Построение метода нахождения точных решений уравнения Кортевега — де Фриза во многом стимулировалось существованием бесконечного числа уравнений сохранения. Одним из путей получения этих уравнений является преобразование Миуры, имеющее и самостоятельный интерес. Результат подстановки выражения
\[
u=-\frac{\sigma \eta}{6}=v^{2}+v_{x}
\]

в уравнение Кортевега-де Фриза можно записать так:
\[
\left(2 v+\frac{\partial}{\partial x}\right)\left(v_{t}-6 v^{2} v_{x}+v_{x x x}\right)=0 .
\]

Следовательно, можно изучать также уравнение
\[
v_{t}-6 v^{2} v_{x}+v_{x x x}=0,
\]

связав его с уравнением Кортевега — де Фриза.
Модификация этого преобразования порождает бесконечное число законов сохранения. Подстановка
\[
\sigma \eta=w+i \varepsilon w_{x}+\frac{1}{6} \varepsilon^{2} w^{2}
\]

дает
\[
\left(1+i \varepsilon \frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{3} \varepsilon^{2} w^{2}\right)\left\{w_{t}+\left(w+\frac{1}{6} \varepsilon^{2} w^{2}\right) w_{x}+w_{x x x}\right\}=0 .
\]

Пусть функция $w$ удовлетворяет уравнению
\[
w_{t}+\left(w+\frac{1}{6} \varepsilon^{2} w^{2}\right) w_{x}+w_{x x x}=0 .
\]

Тогда имеем следующее простое уравнение сохранения для $w$ :
\[
w_{t}+\left(\frac{1}{2} w^{2}+\frac{1}{18} \varepsilon^{2} w^{3}+w_{x x}\right)_{x}=0
\]

Если теперь записать решение уравнения (17.59) относительно $w$ в виде формального ряда по стешеням $\varepsilon$ :
\[
w=\sum_{0}^{\infty} \varepsilon^{n} w_{n}\{\xi\}, \quad \zeta=\sigma \eta,
\]

то для $w_{n}$ получаются рекуррентные формулы, в которые входят функция $\zeta$ и ее производные по $x$. Подставим это разложение в уравнение (17.60); тогда каждый коэффициент при $\varepsilon^{n}(n=1,2, \ldots$ ) даст закон сохранения. Приведем несколько первых сохраняющихся плотностей:
\[
\begin{array}{c}
\zeta, \quad \frac{1}{2} \zeta^{2}, \quad \frac{1}{3} \zeta^{3}-\zeta_{x}^{2}, \quad \frac{1}{4} \zeta^{4}-3 \zeta_{x x}^{2}+\frac{9}{5} \zeta_{x x}^{2}, \\
\frac{1}{5} \zeta^{5}-6 \zeta^{2} \zeta_{x}^{2}+\frac{36}{5} \zeta \zeta_{x x}^{2}-\frac{108}{35} \zeta_{x x x}^{2} .
\end{array}
\]

Существование бесконечного числа сохраняющихся величин
\[
\int_{-\infty}^{\infty} w_{n}(\zeta) d x
\]

определенно способствует уверенности в том, что решения можно найти в явном виде.