Одной из наиболее интересных для изучения нелинейных дисперсионных эффектов областей является нелинейная оптика. Теоретические идеи здесь естественно связываются с результатами экспериментов и используются при конструировании физических приборов. Теория модуляций дает естественный подход к ряду явлений, в силу высоких частот и волновых чисел основных волновых пакетов. Этим способом изучаются самофокусировка и устойчивость пучков. Нелинейные взаимодействия, приводящие к возникновению и усилению суммарных и разностных частот, имеют важное значение и наглядно демонстрируются изменением цвета лазерного туча при его прохождении через нелинейный кристалл. Эксперименты, по-видимому, легче осуществляются и точнее контролируются, чем это возможно, например, для волн на воде, где из-за многочисленности мод движения жидкости трудно выделить конкретные желаемые эффекты.

Простейшие формулировки теории очень близки к анализу уравнения Клейна — Гордона, и результаты можно получить по аналогии с этим случаем. Мы начнем с классической модели, в которой электрическая поляризация среды обусловлена смещением связанных электронов электрическим полем. В дальнейшем полученные результаты можно будет интерпретировать более широким образом. Рассмотрим основной одномерный волновой пакет и будем считать, что волны распространяются в $x$-направлении, а поля имеют компоненты $E$ и $B$ в $z$ — и $y$-направлениях соответственно. Электроны смещаются в $z$-направлении, и мы будем описывать это смещение функцией $r(x, t)$. Уравнения Максвелла сводятся к следующему виду:
\[
\begin{aligned}
B_{t}-E_{x} & =0, \\
E_{t}+\frac{q N}{\varepsilon_{0}} r_{t} & =c_{0}^{2} B_{x}
\end{aligned}
\]

где $q$ — заряд электрона, $N$ — число электронов на единицу объема, $c_{0}$ — скорость света в вакууме и $\varepsilon_{0}$ — диэлектрическая проницаемость свободного пространства. Для того чтобы әта система была полной, необходимо соотношение между $r$ и $E$. Мы предположим, что действие поля $E$ на электрон можно представить в виде потенциальной ямы, так что развивается нелинейная возвращающая сила. В соответствии с этим искомое соотношение таково:
\[
m r_{t t}+U^{\prime}(r)=q E .
\]

Если ввести поляризацию $P=N q r$ и исключить из уравнений Максвелла компоненту $B$, то получится
\[
\begin{array}{c}
E_{t t}+\frac{1}{\varepsilon_{0}} P_{t t}=c_{0}^{2} E_{x x}, \\
P_{t t}+V^{\prime}(P)=\varepsilon_{0} v_{p}^{2} E,
\end{array}
\]

где
\[
V(P)=\frac{q N}{m} U(r), \quad v_{p}^{2}=\frac{N q^{2}}{\varepsilon_{0} m},
\]

причем $v_{p}$ — ілазменная частота.
Каждый осциллятор подвергается также суммарному воздействию всех остальных осцилляторов. В элементарном описании это учитывается заменой поля $E$ в правой части уравнений (16.2) и (16.4) на $E+P /\left(3 \varepsilon_{0}\right)$, что равно полю внутри сферической полости, окруженной диәлектриком с поляризацией $P$. Для наших целей можно считать, что дополнительный член включен в $V^{\prime}(P)$.

Анализ существенно упрощается, если потенциальная яма симметрична и $V^{\prime}(P)$ — нечетная функция от $P$. По большей части мы будем считать, что это выполняется, а там, где будет уместно, укажем, что будет происходить в более общем случае.
Однородные волновые пакеты
Для однородного волнового пакета $E=E(\theta), \quad P=P(\theta)$, $\theta=k x-\omega t$. Интегрирование уравнения (16.3) при этом дает
\[
\left(\omega^{2}-c_{0}^{2} k^{2}\right) \varepsilon_{0} E=-\omega^{2} P+\text { const. }
\]

Если $V^{\prime}(P)$ — нечетная функция от $P$, то без потери общности постоянную интегрирования можно положить равной нулю. В других случаях, однако, эта постоянная может потребоваться и будет играть важную роль. Например, если в $V^{\prime}(P)$ входит член с $P^{2}$, то из (16.4) видно, что средние значения компонент $E$ и. $P$ отличаются на член, квадратичный по амплитуде; следовательно, в (16.6) требуется постоянная, пропорциональная квадрату амплитуды. Однако если $V^{\prime}(P)$ — нечетная функция, то замечаем, что можно положить средние значения компонент $E$ и $P$ равными нулю, и при таком выборе постоянная в (16.6) должна быть нуле-

вой. Тогда имеем
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon_{0} E=-\frac{\omega^{2}}{\omega^{2}-c_{0}^{2} k^{2}} P, \\
\omega^{2} P_{\theta \theta}+V^{\prime}(P)+\frac{\omega^{2} v_{p}^{2}}{\omega^{2}-c_{0}^{2} k^{2}} P=0 .
\end{array}
\]

В линейном случае $V^{\prime}(P)=v_{0}^{2} P$, решение уравнения (16.8) синусоидально по $\theta$ и мы получаем дисперсионное соотношение
\[
n_{0}^{2}=\frac{c_{0}^{2} k^{2}}{\omega^{2}}=1-\frac{v_{p}^{2}}{\omega^{2}-v_{0}^{2}} .
\]

В полосе поглощения около резонансной частоты $v_{0}$ становится важным демпфирование, которое исключает сингулярное поведение в этой области. Однако вдали от резонансной частоты этот әффект мал, и при первом рассмотрении им можно пренебречь.
В почти линейном случае можно положить
\[
\begin{aligned}
V^{\prime}(P) & =v_{0}^{2} P-\alpha P^{3}+\ldots, \\
P & =b \cos \theta+b_{3} \cos 3 \theta+\ldots, \\
E & =a \cos \theta+a_{3} \cos 3 \theta+\ldots
\end{aligned}
\]

и вывести дисперсионное соотношение
\[
n^{2}=\frac{c_{0}^{2} k^{2}}{\omega^{2}}=1-\frac{v_{p}^{2}}{\omega_{0}^{2}-v_{0}^{2}}+\frac{3}{4} \frac{\alpha \varepsilon_{0}^{2} v_{p}^{6}}{\left(\omega^{2}-v_{0}^{2}\right)^{4}} a^{2}+\ldots .
\]

В полностью нелинейном случае уравнение (16.8) имеет осциллирующие решения, как показано для уравнения Клейна — Гордона (см. (14.3)); тесная связь между этими двумя случаями становится очевидной.
Усредненный лагранжиан
Вариационный принцип можно сформулировать в терминах потенциала $\psi$, т. е. $z$-компоненты векторного потенциала. Компоненты поля даются равенствами $E=-\psi_{t}, B=-\psi_{x}$, и соответствующий лагранжиан имеет вид
\[
\begin{aligned}
L & =\frac{1}{2} \varepsilon_{0}\left(\psi_{t}^{2}-c_{0}^{2} \psi_{x}^{2}\right)-N q \psi_{t} r+N\left\{\frac{1}{2} m r_{t}^{2}-U(r)\right\}= \\
& =\frac{1}{2} \varepsilon_{0}\left(\psi_{t}^{2}-c_{0}^{2} \psi_{x}^{2}\right)-\psi_{t} P+\frac{1}{\varepsilon_{0} v_{p}^{2}}\left\{\frac{1}{2} P_{t}^{2}-V(P)\right\} .
\end{aligned}
\]

Если $V^{\prime}(P)$ — нечетная функция от $P$, то для однородного волнового пакета достаточно считать $\psi$ и $P$ периодическими функциями от $\theta$. Тогда, согласно (16.7) и (16.8), имеем
\[
\begin{array}{c}
E=\omega \psi_{\theta}=-\frac{\omega^{2}}{\omega^{2}-c_{0}^{2} k^{2}} \frac{P}{\varepsilon_{0}}, \\
\frac{1}{2} \omega^{2} P_{\theta}^{2}+V(P)+\frac{1}{2} \frac{\omega^{2} v_{p}^{2}}{\omega^{2}-c_{0}^{2} k^{2}} P^{2}=A,
\end{array}
\]

где второе уравнение было проинтегрировано и при этом в него вошла постоянная интегрирования $A$ как амплитудный параметр. Усредненный лагранжиан затем получается подстановкой равенств (16.13) -(16.14) в (16.12) и последующими стандартными выкладками. Результат имеет вид
\[
\mathscr{L}(\omega, k, A)=\frac{1}{\varepsilon_{0} v_{p}^{2} \downarrow}\left(\frac{\omega}{2 \pi} \oint\left\{2 A-2 V(P)-\frac{\omega^{2} v_{p}^{2}}{\omega^{2}-c_{0}^{2} k^{2}} P^{2}\right\}^{1 / 2} d P-A\right) .
\]

Опять можно отметить сходство со случаем уравнения Клейна Гордона (14.26).

Если функция $V^{\prime}(P)$ не является нечетной, то потребуется более общее выражение
\[
\psi=\beta x-\gamma t+\Psi(\theta) .
\]

Параметры $\beta$ и $\gamma$ дают ненулевые средние значения для $B$ и $E$, и их следует рассматривать как псевдоволновое число и псевдочастоту, как было объяснено в § 14.7. В уравнение (16.6) теперь следует ввести вторую постоянную интегрирования, скажем $\widetilde{A}$, и тройка $(\gamma, \beta, \widetilde{A})$ аналогична основной тройке $(\omega, k, A)$. В теории модуляций связь изменений тройки $(\omega, k, A)$ с изменениями средних полевых параметров $(\gamma, \beta, \widetilde{A}$ ) приводит к чрезвычайно важному эффекту. Мы не будем выяснять здесь детали; они аналогичны случаю волн на воде, который будет рассмотрен ниже.

Основываясь на лагранжиане (16.15) и используя описанные в предыдущих главах методы, можно вывести общие результаты. Однако большая часть результатов нелинейной оптики связана с почти линейным случаем. В этом конкретном контексте он обладает тем преимуществом, что хотя для обоснования теории используется специальная модель, более широкая интерпретация формул достаточно ясна. Почти линейную форму лагранжиана $\mathscr{L}$ легче всего получить непосредственной подстановкой разложений (16.10) в (16.12), а не аппроксимацией выражения (16.15). Вычисление лагранжиана $\mathscr{L}$ вплоть до четвертого порядка по $a$ особенно просто, поскольку коэффициенты $a_{3}, b_{3}$, которые имеют третий порядок по $a$, дают вклад лишь в члены шестого порядка и выще. (Ср. с выводом выражения (14.52).) Таким образом, в этом порядке
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{4}\left(1-\frac{c_{0}^{2} k^{2}}{\omega^{2}}\right) \varepsilon_{0} a^{2}+\frac{1}{2} a b+\frac{\omega^{2}-v_{0}^{2}}{4 \varepsilon_{0} v_{p}^{2}} b^{2}+\frac{3}{32} \frac{\alpha}{\varepsilon_{0} v_{p}^{2}} b^{4} .
\]

Вариационное уравнение $\mathscr{L}_{b}=0$ позволяет выразить $b$ через $a$ :
\[
b=-\frac{\varepsilon_{0} v_{p}^{2}}{\omega^{2}-v_{0}^{2}} a+\frac{3}{4} \frac{\varepsilon_{0}^{3} v_{p}^{6}}{\left(\omega^{2}-v_{0}^{2}\right)^{4}} a^{3} .
\]

Подставляя этот результат в выражение для $\mathscr{L}$, получаем
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{4}\left(1-\frac{c_{0}^{2} k^{2}}{\omega^{2}}-\frac{v_{p}^{2}}{\omega^{2}-v_{0}^{2}}\right) \varepsilon_{0} a^{2}+\frac{3}{32} \frac{\alpha \varepsilon_{0}^{2} v_{p}^{6}}{\left(\omega^{2}-v_{0}^{2}\right)^{4}} a^{4} .
\]

В качестве проверки отметим, что дисперсионное соотношение $\mathscr{L}_{a}=0$ совпадает с (16.11), как и должно быть.

Первый член в (16.12), который можно записать в виде $1 / 2 \varepsilon_{0}\left(E^{2}-c_{0}^{2} B^{2}\right)$, является основным волновым оператором для әлектромагнитных волн в свободном пространстве. Он всегда приводит к члену
\[
\frac{1}{4}\left(1-\frac{c_{0}^{2} k^{2}}{\omega^{2}}\right) \varepsilon_{0} a^{2}
\]

в лагранжиане $\mathscr{L}$, где $a$ — амплитуда электрического поля. Другие члены в выражении (16.19) описывают отклик среды на осциллирующее электрическое поле. Для других моделей, а также для учета заданных свойств среды можно, по-видимому, предположить по аналогии, что
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{4}\left(1_{i}-\frac{c_{0}^{2} k^{2}}{\omega^{2}}\right) \varepsilon_{0} a^{2}+g_{2}(\omega) \varepsilon_{\theta} a^{2}+g_{4}(\omega) \varepsilon_{0} a^{4},
\]

где $g_{2}(\omega)$ и $g_{4}(\omega)$ — некоторые функции. Тогда дисперсионное соотнопение $\mathscr{L}_{a}=0$ позволит связать функции $g_{2}, g_{4}$ с поведением показателя преломления. Если потребовать, чтобы дисперсионное соотношение имело вид
\[
n=\frac{c_{0} k}{\omega}=n_{0}(\omega)+\frac{1}{2} n_{2}(\omega) a^{2},
\]

то мы должны положить
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{4}\left\{n_{0}^{2}(\omega)-\frac{c_{0}^{2} k_{2}^{2}}{\omega^{2}}\right\} \varepsilon_{0} a^{2}+\frac{1}{8} n_{0}(\omega) n_{2}(\omega) \varepsilon_{0} a^{4} .
\]

Коэффициент $n_{0}(\omega)^{-}$- это линейный показатель преломления, и теперь его можно задать выражением, более близким к действительности, чем (16.9). Например, включив большее число резонансных частот $v_{j}$, будем иметь
\[
n_{\theta}^{2}(\omega)=1-v_{p}^{2 i} \sum_{j} \frac{f_{j}}{\omega^{2}-v_{j}^{2}}, \quad \sum_{j} \dot{f}_{j}=1,
\]

где $f_{j}=N_{j} / N$ — относительное число электронов с резонансной частотой $v_{j}$. Это согласуется и с квантовотеоретическим описанием, для которого $v_{j}$ — частоты перехода, а $f_{j}$ — вероятности перехода. Аналогичным образом, нелинейный коэффициент $n_{2}(\omega)$ можно выбрать так, чтобы описать другие модели или известные физические свойства среды. Однако всегда следует помнить о том, что мы ограничиваемся случаями, в которых отсутствуют квадратичные средние полей.