Решение вида простой волны связано с плоской волной, распространяющейся в однородную область. Задачи с цилиндрической или сферической симметрией и задачи о плоских волнах, распространяющихся в неоднородную область, являются более сложными. Можно построить довольно общую приближенную теорию слабых волн (это будет сделано в гл. 9), но имеются также некоторые точные решения специального вида, более близкие к содержанию данной главы.

Рассмотрим сначала цилиндрическое или сферическое волновое движение. Уравнения (6.49) сводятся к следующим:
\[
\begin{aligned}
\rho_{t}+u \rho_{r}+\rho\left(u_{r}+\frac{j u}{r}\right) & =0, \\
u_{t}+u u_{r}+\frac{1}{\rho} p_{r} & =0, \\
p_{t}+u p_{r}-a^{2}\left(\rho_{t}+u \rho_{r}\right) & =0,
\end{aligned}
\]

где $r$ — расстояние от центра, а $j=1,2$ для цилиндрических и сферических волн соответственно.

Характеристические уравнения почти такие же, как и § 6.7; дополнительный член $j \rho u / r$ не содержит производных и, следовательно, не влияет на выбор подходящих линейных комбинаций. Теперь эти характеристические уравнения принимают вид
\[
\begin{aligned}
\frac{d p}{d t} \pm \rho a \frac{d u}{d t}+j \frac{\rho a^{2} u}{r}=0 & \text { на } \frac{d r}{d t}=u \pm a, \\
\frac{d p}{d t}-a^{2} \frac{d \rho}{d t}=0 & \text { на } \frac{d r}{d t}=u .
\end{aligned}
\]

Безобидный на вид дополнительный член в уравнении (6.135) не позволяет получить решение типа простой волны. Для изэнтропического течения уравнение на характеристике $C_{-}$имеет вид
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{2}{\gamma-1} a-u\right)+j \frac{a u}{r}=0, \quad \frac{d r}{d t}=u-a .
\]

Его уже нельзя раз и навсегда проинтегрировать и получить простое соотношение между $a$ и $u$. Вследствие этого не существует точных решений, соответствующих простым волнам плоского течения. Можно использовать некоторые приближенные методы и получить аналогичные решения, но они ограничены слабыми возмущениями. Такая приближенная теория и будет построена в гл. 9.

Однако, используя другой подход, можно найти класс точных решений, которые оказываются удивительно полезными. Система уравнений (6.132)-(6.134) имеет специальные автомодельные решения, для которых все параметры течения имеют вид $t^{m} f\left(r / t^{n}\right)$. В силу этих свойств течения, уравнения в частных производных сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям с независимой переменной $r / t^{n}$.
Задача о сильном взрыве
Одно из наиболее известных автомодельных решений описывает взрывную волну, вызванную сильным взрывом. Оно было найдено Седовым, а также независимо Тейлором и фон Нейманом в связи с исследованиями взрыва атомной бомбы. Вид этого решения можно найти на основе анализа размерностей. Во-первых, предполагается, что взрыв можно идеализировать как внезапное высвобождение некоторого количества энергии $E$, сосредоточенной в точке, и что это единственный размерный параметр, вводимый взрывом. Во-вторых, результирующее возмущение считается настолько сильным, что начальное давление и скорость звука для окружающего воздуха пренебрежимо малы по сравнению с давлениями и скоростями возмущенного течения. Тогда единственным размерным параметром, связанным с окружающим газом, оказывается плотность $\rho_{0}$. В частности, применимы соотношения (6.110)

для сильной ударной волны, так что за ударной волной, распространяющейся со скоростью $U$,
\[
u=\frac{2}{\gamma+1} U, \quad \rho=\frac{\gamma+1}{\gamma-1} \rho_{0}, \quad p=\frac{2}{\gamma+1} \rho_{0} U^{2} .
\]

Анализ размерностей основан на том факте, что параметрами задачи являются только энергия $E$ с размерностью $M L^{2} T^{-\mathbf{2}}$ и плотность $\rho_{0}$ с размерностью $M L^{-3}$. Единственный параметр, связанный с размерностями длины и времени, — это $E / \rho_{0}$ с размерностью $L^{5} T^{-2}$ или некоторая функция от него. Рассмотрим теперь различные величины, встречающиеся в продессе ретения. Течение опережается ударной волной при $r=R(t)$. Поскольку функция $R(t)$ имеет размерность длины, то единственно возможная форма ее зависимости от $t$ такова:
\[
R(t)=k\left(\frac{E}{\rho_{0}}\right)^{1 / 5} t^{2 / 5},
\]

где $k$ — некоторое безразмерное число. Затем из условий на разрыве (6.138) следует, что давление и скорость сразу за ударной волной равны
\[
p=\frac{8}{25} \frac{k^{2} \rho_{0}}{\gamma+1}\left(\frac{E}{\rho_{0}}\right)^{2 / 5} t^{-6 / 5}, \quad u=\frac{4}{5} \frac{k}{\gamma+1}\left(\frac{E}{\rho_{0}}\right)^{1 / 5} t^{-3 / 5},
\]

или, что то же самое,
\[
p=\frac{8}{25} \frac{k^{5}}{\gamma+1} E R^{-3}, \quad u=\frac{4}{5} \frac{k^{5 / 2}}{\gamma+1}\left(\frac{E}{\rho_{0}}\right)^{1 / 2} R^{-3 / 2} .
\]

Как обычно, приходится удивляться, что, исходя из простого анализа размерностей, можно получить столь ценную информацию.

Можно продолжить анализ размерностей и установить функциональный вид $u, \rho$ и $p$ во всем поле течения. Поскольку не существует независимых масптабов длины и времени, связанных с параметрами задачи, а комбинация $E / \rho_{0}$ имеет размерность $L^{5} T^{-2}$, любые безразмерные функции от $r$ и $t$ могут зависеть только от комбинации $\zeta=E t^{2} /\left(\rho_{0} r^{5}\right)$. Мы будем использовать величину
\[
\xi=\frac{r}{R(t)},
\]

в силу (6.139), пропорциональную $\zeta^{-1 / 5}$. Тогда, например, величины $u t / R, \rho / \rho_{0}, p t^{2} /\left(\rho_{0} R^{2}\right)$ являются безразмерными и должны зависеть только от $\xi$. Следуя Тейлору [4], положим
\[
u=\frac{2}{5} \frac{R}{t} \varphi(\xi), \quad \rho=\rho_{0} \psi(\xi), \quad p=\left(\frac{2}{5} \frac{R}{t}\right)^{2} \frac{\rho_{0}}{\gamma} f(\xi),
\]

где множитель $2 / 5$ включен потому, что отношение $2 R /(5 t)$ представляет собой скорость ударной волны. Существуют другие-

әквивалентные формы, и выбор
\[
u=\frac{2}{5} \frac{r}{t} V(\xi), \quad \rho=\rho_{0} \Omega(\xi), \quad p=\left(\frac{2}{5} \frac{r}{t}\right)^{2} \rho_{0} P(\xi)
\]

удовлетворяет рассматриваемой общей схеме. Очевидна связь
\[
\varphi=\xi V, \quad \psi=\Omega, \quad f=\gamma \xi^{2} P .
\]

Ударная волна находится в точке $\xi=1$ и имеет скорость $U$, равную $\dot{R}=2 R /(5 t)$, так что условия на разрыве имеют вид
\[
\varphi(1)=\frac{2}{\gamma+1}, \quad \psi(1)=\frac{\gamma+1}{\gamma-1}, \quad f(1)=\frac{2 \gamma}{\gamma+1} .
\]

При подстановке выражений (6.141) в уравнения движения получаются три обыкновенных дифференциальных уравнения первого порядка для функций $\varphi(\xi), \psi(\xi), f(\xi)$. Их следует проинтегри-

Рис. 6.6. Нормированные скорость $\varphi$, плотность $\psi$ и давление $f$ для сильного взрыва (по Тейлору).

ровать в пределах от $\xi=1$ до $\xi=0$ с начальными условиями (6.142). Параметр $k$ не входит в уравнения. Он связан с определением $E$ как полной энергии течения. Таким образом, мы полагаем
\[
E=\int_{0}^{R(t)}\left(\frac{p}{\gamma-1}+\frac{1}{2} \rho u^{2}\right) 4 \pi r^{2} d r
\]

что дает
\[
1=4 \pi k^{5}\left(\frac{2}{5}\right)^{2} \int_{0}^{1}\left\{\frac{f}{\gamma(\gamma-1)}+\frac{1}{2} \psi \varphi^{2}\right\} \xi^{2} d \xi .
\]

Функции $\varphi, \psi, f$, графики которых приведены на рис. 6.6 , получены Тейлором численным интегрированием уравнений для случая $\gamma=1,4$. Используя другие переменные, Седов показал, что эти уравнения можно решить аналитически; см. гл. 4 книги Седова[1] $]^{1}$ ).
Автомодельные уравнения
Автомодельне решение, описывающее сильный взрыв, принадлежит семейству решений, для которых
\[
\begin{array}{l}
u=n \frac{r}{t} V(\xi), \quad p=n^{2} \rho_{0} \frac{r^{2}}{t^{2}} P(\xi), \\
\rho=\rho_{0} \Omega(\xi), \quad \xi=\frac{r}{(C t)^{n}} .
\end{array}
\]

Если эти выражения подставить в уравнения (6.132)-(6.134) п учесть, что частные производные функции $f(\xi)$ можно записать в стедующем виде:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial t} f(\xi)=\xi_{t} f^{\prime}(\xi)=-n \frac{r}{t} f^{\prime}(\xi), \\
\frac{\partial}{\partial r} f(\xi)=\xi_{r} f^{\prime}(\xi)=\frac{\xi}{r} f^{\prime}(\xi),
\end{array}
\]

то множители, зависящие от $r$ и $t$, сократятся и получатся обыкновенные дифференциальные уравнения по одной переменной $\xi$. Удобнее всего они записываются для $V, A=(\gamma P / \Omega)^{1 / 2}$ п $\Omega$; при этом скорость звука равна
\[
a=n \frac{r}{t} A(\xi) .
\]

Эти уравнения таковы:
\[
\begin{array}{l}
\left\{(V-1)^{2}-A^{2}\right\} \xi \frac{d V}{d \xi}= \\
=\left\{(j+1) V-\frac{2(1-n) \mid}{n \gamma}\right\} A^{2}-V(V-1)\left(V-\frac{1}{n}\right), \\
\left\{(V-1)^{2}-A^{2}\right\} \frac{\xi}{A} \frac{d A}{d \xi}= \\
=\left\{1-\frac{1-n}{\gamma n}(V-1)^{-1}\right\} A^{2}+\frac{\gamma-1}{2} V\left(V-\frac{1}{n}\right)- \\
\quad-\frac{\gamma-1}{2}(j+1) V(V-1)-(V-1)\left(V-\frac{1}{n}\right), \\
\left\{(V-1)^{2}-A^{2}\right\} \frac{\xi}{\Omega} \frac{d \Omega}{d \xi}= \\
=2\left\{(j+1) U-\frac{1-n}{n \gamma}\right\}(V-1)^{-1} A^{2}- \\
\quad-V\left(V-\frac{1}{n}\right)-(j+1) V(V-1) .
\end{array}
\]

Решение может иметь особенность там, где
\[
(V-1)^{2}-A^{2}=0 .
\]

Из вида уравнений следует, что эти особенности лежат на кривой $\xi=$ const. Исходные уравнения являлись гиперболическими, и, как мы знаем, особенности решения лежат на характеристиках
\[
\frac{d r}{d t}=u \pm a=\frac{n r}{t}(V \pm A) .
\]

На кривой $\xi=$ const мы имеем
\[
\frac{d r}{d t}=\frac{n r}{t} .
\]

Следовательно, на кривой $\xi=$ const, являющейся характеристикой, должно выполняться равенство $V \pm A=1$. Это согласуется с (6.147). Иначе говоря, особенность может возникнуть тишь на характеристике, проходящей через начало координат, I эта предельная характеристика принадлежит семейству $\xi=$ const.
Pıс. 6.7. ( $r, t$ )-диаграмма для сильного взрыва.
1 — характеристнкі, 2 — ударная волна, 3 — предельная характеристика.
В задаче о сильном взрыве $n=2 / 5$ и предельная характеристика не может оказаться за ударной волной. Она может быть расположена лишь в области перед ударной волной, как показано на рис. 6.7, но течение там является однородным с $V=A=0$ и особенности отсутствуют. Предельная характеристика представляет собой край складки в $(r, t)$-плоскости для многозначного решения, которое заменяется ударной волной.
Задача Гудерлея о сходящейся ударной волне
Предельная характеристика играет решающую роль в задаче о сходящейся сферической или цилиндрической волне, схлопывающейся к центру. В этом случае отсутствуют соображения размерности, цозволяющие установить автомодельность решения.

Однако Гудерлей [1] предложил искать решение задачи в виде (6.143) с некоторым показателем степени $n$, который следует определить. За нулевой момент времени $t$ выбирается момент, когда ударная волна достигает центра, так что в равенствах (6.143) $t \leqslant 0$ и $C<0$. В пользу автомодельного решения говорит то, что особенность в центре связана с ударной волной, которая
Pпс. 6.8. ( $r, t)$-днаграмма для сходящейся ударной волны.
1 — псходная ударная волна, 2 — предельная характеристика, 3 отраженная ударная волна.

входит по некоторой кривой в $(r, t)$-плоскости и отражается вдоль некоторой другой кривой. Это наводит на мысль, что решение связано с некоторым семейством кривых, входящих в начало координат, а самым простым является семейство вида $r /(-t)^{n}=$ $=\mathrm{const}$, которое и следует испробовать. Во всяком случае, решение этого типа существует! Уравнения тогда те же, что и выведенные выше уравнения (6.144)-(6.146) с некоторым $n$, которое следует определить. Сходящуюся ударную волну можно нормировать так, чтобы она находилась на кривой
\[
\xi=\frac{r}{(C t)^{n}}=1,
\]

поскольку параметр $C$ можно взять каким угодно.
В рассматриваемом случае геометрия характеристик на $(r, t)$ плоскости показывает (это ясно из схемы, приведенной на рис. 6.8), что предельная характеристика, проходящая через начало коор-

динат, находится в области течения. Поэтому вопрос об особенности на ней становится решающим. При интегрировании уравнений $(6.144)-(6.146)$ для $V(\xi), P(\xi), \Omega(\xi)$ с начальными значениями при $\xi=1$ мы выходим на кривую $(V-1)^{2}-A^{2}=0$. При этом у решения возникает особенность, если правые части равенств (6.144)-(6.146) не обращаются также в нуль. Заметим, что искомое решение не имеет особенности и что показатель степени $n$ еще не выбран. Гудерлей учел эти два обстоятельства и предложил выбрать $n$ так, чтобы правые части равенств (6.144)(6.146) обращались в нуль на кривой (6.147) и решение гладко продолжалось за предельную характеристику.

Численное интегрирование быто проведено с большой точностью Батлером [1], и найденные значения $n$ представлены в табл. 6.1. Давление в ударной волне и ее скорость имеют вид
\[
p \propto r^{\sim 2(1-n) / n}, \quad U \propto r^{-(1-n) / n},
\]

показатель степени ( $1-n) / n$ также приведен в таблице.

Любопытно, что показатель степени $(1-n) / n$ для $j=2$ приблизительно вдвое превосходит свое значение для $j=1$. Хотелось бы привести доказательство справедливости точного соотношения. Приближенная теория, которая будет изложена ниже (см. гл. 8), дает этот результат автоматически, но тем не менее результат в точном виде кажется неверным.

Гудерлей шоказал также, что отраженная ударная волна может быть описана тем же автомодельным решением. Наиболее интересно возрастание ее интенсивности при отражении. В этой пдеализированной модели и исходная, и отраженная волны имеют в центре бесконечную интенсивность и скорость, но отношение интенсивностей остается конечным. Гудерлей показал, что при $\gamma=7 / 5$ отнопение давления за отраженной ударной волной к давлению за исходной ударной волной составляет примерно 26 для сферических волн ( $j=2$ ) и примерно 17 для цилиндрических волн $(j=1$ ). Для плоских волн это отношение равно 8 (см. § 6.14).

Бесконечные значения в центре можно устранить учетом, скажем, эффектов вязкости, но более важный вопрос связан с устой-

чивостью. Ниже будет показано, что приближенная теория предсказывает, что малые несимметричные отклонения формы ударной волны будут расти и ударная волна не будет сходиться точно в центр. Однако неустойчивость влияет на поведение только в малой окрестности центра, и, по-видимому, решение Гудерлея применимо для большей части течения.
Другие автомодельные решения
На основе анализа размерностей можно утверждать, что течение, создаваемое равномерно расширяющейся сферой, должно описываться автомодельным решением с $u, p, \rho$, зависящими только от $r / C t$, где $C$ — скорость сферы. Уравнения имеют вид (6.143) — (6.146) с $n=1$, и в этом случае автомодельность решения не связана с сильными ударными волнами. Эта задача была поставлена и решена Тейлором [3].

В некоторых отношения задачи о плоских волнах, распространяющихся в неоднородной среде с плотностью $\rho_{0}(x)$, аналогичны задачам о сферических или цилиндрических волнах. Оказывается, что они имеют соответствующие автомодельные решения. Сакураи [1] рассмотрел случаи, для которых $\rho_{0}(x) \propto x^{m}$, и обнаружил, что их можно исследовать так же, как задачу о сходящейся ударной волне. В частности, показатель степени в автомодельной переменной был выбран так, чтобы устранить возможную особенность на предельной характеристике, проходящей через точку $x=0$ (см. § 8.2).

Другие случаи, включая экспоненциальную стратификацию плотности, были изучены Седовым [1, гл. 4], Зельдовичем и Райзером [1] и Хейзом [1].