Существуют две полезные формы характеристических уравнений в зависимости от того, сохраняется симметрия между переменными $t$ и $x$ или нет. Если стремиться к симметрии, то удобнее работать с фазой $\theta$, а не с $\omega$ и $k$. Тогда уравнение (15.2) переходит в следующее:
\[
\mathscr{L}_{\omega \omega} \theta_{t t}-2 \mathscr{L}_{\omega k} \theta_{t x}+\mathscr{L}_{k k} \theta_{x x}-\mathscr{L}_{\omega A} A_{t}+\mathscr{L}_{k A} A_{x}=0 .
\]

Производные $A_{t}, A_{x}$ можно исключить в пользу $\theta$ при помощи уравнения (15.1), поскольку после дифференцирования по $t$ и $x$ : это уравнение дает
\[
\begin{array}{l}
-\mathscr{L}_{\omega A} \theta_{t t}+\mathscr{L}_{k A} \theta_{t x}+\mathscr{L}_{A A} A_{t}=0, \\
-\mathscr{L}_{\omega A} \theta_{t x}+\mathscr{L}_{k A} \theta_{x x}+\mathscr{L}_{A A} A_{x}=0 .
\end{array}
\]

Тогда уравнение второго порядка для $\theta$ принимает вид
\[
p \theta_{t t}-2 r \theta_{t x}+q \theta_{x x}=0,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
p=\mathscr{L}_{\omega \omega} \mathscr{L}_{A A}-\mathscr{L}_{\omega A}^{2}, \\
q=\mathscr{L}_{k k} \mathscr{L}_{A A}-\mathscr{L}_{k A}^{2}, \\
r=\mathscr{L}_{\omega k} \mathscr{L}_{A A}-\mathscr{L}_{\omega_{A}} \mathscr{L}_{k A} .
\end{array}
\]

Из уравнения (15.1) можно найти $A$ как функцию от $\theta_{t}$ и $\theta_{x}$, и тогда (15.6) можно рассматривать как квазилинейное уравнение второго порядка для $\theta$. Его характеристики определяются уравнением
\[
\frac{d x}{d t}=\frac{-r \pm \sqrt{r^{2}-p q}}{p} .
\]

В линейном случае
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L} & =P\left(\omega_{x} k\right) A, \\
p & =-P_{\omega}^{2}, \quad q=-P_{k}^{2}, \quad r=-P_{\omega} P_{k},
\end{aligned}
\]

и имеем двойную характеристическую скорость
\[
\frac{d x}{d t}=-\frac{P_{k}}{P_{\omega}},
\]

в точности совпадающую с линейной групповой скоростью. Почти линейные результаты можно получить аналогичным образом.

Если отказаться от симметрии между $x$ и $t$, то одна из полезных возможностей – выбрать в качестве зависимых переменных $k$ и $I=\mathscr{L}_{\omega}$ и считать, что соотношения
\[
I=\mathscr{L}_{\omega \boldsymbol{y}} \quad \boldsymbol{J}=-\mathscr{L}_{k y} \quad \mathscr{L}_{A}=0
\]

разрешены относительно функций
\[
\omega(k, I), \quad J(k, I), \quad A(k, I) .
\]

Тогда $\mathscr{L}$ можно также представить как

Имеем
\[
\mathscr{M}(k, I)=\mathscr{L}\{\omega(k, I), k, A(k, I)\} .
\]
\[
\mathscr{N}_{k}=\omega_{k} I-J, \quad \mathscr{H}_{I}=\omega_{I} I ;
\]

отсюда, в силу $\mathscr{H}_{k I}=\mathscr{H}_{I k}$, получаем
\[
\omega_{k}=J_{I} .
\]

Система уравнений (15.1) – (15.3) сводится к следующей:
\[
\begin{array}{c}
k_{t}+\omega_{k} k_{x}+\omega_{I} I_{x}=0, \\
I_{t}+\omega_{k} I_{x}+J_{k} k_{x}=0 .
\end{array}
\]

Характеристические уравнения дают, что
\[
\sqrt{J_{k}} d k \pm \sqrt{\omega_{I}} d I=0
\]

на кривой
\[
\frac{d x}{d t}=\omega_{k} \pm \sqrt{\omega_{I} J_{k}} .
\]

Такой выбор переменных сохраняет гораздо более тесную связь с предыдущими обсуждениями линейного и почти линейного случаев.

В линейном случае $\mathscr{L}=P(\omega, k) A$ п дисперсионное соотпошение $P(\omega, k)=0$ дает
\[
\omega=\omega_{0}(k)
\]

поэтому
\[
J=-P_{k} A=-\frac{P_{k} I}{P_{\omega}}=\omega_{0}^{\prime}(k) I .
\]

Поскольку $\omega_{I}=0$, обе характеристические скорости (15.11) сводятся к $\omega_{0}^{\prime}(k)$. Система, как отмечалось выше, не строго гиперболическая, поскольку имеется только одна дифференциальная форма $d k=0$, соответствующая соотношению (15.10). Однако посте того, как $k(x, t)$ найдено, переменная $I$ находится интегрированием уравнения
\[
I_{t}+\omega_{0}^{\prime}(k) I_{k}+\omega_{0}^{\prime \prime}(k) I k_{x}=0
\]

вдоль тех же самых характеристик.
В почти линейном случае с лагранжианом $\mathscr{L}$, заданным равенством (15.4), имеем
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L}_{A} & =P(\omega, k)+2 P_{2}(\omega, k) A+\ldots=0, \\
I & =\mathscr{L}_{\omega}=P_{\omega}(\omega, k) A+\ldots, \quad J=-\mathscr{L}_{k}=-P_{k}(\omega, k) A+\ldots
\end{aligned}
\]

Из этих уравнений можно шолучить
\[
\begin{aligned}
\omega & =\omega_{0}(k)+\tilde{\omega}_{2}(k) I+\ldots, \\
J & =\omega_{0}^{\prime}(k) I+\ldots . .
\end{aligned}
\]

Характеристические скорости (15.11) имеют вид
\[
\frac{d x}{d t}=\omega_{0}^{\prime}(k) \pm \sqrt{\omega_{0}^{\prime \prime}(k) \widetilde{\omega}_{2}(k) I}+\ldots .
\]

Это согласуется с (15.5), поскольку, если $I=g(k) a^{2}$, то
\[
\omega=\omega_{0}(k)+\omega_{2}(k) a^{2}+\ldots,
\]

где
\[
\omega_{2}(k)=g(k) \widetilde{\omega}_{2}(k)
\]

и (15.13) переходит в (15.5).
Хейз [2] отмечает, что если одновременно с $k$ и $I$ ввести частичное преобразование Гамильтона
\[
\mathscr{H} B(k, I)=\omega \mathscr{L}_{\omega}-\mathscr{L}=\omega I-\mathscr{L},
\]

то получим
\[
J=\mathscr{H}_{k}, \quad \omega=\mathscr{H}_{I} .
\]

Это можно увидеть также из соотношений (15.7), положив $\mathscr{M}=$ $=\omega I-\mathscr{H}$. Уравнения принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x} \mathscr{H} \mathcal{B}_{I}=0, \\
\frac{\partial I}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x} \mathscr{H} B_{k}=0 .
\end{array}
\]

Характеристическими уравнениями являются
\[
\begin{array}{l}
\sqrt{\mathscr{A} \mathcal{B}_{k k}} d k \pm \sqrt{\mathscr{\mathscr { H }} \mathcal{B}_{I I}} d I=0, \\
\frac{d x}{d t}=\mathscr{H} \mathcal{B}_{I k} \pm \sqrt{\mathscr{\mathscr { H }} \mathcal{B}_{k k} \mathscr{H} \mathcal{H}_{I I}} .
\end{array}
\]

В частных случаях для получения наиболее простых выражений иногда полезно выбирать другие переменные. Например, для уравнения Клейна – Гордона, согласно (14.26), имеем
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L} & =\left(\omega^{2}-k^{2}\right)^{1 / 2} F(A)-A, \\
F(A) & =\frac{1}{2 \pi} \oint\{2(A-V(\Psi))\}^{1 / 2} d \Psi
\end{aligned}
\]

и оказывается, что наиболее удобными переменными являются фазовая скорость $U=\omega / k$ и $A$. Согласно дисперсионному соотношению $\mathscr{L}_{A}=0$,
\[
k=\frac{1}{\left(U^{2}-1\right)^{1 / 2} F^{\prime}(A)}, \quad \omega=\frac{U}{\left(U^{2}-1\right)^{1 / 2} F^{\prime}(A)},
\]

и уравнения (15.2) и (15.3) переходят в следующие:
\[
\begin{array}{r}
\frac{\partial}{\partial t}\left\{\frac{U F}{\left(U^{2}-1\right)^{1 / 2}}\right\}+\frac{\partial}{\partial x}\left\{\frac{F}{\left(U^{2}-1\right)^{1 / 2}}\right\}=0, \\
\frac{\partial}{\partial t}\left\{\frac{1}{\left(U^{2}-1\right)^{1 / 2} F^{\prime}}\right\}+\frac{\partial}{\partial x}\left\{\frac{U}{\left(U^{2}-1\right)^{1 / 2} F^{\prime}}\right\}=0 .
\end{array}
\]

Характеристические уравнения записываются так:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d U}{U^{2}-1} \mp\left(-\frac{F^{\prime \prime}}{F}\right)^{1 / 2} d A=0, \\
\frac{d x}{d t}=\frac{1 \pm U\left(-F F^{\prime \prime} / F^{\prime 2}\right)^{1 / 2}}{U \pm\left(-F F^{\prime \prime} / F^{\prime 2}\right)^{1 / 2}} .
\end{array}
\]

Случай нескольких зависимых переменных
Когда имеется несколько зависимых переменных и несколько уравнений, как в (14.70) – (14.73), число характеристик увеличивается в соответствии с порядком системы. Дополнительные характеристики связаны с нелинейным взаимодействием волнового пакета с изменениями средних значений фоновых переменных и не имеют ничего общего с линейной трупповой скоростью. Формулы для тех двух скоростей (ассоциированных прежде всего с распространением $k$ и $A$ ), которые соответствуют линейной групповой скорости, значительно изменяются. В частности, в этих случаях тип уравнений может измениться, если какая-либо дополнительная зависимость осталась незамеченной и были использованы приведенные выше упрощенные формулы. Общие формулы для характеристик выводить не будем, поскольку наиболее целесообразный выбор переменных существенно зависят от конкретной задачи. Типичными примерами служат рассматриваемые ниже уравнения Кортевега – де Фриза и волны Стокса на воде конечной глубины.