Разностное уравнение (17.7) удобнее переписать в эквивалентной форме, введя $\dot{s}_{n}=f\left(r_{n}\right)$. Вначале мы имеем систему
\[
\begin{aligned}
\dot{s}_{n} & =f\left(r_{n}\right), \\
\dot{r}_{n} & =2 s_{n}-s_{n+1}-s_{n-1} .
\end{aligned}
\]

В рассматриваемом случае, в силу (17.79),
\[
\ddot{s_{n}}=f^{\prime}\left(r_{n}\right) \dot{r}_{n}=-\alpha \beta e^{-\beta r n} \dot{r}_{n}=-\beta\left(\alpha+\dot{s}_{n}\right) \dot{r}_{n} .
\]

Следовательно, уравнения (17.80) можно объединить в одно уравнение:
\[
\frac{m}{\beta} \frac{\ddot{s_{n}}}{\alpha+\dot{s}_{n}}=s_{n+1}+s_{n-1}-2 s_{n} .
\]

Для стационарной бегущей волны
\[
s_{n}=S(\theta), \theta=\omega t-p n,
\]

функция $S(\theta)$ должна удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению с разностным оператором
\[
\frac{m \omega^{2}}{\beta} \frac{S^{\prime \prime}}{\alpha+\omega S^{\prime}}=S(\theta+p)+S(\theta-p)-2 S(\theta) .
\]

Следуя Тоде, отметим теперь, что
\[
\operatorname{dn}^{2}(\theta+p)-\mathrm{dn}^{2}(\theta-p)=-2 k^{2} \frac{d}{d p}\left(\frac{\operatorname{sn} \theta \operatorname{cn} \theta \operatorname{dn} \theta \operatorname{sn}^{2} p}{1-k^{2} \operatorname{sn}^{2} \theta \operatorname{sn}^{2} p}\right),
\]

где sn, cn, dn — эллиптические функции Якоби, а $k$ — модуль этих функций. Положив
\[
E(\zeta)=\int_{0}^{\zeta} \mathrm{dn}^{2} z d z
\]

после интегрирования по $p$ получим
\[
E(\theta+p)+E(\theta-p)-2 E(\theta)=-2 k^{2} \frac{\operatorname{sn} \theta \operatorname{cn} \theta \mathrm{dn} \theta \mathrm{sn}^{2} p}{1-k^{2} \operatorname{sn}^{2} \theta \operatorname{sn}^{2} p} .
\]

Далее,
\[
\begin{array}{l}
E^{\prime}(\theta)=\mathrm{dn}^{2} \theta=1-k^{2} \operatorname{sn}^{2} \theta, \\
E^{\prime \prime}(\theta)=-2 k^{2} \operatorname{sn} \theta \operatorname{cn} \theta \operatorname{dn} \theta .
\end{array}
\]

Следовательп, правую часть равенства (17.83) можно записать как
\[
\frac{E^{\prime \prime}(\theta)}{q+E^{\prime}(\theta)}, \quad q=\frac{1}{\operatorname{sn}^{2} p}-1 .
\]

Видим, что уравнение для $E(\theta)$ по существу совпадает с (17.82). Функция $E(\theta)$ непериодическая по $\theta$, но связанная с ней дзетафункция Якоби
\[
Z(\theta)=E(\theta)-\theta \frac{E(K)}{K}
\]

имеет период $2 K$, а переход от $E(\theta)$ к $Z(\theta)$ изменяет уравнение тривиальным образом. Решение для $s_{n}$ можно записать в виде
\[
s_{n}=S(\theta)=b Z(2 K \theta), \quad \theta=\omega t-p n,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
b=\left(\frac{m \alpha}{\beta}\right)^{1 / 2}\left(\frac{1}{\operatorname{sn}^{2} 2 K p}-1+\frac{E}{K}\right)^{-1 / 2}, \\
\omega=\frac{1}{2 K}\left(\frac{\alpha \beta}{m}\right)^{1 / 2}\left(\frac{1}{\operatorname{sn}^{2} 2 K p}-1+\frac{E}{K}\right)^{-1 / 2} .
\end{array}
\]

Выражение для $r_{n}$ находится из равенства
\[
-\alpha\left(1-e^{-\beta r_{n}}\right)=\dot{s}_{n}=2 K \omega b\left(\mathrm{dn}^{2} 2 K \theta-\frac{E}{K}\right) .
\]

Функции $Z$ (६) и $\mathrm{dn}^{2} \zeta$ имеют период $2 K$; здесь фаза была нормирована таким образом, что один период соответствует возрастанию $\theta$ на единицу, а не на $2 \pi$, как в линейной теории. Амплитуда $Z(\xi)$ является функцией от $k$, так что амплитуда $s_{n}$ есть функция $A(k, p)$. Учитывая также равенство (17.87), получаем дисперсионное соотношение между $\omega, p, A$, записанное в параметрической форме
\[
A=A(k, p), \quad \omega=\omega(k, p) .
\]

В гинейном пределе $k \rightarrow 0$ имеем
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{sn}^{2} \zeta \sim \sin ^{2} \zeta, \quad K, E \sim \frac{\pi}{2}, \\
\operatorname{dn}^{2} \zeta \sim 1-k^{2} \sin ^{2} \zeta, \quad \frac{E}{K} \sim 1-\frac{k^{2}}{2}, \\
Z(\zeta) \sim \frac{k^{2}}{4} \sin 2 \zeta .
\end{array}
\]

Отсюда
\[
\begin{array}{rlrl}
s_{n} & \sim \frac{b k^{2}}{4} \sin 2 \pi \theta, & & \theta=\omega t-p n, \\
b \sim\left(\frac{m \alpha}{\beta}\right)^{1 / 2} \sin \pi p, & \omega \sim \frac{1}{\pi}\left(\frac{\alpha \beta}{m}\right)^{1 / 2} \sin \pi p
\end{array}
\]

и
\[
-\alpha\left(1-e^{-\beta r_{n}}\right) \sim-\gamma r_{n} \sim \frac{\pi \omega b k^{2}}{2} \cos 2 \pi \theta .
\]

Эти выражения можно переписать в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
s_{n} \sim A \sin 2 \pi(\omega t-p n), \quad-\gamma r_{n} \sim 2 \pi \omega A \cos 2 \pi(\omega t-p n), \\
\frac{m(2 \pi \omega)^{2}}{\gamma} \sim 4 \sin ^{2} \pi p, \quad \quad k^{2} \sim 4\left(\frac{\beta}{m \alpha}\right)^{1 / 2} \frac{A}{\sin \pi p} \ll 1 . \\
\end{array}
\]

С точностью до несущественной нормировки эти результаты воспроизводят линейное решение.

Если $k \rightarrow 1$, то $K \rightarrow \infty$, и следует рассматривать случай конечных пределов
\[
2 K \omega \rightarrow \Omega, 2 K p \rightarrow P .
\]

Эллиптические фупкции имеют стедующие пределы:
\[
\operatorname{sn} \zeta \rightarrow \operatorname{th} \zeta, \quad \operatorname{dn} \zeta \rightarrow \operatorname{sech} \zeta, \quad Z(\zeta) \rightarrow \operatorname{th} \zeta,
\]

так что соотношения (17.86)-(17.87) дают
\[
b \rightarrow\left(\frac{m \alpha}{\beta}\right)^{1 / 2} \operatorname{sh} P, \quad \Omega=\left(\frac{\alpha \beta}{m}\right)^{1 / 2} \operatorname{sh} P .
\]

Отсюда
\[
\begin{aligned}
s_{n} & \sim \frac{m \Omega}{\beta} \operatorname{th}(\Omega t-P n), \\
-\alpha\left(1-\beta e^{-r_{n}}\right) & \sim \frac{m \Omega^{2}}{\beta} \operatorname{sech}^{2}(\Omega t-P n) .
\end{aligned}
\]

Таким образом, мы получили уединенные волны.
Основываясь на различных приближенных выражениях и частных случаях, Тода развивает убедительные доводы в пользу того, что эти уединенные волны взаимодействуют так же, как и в непрерывных случаях, сохраняя после взаимодействия первоначальную форму ${ }^{\mathbf{1}}$ ).