Главная > Линейные и нелинейные волны (Дж. Уизем)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Решение вида простой волны связано с плоской волной, распространяющейся в однородную область. Задачи с цилиндрической или сферической симметрией и задачи о плоских волнах, распространяющихся в неоднородную область, являются более сложными. Можно построить довольно общую приближенную теорию слабых волн (это будет сделано в гл. 9), но имеются также некоторые точные решения специального вида, более близкие к содержанию данной главы.

Рассмотрим сначала цилиндрическое или сферическое волновое движение. Уравнения (6.49) сводятся к следующим:
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+u \rho_{r}+\rho\left(u_{r}+\frac{j u}{r}\right) & =0, \\
u_{t}+u u_{r}+\frac{1}{\rho} p_{r} & =0, \\
p_{t}+u p_{r}-a^{2}\left(\rho_{t}+u \rho_{r}\right) & =0,
\end{aligned}
\]

где $r$ – расстояние от центра, а $j=1,2$ для цилиндрических и сферических волн соответственно.

Характеристические уравнения почти такие же, как и § 6.7; дополнительный член $j \rho u / r$ не содержит производных и, следовательно, не влияет на выбор подходящих линейных комбинаций. Теперь эти характеристические уравнения принимают вид
\[
\begin{aligned}
\frac{d p}{d t} \pm \rho a \frac{d u}{d t}+j \frac{\rho a^{2} u}{r}=0 & \text { на } \frac{d r}{d t}=u \pm a, \\
\frac{d p}{d t}-a^{2} \frac{d \rho}{d t}=0 & \text { на } \frac{d r}{d t}=u .
\end{aligned}
\]

Безобидный на вид дополнительный член в уравнении (6.135) не позволяет получить решение типа простой волны. Для изэнтропического течения уравнение на характеристике $C_{-}$имеет вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{2}{\gamma-1} a-u\right)+j \frac{a u}{r}=0, \quad \frac{d r}{d t}=u-a .
\]

Его уже нельзя раз и навсегда проинтегрировать и получить простое соотношение между $a$ и $u$. Вследствие этого не существует точных решений, соответствующих простым волнам плоского течения. Можно использовать некоторые приближенные методы и получить аналогичные решения, но они ограничены слабыми возмущениями. Такая приближенная теория и будет построена в гл. 9.

Однако, используя другой подход, можно найти класс точных решений, которые оказываются удивительно полезными. Система уравнений (6.132)-(6.134) имеет специальные автомодельные решения, для которых все параметры течения имеют вид $t^{m} f\left(r / t^{n}\right)$. В силу этих свойств течения, уравнения в частных производных сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям с независимой переменной $r / t^{n}$.
Задача о сильном взрыве
Одно из наиболее известных автомодельных решений описывает взрывную волну, вызванную сильным взрывом. Оно было найдено Седовым, а также независимо Тейлором и фон Нейманом в связи с исследованиями взрыва атомной бомбы. Вид этого решения можно найти на основе анализа размерностей. Во-первых, предполагается, что взрыв можно идеализировать как внезапное высвобождение некоторого количества энергии $E$, сосредоточенной в точке, и что это единственный размерный параметр, вводимый взрывом. Во-вторых, результирующее возмущение считается настолько сильным, что начальное давление и скорость звука для окружающего воздуха пренебрежимо малы по сравнению с давлениями и скоростями возмущенного течения. Тогда единственным размерным параметром, связанным с окружающим газом, оказывается плотность $\rho_{0}$. В частности, применимы соотношения (6.110)

для сильной ударной волны, так что за ударной волной, распространяющейся со скоростью $U$,
\[
u=\frac{2}{\gamma+1} U, \quad \rho=\frac{\gamma+1}{\gamma-1} \rho_{0}, \quad p=\frac{2}{\gamma+1} \rho_{0} U^{2} .
\]

Анализ размерностей основан на том факте, что параметрами задачи являются только энергия $E$ с размерностью $M L^{2} T^{-\mathbf{2}}$ и плотность $\rho_{0}$ с размерностью $M L^{-3}$. Единственный параметр, связанный с размерностями длины и времени, – это $E / \rho_{0}$ с размерностью $L^{5} T^{-2}$ или некоторая функция от него. Рассмотрим теперь различные величины, встречающиеся в продессе ретения. Течение опережается ударной волной при $r=R(t)$. Поскольку функция $R(t)$ имеет размерность длины, то единственно возможная форма ее зависимости от $t$ такова:
\[
R(t)=k\left(\frac{E}{\rho_{0}}\right)^{1 / 5} t^{2 / 5},
\]

где $k$ – некоторое безразмерное число. Затем из условий на разрыве (6.138) следует, что давление и скорость сразу за ударной волной равны
\[
p=\frac{8}{25} \frac{k^{2} \rho_{0}}{\gamma+1}\left(\frac{E}{\rho_{0}}\right)^{2 / 5} t^{-6 / 5}, \quad u=\frac{4}{5} \frac{k}{\gamma+1}\left(\frac{E}{\rho_{0}}\right)^{1 / 5} t^{-3 / 5},
\]

или, что то же самое,
\[
p=\frac{8}{25} \frac{k^{5}}{\gamma+1} E R^{-3}, \quad u=\frac{4}{5} \frac{k^{5 / 2}}{\gamma+1}\left(\frac{E}{\rho_{0}}\right)^{1 / 2} R^{-3 / 2} .
\]

Как обычно, приходится удивляться, что, исходя из простого анализа размерностей, можно получить столь ценную информацию.

Можно продолжить анализ размерностей и установить функциональный вид $u, \rho$ и $p$ во всем поле течения. Поскольку не существует независимых масптабов длины и времени, связанных с параметрами задачи, а комбинация $E / \rho_{0}$ имеет размерность $L^{5} T^{-2}$, любые безразмерные функции от $r$ и $t$ могут зависеть только от комбинации $\zeta=E t^{2} /\left(\rho_{0} r^{5}\right)$. Мы будем использовать величину
\[
\xi=\frac{r}{R(t)},
\]

в силу (6.139), пропорциональную $\zeta^{-1 / 5}$. Тогда, например, величины $u t / R, \rho / \rho_{0}, p t^{2} /\left(\rho_{0} R^{2}\right)$ являются безразмерными и должны зависеть только от $\xi$. Следуя Тейлору [4], положим
\[
u=\frac{2}{5} \frac{R}{t} \varphi(\xi), \quad \rho=\rho_{0} \psi(\xi), \quad p=\left(\frac{2}{5} \frac{R}{t}\right)^{2} \frac{\rho_{0}}{\gamma} f(\xi),
\]

где множитель $2 / 5$ включен потому, что отношение $2 R /(5 t)$ представляет собой скорость ударной волны. Существуют другие-

әквивалентные формы, и выбор
\[
u=\frac{2}{5} \frac{r}{t} V(\xi), \quad \rho=\rho_{0} \Omega(\xi), \quad p=\left(\frac{2}{5} \frac{r}{t}\right)^{2} \rho_{0} P(\xi)
\]

удовлетворяет рассматриваемой общей схеме. Очевидна связь
\[
\varphi=\xi V, \quad \psi=\Omega, \quad f=\gamma \xi^{2} P .
\]

Ударная волна находится в точке $\xi=1$ и имеет скорость $U$, равную $\dot{R}=2 R /(5 t)$, так что условия на разрыве имеют вид
\[
\varphi(1)=\frac{2}{\gamma+1}, \quad \psi(1)=\frac{\gamma+1}{\gamma-1}, \quad f(1)=\frac{2 \gamma}{\gamma+1} .
\]

При подстановке выражений (6.141) в уравнения движения получаются три обыкновенных дифференциальных уравнения первого порядка для функций $\varphi(\xi), \psi(\xi), f(\xi)$. Их следует проинтегри-

Рис. 6.6. Нормированные скорость $\varphi$, плотность $\psi$ и давление $f$ для сильного взрыва (по Тейлору).

ровать в пределах от $\xi=1$ до $\xi=0$ с начальными условиями (6.142). Параметр $k$ не входит в уравнения. Он связан с определением $E$ как полной энергии течения. Таким образом, мы полагаем
\[
E=\int_{0}^{R(t)}\left(\frac{p}{\gamma-1}+\frac{1}{2} \rho u^{2}\right) 4 \pi r^{2} d r
\]

что дает
\[
1=4 \pi k^{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{2} \int_{0}^{1}\left\{\frac{f}{\gamma(\gamma-1)}+\frac{1}{2} \psi \varphi^{2}\right\} \xi^{2} d \xi .
\]

Функции $\varphi, \psi, f$, графики которых приведены на рис. 6.6 , получены Тейлором численным интегрированием уравнений для случая $\gamma=1,4$. Используя другие переменные, Седов показал, что эти уравнения можно решить аналитически; см. гл. 4 книги Седова[1] $]^{1}$ ).
Автомодельные уравнения
Автомодельне решение, описывающее сильный взрыв, принадлежит семейству решений, для которых
\[
\begin{array}{l}
u=n \frac{r}{t} V(\xi), \quad p=n^{2} \rho_{0} \frac{r^{2}}{t^{2}} P(\xi), \\
\rho=\rho_{0} \Omega(\xi), \quad \xi=\frac{r}{(C t)^{n}} .
\end{array}
\]

Если эти выражения подставить в уравнения (6.132)-(6.134) п учесть, что частные производные функции $f(\xi)$ можно записать в стедующем виде:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial t} f(\xi)=\xi_{t} f^{\prime}(\xi)=-n \frac{r}{t} f^{\prime}(\xi), \\
\frac{\partial}{\partial r} f(\xi)=\xi_{r} f^{\prime}(\xi)=\frac{\xi}{r} f^{\prime}(\xi),
\end{array}
\]

то множители, зависящие от $r$ и $t$, сократятся и получатся обыкновенные дифференциальные уравнения по одной переменной $\xi$. Удобнее всего они записываются для $V, A=(\gamma P / \Omega)^{1 / 2}$ п $\Omega$; при этом скорость звука равна
\[
a=n \frac{r}{t} A(\xi) .
\]

Эти уравнения таковы:
\[
\begin{array}{l}
\left\{(V-1)^{2}-A^{2}\right\} \xi \frac{d V}{d \xi}= \\
=\left\{(j+1) V-\frac{2(1-n) \mid}{n \gamma}\right\} A^{2}-V(V-1)\left(V-\frac{1}{n}\right), \\
\left\{(V-1)^{2}-A^{2}\right\} \frac{\xi}{A} \frac{d A}{d \xi}= \\
=\left\{1-\frac{1-n}{\gamma n}(V-1)^{-1}\right\} A^{2}+\frac{\gamma-1}{2} V\left(V-\frac{1}{n}\right)- \\
\quad-\frac{\gamma-1}{2}(j+1) V(V-1)-(V-1)\left(V-\frac{1}{n}\right), \\
\left\{(V-1)^{2}-A^{2}\right\} \frac{\xi}{\Omega} \frac{d \Omega}{d \xi}= \\
=2\left\{(j+1) U-\frac{1-n}{n \gamma}\right\}(V-1)^{-1} A^{2}- \\
\quad-V\left(V-\frac{1}{n}\right)-(j+1) V(V-1) .
\end{array}
\]

Решение может иметь особенность там, где
\[
(V-1)^{2}-A^{2}=0 .
\]

Из вида уравнений следует, что эти особенности лежат на кривой $\xi=$ const. Исходные уравнения являлись гиперболическими, и, как мы знаем, особенности решения лежат на характеристиках
\[
\frac{d r}{d t}=u \pm a=\frac{n r}{t}(V \pm A) .
\]

На кривой $\xi=$ const мы имеем
\[
\frac{d r}{d t}=\frac{n r}{t} .
\]

Следовательно, на кривой $\xi=$ const, являющейся характеристикой, должно выполняться равенство $V \pm A=1$. Это согласуется с (6.147). Иначе говоря, особенность может возникнуть тишь на характеристике, проходящей через начало координат, I эта предельная характеристика принадлежит семейству $\xi=$ const.
Pıс. 6.7. ( $r, t$ )-диаграмма для сильного взрыва.
1 – характеристнкі, 2 – ударная волна, 3 – предельная характеристика.
В задаче о сильном взрыве $n=2 / 5$ и предельная характеристика не может оказаться за ударной волной. Она может быть расположена лишь в области перед ударной волной, как показано на рис. 6.7, но течение там является однородным с $V=A=0$ и особенности отсутствуют. Предельная характеристика представляет собой край складки в $(r, t)$-плоскости для многозначного решения, которое заменяется ударной волной.
Задача Гудерлея о сходящейся ударной волне
Предельная характеристика играет решающую роль в задаче о сходящейся сферической или цилиндрической волне, схлопывающейся к центру. В этом случае отсутствуют соображения размерности, цозволяющие установить автомодельность решения.

Однако Гудерлей [1] предложил искать решение задачи в виде (6.143) с некоторым показателем степени $n$, который следует определить. За нулевой момент времени $t$ выбирается момент, когда ударная волна достигает центра, так что в равенствах (6.143) $t \leqslant 0$ и $C<0$. В пользу автомодельного решения говорит то, что особенность в центре связана с ударной волной, которая
Pпс. 6.8. ( $r, t)$-днаграмма для сходящейся ударной волны.
1 – псходная ударная волна, 2 – предельная характеристика, 3 отраженная ударная волна.

входит по некоторой кривой в $(r, t)$-плоскости и отражается вдоль некоторой другой кривой. Это наводит на мысль, что решение связано с некоторым семейством кривых, входящих в начало координат, а самым простым является семейство вида $r /(-t)^{n}=$ $=\mathrm{const}$, которое и следует испробовать. Во всяком случае, решение этого типа существует! Уравнения тогда те же, что и выведенные выше уравнения (6.144)-(6.146) с некоторым $n$, которое следует определить. Сходящуюся ударную волну можно нормировать так, чтобы она находилась на кривой
\[
\xi=\frac{r}{(C t)^{n}}=1,
\]

поскольку параметр $C$ можно взять каким угодно.
В рассматриваемом случае геометрия характеристик на $(r, t)$ плоскости показывает (это ясно из схемы, приведенной на рис. 6.8), что предельная характеристика, проходящая через начало коор-

динат, находится в области течения. Поэтому вопрос об особенности на ней становится решающим. При интегрировании уравнений $(6.144)-(6.146)$ для $V(\xi), P(\xi), \Omega(\xi)$ с начальными значениями при $\xi=1$ мы выходим на кривую $(V-1)^{2}-A^{2}=0$. При этом у решения возникает особенность, если правые части равенств (6.144)-(6.146) не обращаются также в нуль. Заметим, что искомое решение не имеет особенности и что показатель степени $n$ еще не выбран. Гудерлей учел эти два обстоятельства и предложил выбрать $n$ так, чтобы правые части равенств (6.144)(6.146) обращались в нуль на кривой (6.147) и решение гладко продолжалось за предельную характеристику.

Численное интегрирование быто проведено с большой точностью Батлером [1], и найденные значения $n$ представлены в табл. 6.1. Давление в ударной волне и ее скорость имеют вид
\[
p \propto r^{\sim 2(1-n) / n}, \quad U \propto r^{-(1-n) / n},
\]

показатель степени ( $1-n) / n$ также приведен в таблице.

Любопытно, что показатель степени $(1-n) / n$ для $j=2$ приблизительно вдвое превосходит свое значение для $j=1$. Хотелось бы привести доказательство справедливости точного соотношения. Приближенная теория, которая будет изложена ниже (см. гл. 8), дает этот результат автоматически, но тем не менее результат в точном виде кажется неверным.

Гудерлей шоказал также, что отраженная ударная волна может быть описана тем же автомодельным решением. Наиболее интересно возрастание ее интенсивности при отражении. В этой пдеализированной модели и исходная, и отраженная волны имеют в центре бесконечную интенсивность и скорость, но отношение интенсивностей остается конечным. Гудерлей показал, что при $\gamma=7 / 5$ отнопение давления за отраженной ударной волной к давлению за исходной ударной волной составляет примерно 26 для сферических волн ( $j=2$ ) и примерно 17 для цилиндрических волн $(j=1$ ). Для плоских волн это отношение равно 8 (см. § 6.14).

Бесконечные значения в центре можно устранить учетом, скажем, эффектов вязкости, но более важный вопрос связан с устой-

чивостью. Ниже будет показано, что приближенная теория предсказывает, что малые несимметричные отклонения формы ударной волны будут расти и ударная волна не будет сходиться точно в центр. Однако неустойчивость влияет на поведение только в малой окрестности центра, и, по-видимому, решение Гудерлея применимо для большей части течения.
Другие автомодельные решения
На основе анализа размерностей можно утверждать, что течение, создаваемое равномерно расширяющейся сферой, должно описываться автомодельным решением с $u, p, \rho$, зависящими только от $r / C t$, где $C$ – скорость сферы. Уравнения имеют вид (6.143) – (6.146) с $n=1$, и в этом случае автомодельность решения не связана с сильными ударными волнами. Эта задача была поставлена и решена Тейлором [3].

В некоторых отношения задачи о плоских волнах, распространяющихся в неоднородной среде с плотностью $\rho_{0}(x)$, аналогичны задачам о сферических или цилиндрических волнах. Оказывается, что они имеют соответствующие автомодельные решения. Сакураи [1] рассмотрел случаи, для которых $\rho_{0}(x) \propto x^{m}$, и обнаружил, что их можно исследовать так же, как задачу о сходящейся ударной волне. В частности, показатель степени в автомодельной переменной был выбран так, чтобы устранить возможную особенность на предельной характеристике, проходящей через точку $x=0$ (см. § 8.2).

Другие случаи, включая экспоненциальную стратификацию плотности, были изучены Седовым [1, гл. 4], Зельдовичем и Райзером [1] и Хейзом [1].

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru