Полезно иметь простой пример для обоснования или иллюстрации этапов построения общей теории. Для этой цели нелинейный вариант уравнения Клейна – Гордона особенно удобен и даже более прост, чем уравнение Кортевега – де Фриза, которое могло бы быть другим очевидным примером. Итак, рассматривается уравнение
\[
\varphi_{t t}-\varphi_{x x}+V^{\prime}(\varphi)=0,
\]

где $V^{\prime}(\varphi)$ – некоторая нелинейная функция от $\varphi$, для удобства дальнейшего изложения заданная в виде производной от потенциальной энергии. Уравнение (14.1) не только полезная модель; оно встречается во многих физических задачах. Это прежде всего относится к случаю $V^{\prime}(\varphi)=\sin \varphi$, который почти всегда упоминается как уравнение Sin-Гордона!

Обзор физических задач, в которых фигурирует это уравнение, дан Бароне с сотрудниками [1], развившими краткое изложение Скотта [1, стр. 250]. Впервые это уравнение появилось вовсе не в волновых задачах, а при изучении теометрии поверхностей с гауссовой кривизной $K=-1$. Фактически некоторые из развитых там методов преобразований оказались удивительно ценными при нахождении решения для взаимодействующих уединенных волн, как будет показано в гл. 17. Сравнительно новые задачи, перечисленные теми\” же авторами, включают следующие.
1. Переход Джозефсона, где $\sin \varphi$ – ток Джозе ссона через участок слабой сверхпроводимости между двумя сверхпроводниками; нацряжение пропорционально $\varphi_{t}$.
2. Дислокации в кристаллах, где появление $\sin \varphi$ связано с периодической структурой рядов атомов.
3. Распространение в ферромагнитных материалах волн, связанных с вращением направления намагниченности.
4. Лазерные импульсы в двухфазной среде, где переменные также можно выразить через вращающийся вектор.

Скотт далее описывает свою конструкцию механической модели с жесткими маятниками, шодвешенными через короткие интервалы вдоль натянутой проволоки. Крутильные волны, распространяющиеся вдоль проволоки, удовлетворяют волновому уравнению, а маятники создают восстанавливающую силу, пропорциональную $\sin \varphi$, где $\varphi-$ угловое отклонение. Скотт смог воспроизвести волны, соответствующие многим решениям уравнения $\operatorname{Sin}-$ Гордона.

Уравнение (14.1) рассматривалось также II几ффом [1] для случая кубической нелинейности и Перрингом и Скирмом [1] для $V^{\prime}(\varphi)=\sin \varphi$ в связи с модельными исследованиями в теории элементарных частиц.

В этой главе анализ проводится для произвольного потенциала $V(\varphi)$ с надлежащими свойствами. Выбор
\[
V(\varphi)=1 / 2 \varphi^{2}+\sigma \varphi^{4}
\]

наиболее прост для запоминания; к тому же это – корректное разложение почти линейной теории для четных функций $V(\varphi)$. В случае разложения по малой амплитуде уравнения $\operatorname{Sin}-$ Гордона $\sigma=-1 / 24$.

Проверим сначала существование периодических волновых пакетов. Для того чтобы их получить, положим, как обычно,
\[
\varphi=\Psi(\theta), \quad \theta=k x-\omega t .
\]

После подстановки имеем
\[
\left(\omega^{2}-k^{2}\right) \Psi_{\theta \theta}+V^{\prime}(\Psi)=0,
\]

что после интегрирования дает
\[
1 / 2\left(\omega^{2}-k^{2}\right) \Psi_{\theta}^{2}+V(\Psi)=A .
\]

Мы обозначаем постоянную интегрирования буквой $A$, хотя раньше эта буква использовалась для обозначения комплексной амплитуды в линейных задачах. Теперь в аналогичном контексте будет фигурировать только вещественная амплитуда $a$, так что недоразумений не возникнет. Здесь $A$ – по-прежнему амплитудный параметр; в линейном случае $V(\Psi)=1 / 2 \Psi^{2}$ он связан с фактической амплитудой $a$ соотношением $A=1 / 2 a^{2}$.
Решение уравнения (14.4) можно записать в виде
\[
\theta=\left\{1 / 2\left(\omega^{2}-k^{2}\right)\right\}^{1 / 2} \int \frac{d \Psi}{\{A-V(\Psi)\}^{1 / 2}} ;
\]

в частности, если $V(\Psi)$ – полином третьего либо четвертого порядка или тригонометрическая функция; $\Psi(\theta)$ можно выразить через эллиптические функции. Периодические решения получаются тогда, когда $\Psi$ осциллирует между двумя простыми нулями выражения $A-V(\Psi)$. В этих нулях производная $\Psi_{\theta}=0$ и график

решения имеет максимум или минимум; эти точки достигаются при конечных значения $\theta$, поскольку интеграл (14.5) сходится, когда нули простые. Обозначив эти нули через $\Psi_{1}$ и $\Psi_{2}$, мы пока ограничимся случаем
\[
\Psi_{1} \leqslant \Psi \leqslant \Psi_{2}, \quad A-V(\Psi) \geqslant 0, \quad \omega^{2}-k^{2}>0 .
\]

Период по $\theta$ можно нормировать на $2 \pi$ (что удобно в линейном пределе), и тогда имеем
\[
2 \pi=\left\{\frac{1}{2}\left(\omega^{2}-k^{2}\right)\right\}^{1 / 2} \oint \frac{d \Psi}{\{A-V(\Psi)\}^{1 / 2}},
\]

где $\oint$ означает интеграл по полной осцилляции переменной $\Psi$ от $\Psi_{1}$ до $\Psi_{2}$ и обратно. Знак квадратного корня необходимо соответствующим образом изменять для обеих частей цикла. Интеграл можно также интерпретировать как интеграл по замкнутому контуру вокруг разреза от $\Psi_{1}$ до $\Psi_{2}$ в комплексной $\Psi$-плоскости.

В линейном случае $V(\Psi)=1 \frac{1}{2} \Psi^{2}$ периодическое решение имеет вид
\[
\Psi=a \cos \theta, \quad A=\frac{a^{2}}{2} ;
\]

амплитуда $a$ выпадает из равенства (14.7), которое переходит просто в линейное дисперсионное соотношение
\[
\omega^{2}-k^{2}=1 .
\]

В нелинейном случае амплитудный параметр $A$ не выпадает из равенства (14.7) и мы получаем характерную зависимость дисперсионного соотношения от амплитуды.
Если амплитуда мала и потенциал $V$ представлен рядом
\[
V=1 / 2 \varphi^{2}+\sigma \varphi^{4}+\ldots,
\]

то имеем
\[
\begin{aligned}
\Psi & =a \cos \theta+1 / 8 \sigma a^{3} \cos 3 \theta+\ldots, \\
\omega^{2}-k^{2} & =1+3 \sigma a^{2}+\ldots, \\
A & =1 / 2 a^{2}+9 / 8 \sigma a^{4}+\ldots .
\end{aligned}
\]

Эго разложения Стокса, которые можно получить либо прямой подстановкой в уравнения (14.3) – (14.4), либо разложением точных выражений (14.5) и (14.7), полученных выше. Следует заметить, что $a$ – амплитуда первого члена в (14.11); она несколько отличается от точной амплитуды
\[
a+1 / 8 \sigma a^{3}+\ldots
\]