Главная > Линейные и нелинейные волны (Дж. Уизем)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Ключом к решению одного уравнения первого порядка, как показано в гл. 2, служит использование семейства характеристик в (x,t)-плоскости; вдоль каждой характеристики уравнение в частных производных сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению. В некоторых случаях затем удается найти решение в аналитическом виде. Но в худшем случае уравнение в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с последующим пошаговым численным интегрированием. В любом варианте решение можно построить последовательным «локальньм» рассмотрением малых областей; не обязательно вычислять сразу все решение в целом. Это, конечно, соответствует основным идеям волнового движения: за любой малый интервал времени на поведение в выбранной точке могут оказать влияние только те точки, которые расположены настолько близко, что волны от них успевают дойти вовремя. Поставим следующий вопрос: возможны ли такие локальные вычисления для системы (5.1)? Если они возможны, то система является гиперболической и можно сформулировать соответствующее точное определение.

В общем случае любое из уравнений (5.1) включает различные комбинации uj/t и uj/x для каждого uj. Это значит, что оно содержит информацию о скоростях изменения различных функций uj в различных направлениях и нельзя получить информацию об этих скоростях для всех uj в каком-либо едином направлении. Но мы можем провести различные преобразования системы n уравнений (5.1) и посмотреть, нельзя ли получить такую информадию из какой-либо их комбинации. Рассмотрим поэтому линейную комбинацию
li(Aijujt+aijujx)+libi=0,

где вектор l — функция от x,t и u, и выясним, можно ли выбрать вектор 1 так, чтобы уравнение (5.2) приняло вид
mj(βujt+αujx)+ljbj=0.

Если это возможно, то уравнение (5.3) дает связь между производными всех и uf по единому направлению (α,β). В этом случае целесообразно ввести в (x,t)-плоскости кривые, определяемые векторным полем (α,β). Если x=X(η),t=T(η) — параметрическое представление одной из таких кривых, то полная производная функции uj вдоль этой кривой равна
dujdη=Tujt+Xujx.

Не теряя общности, можно положить
α=X(η),β=T(η)

и переписать (5.3) в виде
mjdujdη+ljbj=0.

Условия того, что уравнение (5.2) можно представить в форме (5.4), имеют вид
liAij=mjT,liaij=mjX,

и исключая mj, получаем
li(AijXaijT)=0.

Имеем n уравнений для множителей li и направления ( X,T ). Поскольку они однородны по li, необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения является обращение в нуль определителя
|AijXaijT|=0.

Это условие определяет направление кривой. Такая кривая называется характеристикой, а соответствующее уравнение (5.4) называется уравнением в характеристической форме.

Каждое уравнение в характеристической форме дает только одну связь между n производными функций uj вдоль соответствующей характеристики. Как мы увидим ниже, для возможности локального построения решения в некоторой малой области требуется существование n независимых уравнений в характеристической форме. Это условие является основой определения гиперболической системы.

Сначала, однако, следует отметить сравнительно слабое, но важное ограничение, наложенное на системы, к которым применимо это определение. Ограничение касается матриц коәффициентов A и a. Сразу видно, что одна из них или даже обе они могут быть вырожденными.

Если определитель |Aij|=0, то T=0 является решением уравнения (5.6), а x-направление — характеристическим, если же |aij|=0, то X=0 является решением, t-направление — характеристическим. Несомненно, допустимо, чтобы оси были характеристиками, и эти возможности следовало бы включить в рассмотрение. Однако в некоторых случаях, когда обе матрицы оказываются вырожденными, системы так сильно вырождаются, что подобные возможности следует исключить.

Эти две ситуации можно различить, проверив, устраняются ли трудности при повороте осей. Если беда лишь в том, что исходные оси совпадают с характеристиками, то цоворот осей приведет к новой системе с невырожденными матрицами. Поворот осей

заменяет исходные матрицы в (5.1) их линейными комбинациями. Следовательно, соответствующее условие состоит в том, чтобы
|λAij+μaij|eq0

для некоторых λ,μ, не равных нулю одновременно, и не требуется проводить соответствующее преобразование в явном виде. Если условие (5.7) никогда не выполняется, то имеем вырожденный случай, который следует исключить. В последнем случае все направления формально являются характеристическими и все построения незаконны. Судя по примерам, приведенным в следующем параграфе, системы, так сильно вырожденные, содержат лишние неизвестные, исключение которых может привести к системам с коэффициентами, уже удовлетворяющими условию (5.7). Учитывая это ограничение, можно ввести следующее определение.

Определение. Система (5.1), удовлетворяющая условию (5.7), называется аиперболической, если существуют n линейно независимых вещественных векторов l(k),k=1,,n, таких, тто
li(k){Aijα(k)aijβ(k)}=0

для каждого k, и соответствующие направления {α(k),β(k)} вещественны, причем α(k)2+β(k)2eq0.

Следует отметить, что ударение здесь делается на существование n независимых векторов l(k) и что не требуется, чтобы соответствующие направления ( α(k),β(k)) были различны. Если все эти направления различны и существуют n различных семейств характеристик, то система называется строго гиперболической, но мы будем мало пользоваться этим термином. Как мы увидим ниже, возможны случаи, когда уравнение (5.6) имеет менее чем n различных репений, и тем не менее существуют n независимых векторов 1 .

Частный случай Aij=δij. Во многих задачах система (5.1) принимает специальный вид
uit+aijujx+bi=0,
т.е. матрица A является единичной матрицей. В других случаях система сводится к такому виду умножением на A1 (после замены координат, если исходная матрица A особенная). Редко имеет смысл подробно проводить соответствующие преобразования, но в случае необходимости можно, не теряя общности, пользоваться такой формой системы (5.1). Из (5.6) следует, что в этой форме записи Teq0, так что характеристики никогда не будут направлены вдоль оси x. Следовательно, их можно параметризовать са-

мим t и описывать уравнениями вида x=X(t). Линейная комбинация
liuit+liaijuix+libi=0

принимает характеристическую форму
liuit+libi=0 на dXdt=ci

при условии, что
liaij=ljc.

В частности, характеристическая скорость с должна удовлетворять уравнению
|aijcδij|=0.

Возможные корни c являются собственными числами матрицы a, а векторы 1 — соответствующими левыми собственными векторами.

Следующие два утверждения вытекают из известных теорем линейной алгебры.

Собственные векторы I, отвечающие различным собственным числам c, линейно независимы. Поэтому система является гиперболической, если уравнение (5.12) имеет п различных вещественных корней c.

Если a — вещественная симметрическая матрица, то все корни уравнения (5.12) вещественны и существуют n линейно независимых собственных векторов. Поэтому система является гиперболической, если а — вещественная симметрическая матрица.

1
Оглавление
email@scask.ru