Ключом к решению одного уравнения первого порядка, как показано в гл. 2, служит использование семейства характеристик в $(x, t)$-плоскости; вдоль каждой характеристики уравнение в частных производных сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению. В некоторых случаях затем удается найти решение в аналитическом виде. Но в худшем случае уравнение в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с последующим пошаговым численным интегрированием. В любом варианте решение можно построить последовательным «локальньм» рассмотрением малых областей; не обязательно вычислять сразу все решение в целом. Это, конечно, соответствует основным идеям волнового движения: за любой малый интервал времени на поведение в выбранной точке могут оказать влияние только те точки, которые расположены настолько близко, что волны от них успевают дойти вовремя. Поставим следующий вопрос: возможны ли такие локальные вычисления для системы (5.1)? Если они возможны, то система является гиперболической и можно сформулировать соответствующее точное определение.

В общем случае любое из уравнений (5.1) включает различные комбинации $\partial u_{j} / \partial t$ и $\partial u_{j} / \partial x$ для каждого $u_{j}$. Это значит, что оно содержит информацию о скоростях изменения различных функций $u_{j}$ в различных направлениях и нельзя получить информацию об этих скоростях для всех $u_{j}$ в каком-либо едином направлении. Но мы можем провести различные преобразования системы $n$ уравнений (5.1) и посмотреть, нельзя ли получить такую информадию из какой-либо их комбинации. Рассмотрим поэтому линейную комбинацию
\[
l_{i}\left(A_{i j} \frac{\partial u_{j}}{\partial t}+a_{i j} \frac{\partial u_{j}}{\partial x}\right)+l_{i} b_{i}=0,
\]

где вектор $\mathbf{l}$ – функция от $x, t$ и $\mathbf{u}$, и выясним, можно ли выбрать вектор 1 так, чтобы уравнение (5.2) приняло вид
\[
m_{j}\left(\beta \frac{\partial u_{j}}{\partial t}+\alpha \frac{\partial u_{j}}{\partial x}\right)+l_{j} b_{j}=0 .
\]

Если это возможно, то уравнение (5.3) дает связь между производными всех и $u_{f}$ по единому направлению $(\alpha, \beta)$. В этом случае целесообразно ввести в $(x, t)$-плоскости кривые, определяемые векторным полем $(\alpha, \beta)$. Если $x=X(\eta), t=T(\eta)$ – параметрическое представление одной из таких кривых, то полная производная функции $u_{j}$ вдоль этой кривой равна
\[
\frac{d u_{j}}{d \eta}=T^{\prime} \frac{\partial u_{j}}{\partial t}+X^{\prime} \frac{\partial u_{j}}{\partial x} .
\]

Не теряя общности, можно положить
\[
\alpha=X^{\prime}(\eta), \quad \beta=T^{\prime}(\eta)
\]

и переписать (5.3) в виде
\[
m_{j} \frac{d u_{j}}{d \eta}+l_{j} b_{j}=0 .
\]

Условия того, что уравнение (5.2) можно представить в форме (5.4), имеют вид
\[
l_{i} A_{i j}=m_{j} T^{\prime}, \quad l_{i} a_{i j}=m_{j} X^{\prime},
\]

и исключая $m_{j}$, получаем
\[
l_{i}\left(A_{i j} X^{\prime}-a_{i j} T^{\prime}\right)=0 .
\]

Имеем $n$ уравнений для множителей $l_{i}$ и направления ( $X^{\prime}, T^{\prime}$ ). Поскольку они однородны по $l_{i}$, необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения является обращение в нуль определителя
\[
\left|A_{i j} X^{\prime}-a_{i j} T^{\prime}\right|=0 .
\]

Это условие определяет направление кривой. Такая кривая называется характеристикой, а соответствующее уравнение (5.4) называется уравнением в характеристической форме.

Каждое уравнение в характеристической форме дает только одну связь между $n$ производными функций $u_{j}$ вдоль соответствующей характеристики. Как мы увидим ниже, для возможности локального построения решения в некоторой малой области требуется существование $n$ независимых уравнений в характеристической форме. Это условие является основой определения гиперболической системы.

Сначала, однако, следует отметить сравнительно слабое, но важное ограничение, наложенное на системы, к которым применимо это определение. Ограничение касается матриц коәффициентов $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{a}$. Сразу видно, что одна из них или даже обе они могут быть вырожденными.

Если определитель $\left|A_{i j}\right|=0$, то $T^{\prime}=0$ является решением уравнения (5.6), а $x$-направление – характеристическим, если же $\left|a_{i j}\right|=0$, то $X^{\prime}=0$ является решением, $t$-направление – характеристическим. Несомненно, допустимо, чтобы оси были характеристиками, и эти возможности следовало бы включить в рассмотрение. Однако в некоторых случаях, когда обе матрицы оказываются вырожденными, системы так сильно вырождаются, что подобные возможности следует исключить.

Эти две ситуации можно различить, проверив, устраняются ли трудности при повороте осей. Если беда лишь в том, что исходные оси совпадают с характеристиками, то цоворот осей приведет к новой системе с невырожденными матрицами. Поворот осей

заменяет исходные матрицы в (5.1) их линейными комбинациями. Следовательно, соответствующее условие состоит в том, чтобы
\[
\left|\lambda A_{i j}+\mu a_{i j}\right|
eq 0
\]

для некоторых $\lambda, \mu$, не равных нулю одновременно, и не требуется проводить соответствующее преобразование в явном виде. Если условие (5.7) никогда не выполняется, то имеем вырожденный случай, который следует исключить. В последнем случае все направления формально являются характеристическими и все построения незаконны. Судя по примерам, приведенным в следующем параграфе, системы, так сильно вырожденные, содержат лишние неизвестные, исключение которых может привести к системам с коэффициентами, уже удовлетворяющими условию (5.7). Учитывая это ограничение, можно ввести следующее определение.

Определение. Система (5.1), удовлетворяющая условию (5.7), называется аиперболической, если существуют $n$ линейно независимых вещественных векторов $\mathbf{l}^{(k)}, k=1, \ldots, n$, таких, тто
\[
l_{i}^{(k)}\left\{A_{i j} \alpha^{(k)}-a_{i j} \beta^{(k)}\right\}=0
\]

для каждого $k$, и соответствующие направления $\left\{\alpha^{(k)}, \beta^{(k)}\right\}$ вещественны, причем $\alpha^{(k) 2}+\beta^{(k) 2}
eq 0$.

Следует отметить, что ударение здесь делается на существование $n$ независимых векторов $\mathbf{l}^{(k)}$ и что не требуется, чтобы соответствующие направления ( $\left.\alpha^{(k)}, \beta^{(k)}\right)$ были различны. Если все эти направления различны и существуют $n$ различных семейств характеристик, то система называется строго гиперболической, но мы будем мало пользоваться этим термином. Как мы увидим ниже, возможны случаи, когда уравнение (5.6) имеет менее чем $n$ различных репений, и тем не менее существуют $n$ независимых векторов 1 .

Частный случай $A_{i j}=\delta_{i j}$. Во многих задачах система (5.1) принимает специальный вид
\[
\frac{\partial u_{i}}{\partial t}+a_{i j} \frac{\partial u_{j}}{\partial x}+b_{i}=0,
\]
т.е. матрица $\boldsymbol{A}$ является единичной матрицей. В других случаях система сводится к такому виду умножением на $\boldsymbol{A}^{-1}$ (после замены координат, если исходная матрица $\boldsymbol{A}$ особенная). Редко имеет смысл подробно проводить соответствующие преобразования, но в случае необходимости можно, не теряя общности, пользоваться такой формой системы (5.1). Из (5.6) следует, что в этой форме записи $T^{\prime}
eq 0$, так что характеристики никогда не будут направлены вдоль оси $x$. Следовательно, их можно параметризовать са-

мим $t$ и описывать уравнениями вида $x=X(t)$. Линейная комбинация
\[
l_{i} \frac{\partial u_{i}}{\partial t}+l_{i} a_{i j} \frac{\partial u_{i}}{\partial x}+l_{i} b_{i}=0
\]

принимает характеристическую форму
\[
l_{i} \frac{\partial u_{i}}{\partial t}+l_{i} b_{i}=0 \text { на } \frac{d X}{d t}=c_{i}
\]

при условии, что
\[
l_{i} a_{i j}=l_{j} c .
\]

В частности, характеристическая скорость с должна удовлетворять уравнению
\[
\left|a_{i j}-c \delta_{i j}\right|=0 .
\]

Возможные корни $c$ являются собственными числами матрицы $\boldsymbol{a}$, а векторы 1 – соответствующими левыми собственными векторами.

Следующие два утверждения вытекают из известных теорем линейной алгебры.

Собственные векторы $\mathrm{I}$, отвечающие различным собственным числам $c$, линейно независимы. Поэтому система является гиперболической, если уравнение (5.12) имеет п различных вещественных корней $c$.

Если $\boldsymbol{a}$ – вещественная симметрическая матрица, то все корни уравнения (5.12) вещественны и существуют $n$ линейно независимых собственных векторов. Поэтому система является гиперболической, если а – вещественная симметрическая матрица.