{t t}-\varphi_{x x}+\varphi=0,
\]
которое является гиперболическим и имеет решение (1.3) с $\omega^{2}=$ $=x^{2}+1$. Такое двойственное поведение встречается сравнительно редко и не должно затмевать общее глубокое различие двух основных классов. Возможно, оно является причиной довольно распространенного недоразумения (поддерживаемого, в частности, в математической литературе), согласно которому волновое движение полностью описывается гиперболическими уравнениями, а подход с помощью функций (1.3) считается менее научным. На самом деле скорее верно обратное. Несмотря на обширность и разнообразие ктасса гиперболических волн, бо́льшая часть волповых процессов, по-видимому, все же относится к классу диспергирующих волн. Океанские волны, наиболее известные из всех волн, являются диспергирующими и описываются уравнением Лапласа с необычными граничными условиями на свободной поверхности.
Первая часть этой книги посвящена гиперболическим, а вторая – диспергирующим волнам. Теория гиперболических волн снова встречается при изучении диспергирующих волн в различных любопытных ситуациях, так что вторая часть не является полностью независимой от первой. Оставшаяся часть настоящей главы посвящена обзору ряда вопросов, бо́льшая часть которых затем подробно разбирается в книге. Цель этого обзора — дать представление о материале в целом и в то же время привести к общему взгляду на теорию, что трудно сделать при подробном изложении.
