Разностное уравнение (17.7) удобнее переписать в эквивалентной форме, введя ${\dot{s}}_n=f\left(r_n\right)$. Вначале мы имеем систему
$$\begin{array}{rl}{\dot{s}}_n& =f\left(r_n\right),\\ {\dot{r}}_n& =2s_n-s_{n+1}-s_{n-1}.\end{array}$$

В рассматриваемом случае, в силу (17.79),
$$\ddot{s_n}=f^{\prime }\left(r_n\right){\dot{r}}_n=-\alpha \beta e^{-\beta rn}{\dot{r}}_n=-\beta (\alpha +{\dot{s}}_n){\dot{r}}_n.$$

Следовательно, уравнения (17.80) можно объединить в одно уравнение:
$$\frac{m}{\beta }\frac{\ddot{s_n}}{\alpha +{\dot{s}}_n}=s_{n+1}+s_{n-1}-2s_n.$$

Для стационарной бегущей волны
$$s_n=S(\theta ),\theta =\omega t-pn,$$

функция $S(\theta )$ должна удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению с разностным оператором
$$\frac{m{\omega }^2}{\beta }\frac{S^{\prime \prime }}{\alpha +\omega S^{\prime }}=S(\theta +p)+S(\theta -p)-2S(\theta ).$$

Следуя Тоде, отметим теперь, что
$${\mathrm{dn}}^2(\theta +p)-{\mathrm{dn}}^2(\theta -p)=-2k^2\frac{d}{dp}\left(\frac{\mathrm{sn}\theta \mathrm{cn}\theta \mathrm{dn}\theta {\mathrm{sn}}^{2}p}{1-k^2{\mathrm{sn}}^2\theta {\mathrm{sn}}^{2}p}\right),$$

где sn, cn, dn — эллиптические функции Якоби, а $k$ — модуль этих функций. Положив
$$E(\zeta )={\int }_0^{\zeta }{\mathrm{dn}}^{2}zdz$$

после интегрирования по $p$ получим
$$E(\theta +p)+E(\theta -p)-2E(\theta )=-2k^2\frac{\mathrm{sn}\theta \mathrm{cn}\theta \mathrm{dn}\theta {\mathrm{sn}}^{2}p}{1-k^2{\mathrm{sn}}^2\theta {\mathrm{sn}}^{2}p}.$$

Далее,
$$\begin{array}{l}{E}^{\prime }(\theta )={\mathrm{dn}}^2\theta =1-k^2{\mathrm{sn}}^2\theta ,\\ E^{\prime \prime }(\theta )=-2k^2\mathrm{sn}\theta \mathrm{cn}\theta \mathrm{dn}\theta .\end{array}$$

Следовательп, правую часть равенства (17.83) можно записать как
$$\frac{E^{\prime \prime }(\theta )}{q+E^{\prime }(\theta )},q=\frac{1}{{\mathrm{sn}}^{2}p}-1.$$

Видим, что уравнение для $E(\theta )$ по существу совпадает с (17.82). Функция $E(\theta )$ непериодическая по $\theta$, но связанная с ней дзетафункция Якоби
$$Z(\theta )=E(\theta )-\theta \frac{E(K)}{K}$$

имеет период $2K$, а переход от $E(\theta )$ к $Z(\theta )$ изменяет уравнение тривиальным образом. Решение для $s_n$ можно записать в виде
$$s_n=S(\theta )=bZ(2K\theta ),\theta =\omega t-pn,$$

где
$$\begin{array}{c}b={\left(\frac{m\alpha }{\beta }\right)}^{1/2}{(\frac{1}{{\mathrm{sn}}^{2}2Kp}-1+\frac{E}{K})}^{-1/2},\\ \omega =\frac{1}{2K}{\left(\frac{\alpha \beta }{m}\right)}^{1/2}{(\frac{1}{{\mathrm{sn}}^{2}2Kp}-1+\frac{E}{K})}^{-1/2}.\end{array}$$

Выражение для $r_n$ находится из равенства
$$-\alpha (1-e^{-\beta r_n})={\dot{s}}_n=2K\omega b({\mathrm{dn}}^{2}2K\theta -\frac{E}{K}).$$

Функции $Z$ (६) и ${\mathrm{dn}}^2\zeta$ имеют период $2K$; здесь фаза была нормирована таким образом, что один период соответствует возрастанию $\theta$ на единицу, а не на $2\pi$, как в линейной теории. Амплитуда $Z(\xi )$ является функцией от $k$, так что амплитуда $s_n$ есть функция $A(k,p)$. Учитывая также равенство (17.87), получаем дисперсионное соотношение между $\omega ,p,A$, записанное в параметрической форме
$$A=A(k,p),\omega =\omega (k,p).$$

В гинейном пределе $k\to 0$ имеем
$$\begin{array}{l}{\mathrm{sn}}^2\zeta \sim {\sin }^2\zeta ,K,E\sim \frac{\pi }{2},\\ {\mathrm{dn}}^2\zeta \sim 1-k^2{\sin }^2\zeta ,\frac{E}{K}\sim 1-\frac{k^2}{2},\\ Z(\zeta )\sim \frac{k^2}{4}\sin 2\zeta .\end{array}$$

Отсюда
$$\begin{array}{rlrl}{s}_n& \sim \frac{b{k}^2}{4}\sin 2\pi \theta ,& & \theta =\omega t-pn,\\ b\sim {\left(\frac{m\alpha }{\beta }\right)}^{1/2}\sin \pi p,& \omega \sim \frac{1}{\pi }{\left(\frac{\alpha \beta }{m}\right)}^{1/2}\sin \pi p\end{array}$$

и
$$-\alpha (1-e^{-\beta r_n})\sim -\gamma r_n\sim \frac{\pi \omega b{k}^2}{2}\cos 2\pi \theta .$$

Эти выражения можно переписать в следующем виде:
$$\begin{array}{l}{s}_n\sim A\sin 2\pi (\omega t-pn),-\gamma r_n\sim 2\pi \omega A\cos 2\pi (\omega t-pn),\\ \frac{m(2\pi \omega {)}^2}{\gamma }\sim 4{\sin }^2\pi p,k^2\sim 4{\left(\frac{\beta }{m\alpha }\right)}^{1/2}\frac{A}{\sin \pi p}\ll 1.\end{array}$$

С точностью до несущественной нормировки эти результаты воспроизводят линейное решение.

Если $k\to 1$, то $K\to \mathrm{\infty }$, и следует рассматривать случай конечных пределов
$$2K\omega \to \mathrm{\Omega },2Kp\to P.$$

Эллиптические фупкции имеют стедующие пределы:
$$\mathrm{sn}\zeta \to \mathrm{th}\zeta ,\mathrm{dn}\zeta \to \mathrm{sech}\zeta ,Z(\zeta )\to \mathrm{th}\zeta ,$$

так что соотношения (17.86)-(17.87) дают
$$b\to {\left(\frac{m\alpha }{\beta }\right)}^{1/2}\mathrm{sh}P,\mathrm{\Omega }={\left(\frac{\alpha \beta }{m}\right)}^{1/2}\mathrm{sh}P.$$

Отсюда
$$\begin{array}{rl}{s}_n& \sim \frac{m\mathrm{\Omega }}{\beta }\mathrm{th}(\mathrm{\Omega }t-Pn),\\ -\alpha (1-\beta e^{-r_n})& \sim \frac{m{\mathrm{\Omega }}^2}{\beta }{\mathrm{sech}}^2(\mathrm{\Omega }t-Pn).\end{array}$$

Таким образом, мы получили уединенные волны.
Основываясь на различных приближенных выражениях и частных случаях, Тода развивает убедительные доводы в пользу того, что эти уединенные волны взаимодействуют так же, как и в непрерывных случаях, сохраняя после взаимодействия первоначальную форму ${}^{\mathbf{1}}$ ).