Мы подробно исследовали решение задачи Коши. Другие граничные задачи решаются аналогичным образом. Из уравнений (2.4) ясно, что решение определено, если значения $\rho$ заданы на какой-либо кривой, пересекающей каждую характеристику один раз.
Pıс. 2.18. Характеристики и начальные данные.

Такие граничные значения дают начальные условия, необходимые для интегрирования уравнений (2.4) вдоль характеристик. Проведя такое интегрирование вдоль каждой характеристики, пересекающейся с заданной граничной кривой, в принципе можно построить репение во всей области, покрываемой этими характеристиками. Если граничная кривая пересекает некоторые характеристики дважды, как, например, кривая $A B C$ на рис. 2.18 , то начальные данные следует задавать только на дуге $A B$ или $B C$; в противном случае интегрирование, начинающееся, скажем, на дуге $A B$, приведет к противоречию с данными на дуге $B C$. Трудность заключается в том, что характеристики зависят от решения, и, вообще говоря, заранее нельзя ни найти область, покрываемую характеристиками, ни проверить непротиворечивость краевых условий.

Типичной граничной задачей является так называемая задача о распространении сигнала, для которой
\[
\begin{array}{c}
\rho=\rho_{0} \text { при } x>0, \quad t=0, \\
\rho=g(t) \text { при } t>0, x=0,
\end{array}
\]

и решение ищется в области $x>0, t>0$. Конечно, такая задача возникает только в случае $c=Q^{\prime}(\rho)>0$. На рис. 2.19 построена
Рис. 2.19. ( $x, t$ )-диаграмма для задачи о распространении сигнала.

соответствующая $(x, t)$-диаграмма. Характеристики начинаются на положительной полуоси $x$ и на положительной полуоси $t$. Для характеристик, начинающихся на оси $x$, имеем $\rho=\rho_{0}, c=$ $=c\left(\rho_{0}\right)=c_{0} ;$ поэтому они представляют собой прямые $x-$ $-c_{0} t=$ const. Отсюда следует, что
\[
\rho=\rho_{0}, \quad c=c_{0} \text { при } x>c_{0} t .
\]

Обратимся к характеристикам, начинающимся на оси $t$, и предположим, что какая-либо из них начинается в точке $t=\tau$; тогда
\[
\begin{array}{l}
\rho=g(\tau), \\
x=G(\tau)(t-\tau),
\end{array}
\]

где $G(\tau)=c\{g(\tau)\}$. Приведенные равенства неявно определяют решение через $\tau(x, t)$.

Это решение можно связать с решением задачи Коши двумя способами. Первый из них основан на том, что рассматриваемое решение совпадает с решением задачи Коши, если
\[
\xi=-\tau G(\tau), \quad f(\xi)=g(\tau), \quad F(\xi)=G(\tau) .
\]

Это соответствует продолжению характеристик через точки $t=\tau$, $x=0$ до оси $x$ и обозначению точек пересечения через $x=\xi$. При этом задача о распространении сигнала формулируется как задача Коши. Другой способ состоит в том, что переменные $x$ и $t$, а также

$q$ и $\rho$ меняются ролями ${ }^{1}$ ); при этом в формулах вместо $d q / d \rho=c$ появится $d \rho / d q=1 / c$.

Каждую область многозначности в решении (2.63) следует заменить разрывом. Если $G(+0)>c_{0}$, такая область возникает мгновенно, поскольку первая характеристика $x=t G(+0)$ возмущенной области находится впереди последней характеристики $x=c_{0} t$ невозмущенной области. В этом случае разрыв ненулевой величины возникает в начале координат. Параметры разрыва можно определить при помощи соответствующей задачи Коши или используя описанные выше способы, или независимым образом. Если характеристики $\tau_{1}(t)$ и $\tau_{2}(t)$ пересекаются на разрыве в момент времени $t$, то из (2.63) получаем
\[
\begin{array}{ll}
s(t)=\left(t-\tau_{1}\right) c_{1}, & c_{1}=G\left(\tau_{1}\right), \\
s(t)=\left(t-\tau_{2}\right) c_{2}, & c_{2}=G\left(\tau_{2}\right) .
\end{array}
\]

и формула, соответствующая формуле (2.60), имеет вид
\[
\left\{\left(q_{2}-\rho_{2} c_{2}\right) c_{1}-\left(q_{1}-\rho_{1} c_{1}\right) c_{2}\right\} \frac{\tau_{2}-\tau_{1}}{c_{2}-c_{1}}=-\int_{\tau_{1}}^{\tau_{2}} q(\tau) d \tau .
\]

Уравнения (2.65) и (2.66) дают три условия, определяющие функции $\tau_{1}(t), \tau_{2}(t)$ и $s(t)$. Наиболее важен случай, когда передний разрыв образуется в начале координат (т. е. когда $G(+0)>c_{0}$ ) и перемещается в невозмущенную область. В этом случае $\rho_{1}=\rho_{0}$, $c_{1}=c_{0}, q_{1}=q_{0}$ и из равенств (2.65) и (2.66) можно псключить величину $\tau_{1}$. Опуская индекс 2 , запишем условие $(2.66$ ) на разрыве в виде
\[
\left\{\left(q-q_{0}\right)-\left(\rho-\rho_{0}\right) c\right\}(t-\tau)=-\int_{0}^{\tau}\left\{q\left(\tau^{\prime}\right)-q_{0}\right\} d \tau^{\prime} .
\]

Здесь $\rho, q$ и $c$ – функции $\tau$, определяемые равенствами
\[
\rho=g(\tau), q=Q(g(\tau)), c=Q^{\prime}(g(\tau)) ;
\]

все эти функции связаны между собой известным образом, и если одна из них задана как функция от $\tau$, то для других получаются явные выражения. Уравнения (2.63) определяют решение в возмущенной области за разрывом; равенство (2.67) определяет величину $\tau(t)$ в точке разрыва; подставив эту величину в уравнения (2.63), найдем как местонахождение разрыва, так и значение $\rho$ сразу за ним.
В начале движения разрыва значение $\tau(t)$ в (2.67) мало п
\[
\left\{\left(q_{i}-q_{0}\right)-\left(\rho_{i}-\rho_{0}\right) c_{i}\right\}(t-\tau)=-\left(q_{i}-q_{0}\right) \tau+Q\left(\tau^{2}\right),
\]
1) В этом случае «начальные данные» на прямой $x=0$ при $t<0$ принимают вид $\rho(0, t)=\rho_{0}$. $-\Pi_{\text {рим. }}$. ред.

где $\rho_{i}, q_{i}$ и $c_{i}$ – начальные значения при $x=0$, т. е. $\rho_{i}=g(+0)$ и т. д. Следовательно,
\[
\tau=\left\{1-\frac{q_{i}-q_{0}}{\left(\rho_{i}-\rho_{0}\right) c_{i}}\right\} t+O\left(t^{2}\right) .
\]

Из (2.63) находим точку разрыва
\[
x=(t-\tau) c_{i}+O\left(t^{2}\right)=\frac{q_{i}-q_{0}}{\rho_{i}-\rho_{0}} t+O\left(t^{2}\right) .
\]

Разрыв начинает движение со скоростью $\left(q_{i}-q_{0}\right) /\left(\rho_{i}-\rho_{0}\right)$; этот результат можно получить и непосредственно из условия на разрыве. Если $g(\tau)$ остается постоянной и равна $\rho_{i}$, то это верно для всех $t$ и решение имеет разрыв, распространяющийся с постоянной скоростью и разделяющий две однородные области с $\rho=\rho_{0}$ и $\rho=\rho_{i}$.

Если $g(\tau)$ переходит в $\rho_{0}$, то разрыв неивбежно исчезает. Для единственной положительной фазы $g(\tau)$, переходящей в $\rho_{0}$ при $\tau=T$, асимптотическое поведение описывается соотношением (2.67) при $\tau \rightarrow T, t \rightarrow \infty, \rho \rightarrow \rho_{0}$. В этом пределе (2.67) принимает вид
\[
\frac{1}{2} c^{\prime}\left(\rho_{0}\right)\left(\rho-\rho_{0}\right)^{2} t \sim \int_{0}^{T}\left\{q\left(\tau^{\prime}\right)-q_{0}\right\} d \tau^{\prime},
\]

и выражение в (2.63), определяющее положение точки разрыва, переходит в
\[
x \sim c_{0} t+c^{\prime}\left(\rho_{0}\right)\left(\rho-\rho_{0}\right) t .
\]

Следовательно, в точке разрыва
\[
\begin{array}{c}
\rho-\rho_{0} \sim \frac{1}{c^{\prime}\left(\rho_{0}\right)} \sqrt{\frac{2 A}{t}}, \quad c-c_{0} \sim \sqrt{\frac{2 A}{t}}, \\
x \sim c_{0} t+\sqrt{2 A t},
\end{array}
\]

где
\[
A=c^{\prime}\left(\rho_{0}\right) \int_{0}^{T}\left(q-q_{0}\right) d \tau .
\]

В области за разрывом
\[
\begin{array}{c}
c \sim \frac{x}{t}, \quad c_{0} t<x<c_{0} t+\sqrt{2 A t}, \\
\rho-\rho_{0} \sim \frac{\left(c-c_{0}\right)}{c^{\prime}\left(\rho_{0}\right)} \sim \frac{1}{c^{\prime}\left(\rho_{0}\right)} \frac{x-c_{0} t}{t} .
\end{array}
\]

Эти результаты очень похожи на аналогичные результаты для задачи Коши. Таким же образом можно изучить и другие случаи. Если за положительной фазой следует отрицательная фаза, то существует

второй разрыв, асимптотическое поведение которого описывается соотношениями (2.68), где $A$ заменено на соответствующий интеграл по отрицательной фазе и должным образом изменены знаки. В пределе получается $N$-волна, описываемая соотношениями (2.69), продолженными вплоть до второго разрыва.