Обсудим вкратце ситуацию для квазилинейных уравнений с $m$ независимыми переменными в случае, когда $m>2$. Систему можно записать в виде
\[
a_{i j}^{v} \frac{\partial u_{j}}{\partial x^{v}}+b_{i}=0, \quad i=1, \ldots, n,
\]

где зависимые переменные $u_{j}$ являются функциями от $m$ независимых переменных $x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{m}$ и суммирование проводится по $v=1, \ldots, m$ и $j=1, \ldots, n$. Аналогами характеристик, рассмотренных выше для $m=2$, служат характеристические поверхности в $m$-мерном $\mathbf{x}$-пространстве. Их можно ввести примерно так же, как и раньще, и они сохраняют некоторые свойства характеристик. Однако их роль в построении решения существенно более ограничена.

Это ограничение связано с тем, что в общем случае нет оснований ожидать, что найдутся такие линейные комбинации уравнений (5.58), в которых производные от $u_{j}$ будут производными по одному и тому же направлению. Для этого на систему или на решения следует наложить условия, которые выполняются лишь в исключительных случаях. В данном случае аналогом следует считать

случай, когда рассматриваемые направления лежат на ( $m-1$ )мерном поверхностном элементе. Если подходящая линейная комбинация имеет вид
\[
l_{i} a_{i j}^{v} \frac{\partial u_{j}}{\partial x^{v}}+l_{i} b_{i}=0
\]

и поверхностный элемент лежит на поверхности $S(\mathbf{x})=$ const, то вектор нормали $\kappa$ этой поверхности имеет компоненты $\partial S / \partial x^{v}$ и условие ортогональности записывается так:
\[
l_{i} a_{i j}^{v} \frac{\partial S}{\partial x^{v}}=0, \quad j=1, \ldots, n .
\]

Для существования нетривиального вектора $l$ необходимо, чтобы выполнялось условие
\[
\left|a_{i j}^{v} \frac{\partial S}{\partial x^{v}}\right|=0 .
\]

Поверхностп, обладающие этим свойством, называются характеристическими поверхностями. Система снова называется гиперболической, если существуют $n$ независимых уравнений вида (5.59) с таким свойством. Обычно им отвечают $n$ различных характеристических поверхностей, но это не обязательно: достаточно потребовать существованія полной системы из $n$ независимых векторов 1. Однако этот выбор не упрощает решения системы в той степени, как это было в случае $m=2$, поскольку на каждой из поверхностей все же остается $m-1$ связанное направление.

Ввиду этого основное свойство характеристических поверхностей в задачах о распространении волн состоит в том, что на них находятся особенности решения и, в частности, они ошисывают волновые фронты. Положим так же, как и в $\S 5.5$, что $S(\mathbf{x})=0$ поверхность, при переходе через которую $u_{j}$ остаются непрерывными, а $\partial u_{j} / \partial x^{v}$ могут иметь разрыв первого рода. Из непрерывности $u_{j}$ стедует, что все касательные производные должны оставаться непрерывными, так что только нормальные производные могут претерпевать разрыв. Пусть поверхность $S=0$ входит в семейство поверхностей $S=$ const, так что $S$ можно использовать для построения локальной системы координат, выбрав остальные $m-1$ координат произвольным образом; тогда разрывные производные имеют вид $\partial u_{j} / \partial S$. Следуя рассуждениям, проведенным для случая $m=2$, получаем
\[
a_{i j}^{v} \frac{\partial S}{\partial x^{v}}\left[\frac{\partial u_{j}}{\partial S}\right]=0 .
\]

Следовательно, разрывы могут возникать лишь на поверхностях, удовлетворяющих уравнению
\[
\left|a_{i j}^{v} \frac{\partial S}{\partial x^{v}}\right|=0
\]

Это уравнение совпадает с уравнением (5.61), определяющим характеристические поверхности. Уравнения (5.62) и (5.63) являются обобщением уравнений (5.20) и (5.21). Как и ранее, можно получить дальнейшие соотношения для скачков $\left[\partial u_{j} / \partial S\right]$.