Уравнения движения сжимаемой жидкости выводятся из законов сохранения массы, количества движения (импульса) и энергии в любом выделенном объеме жидкости. В каждом из этих законов вводятся своп собственные переменные, описывающие баланс. Для описания потока массы требуются две величины: плотность $\rho(\mathbf{x}, t)$ и вектор скорости $\mathbf{u}(\mathbf{x}, t)$ в точке $\mathbf{x}$ в момент времени $t$. В закон сохранения количества движения входят дополнительные величины, описывающие действующие на жидкость силы. Это может быть массовая сила, обычно сила тяжести, действующая на всю жидкость по всему объему. Такая сила, отнесенная к единице массы, обозначается вектором $\mathbf{F}(\mathbf{x}, t)$; соответствующая сила тяжести равна ускорению свободного падения $g$, умноженному на единичный вектор, направленный по вертикали.

На жидкость действуют также напряжения, приложенные на границе выбранного ее объема. Напряжение, действующее на какой-либо малый элемент граничной поверхности, считается пропорциональным площади этого элемента. В общем случае оно зависит также от ориентации элемента поверхности. Следовательно, сила, действующая на единичную поверхность, будет функцией от точки приложения $\mathbf{x}$, времени $t$ и единичного вектора $\mathbf{l}$, нор-

мального к данному элементу поверхности. Стандартные рассуждения, которые мы уточним ниже, показывают, что $i$-ю компоненту $p_{i}$ напряжения можно записать в виде
\[
p_{i}=p_{j i} l_{j} \text { (суммирование по } j \text { ), }
\]

где величины $p_{j i}(\mathbf{x}, t)$ зависят только от точки $\mathbf{x}$ п времени $t$. Поскольку $p_{i}$ и $l_{i}$ — векторы, компоненты $p_{t i}$ образуют тензор, называемый тензором напряжений в точке $(\mathbf{x}, t)$. Величина $p_{j i}$ представляет собой $i$-ю компоненту силы, действующей на единичный элемент поверхности, нормальный к $j$-му направлению.

В законе сохранения энергии вводятся дальнейшие переменные. Жидкость обладает внутренней энергией, связанной с тепловым движением молекул. В теории сплошной среды эта энергия, отнесенная к единице массы, обозначается через $e(\mathbf{x}, t)$. Существует также тепловой поток через границу, и его величина, отнесенная к единице площади поверхности, обозначается вектором $\mathbf{q}(\mathbf{x}, t)$.

Теперь мы в состоянии выписать законы сохранения, хотя они не образуют полную систему, поскольку в них неизвестных больше, чем уравнений. Рассмотрим произвольный фиксированный объем $V$ области, занятой жидкостью, и выведем полные уравнения баланса дія этого объема, учитывая перенос жидкости через граничную поверхность $S$. Согласно закону сохранения массы, скорость изменения полной массы в объеме $V$, равной
\[
\int_{V} \rho d V
\]

уравновешивается потоком через $S$. Если 1 — вектор внешней нормали к $S$, то нормальная компонента скорости через $S$ равна $l_{j} u_{j} ;$ поэтому
\[
\frac{d}{d t} \int_{V} \rho d V+\int_{S} \rho l_{j} u_{j} d S=0 .
\]

Аналогичным образом уравнение полного баланса для $i$-й компоненты количества движения имеет вид
\[
\frac{d}{d t} \int_{V} \rho u_{i} d V+\int_{S}\left(\rho u_{i} l_{j} u_{j}-p_{i}\right) d S=\int_{V} \rho F_{i} d V .
\]

Первый член левой части описывает скорость изменения количества движения жидкости в объеме $V$, второй — перенос количества движения через граничную поверхность, третий — скорость изменения количества движения за счет действующих на поверхности $S$ напряжений $p_{i}$, а выражение в правой части — количество движения, порожденное силами, действующими в объеме $V$.

Плотность полной энергии (полная энергия, приходящаяся на единицу объема) состоит из суммы кинетической энергии $1 / 2 \rho u_{i}^{2}$

макроскопического движения и внутренней энергии $\rho е$ молекулярного движения. Уравнение баланса энергии имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \int_{V}\left(\frac{1}{2} \rho u_{i}^{2}+\rho e\right) d V+ \\
+\int_{S}\left\{\left(\frac{1}{2} \rho u_{i}^{2}+\rho e\right) l_{j} u_{j}-p_{i} u_{i}+l_{j} q_{j}\right\} d S= \\
\quad=\int_{V} \rho F_{i} u_{i} d V .
\end{array}
\]

В интеграле по поверхности первый член снова соответствует вкладу переноса жидкости через границу, второй — работе, совершаемой напряжениями $p_{i}$ на границе, а третий — потере или приросту тепла за счет теплового потока через границу. Выражение в правой части соответствует работе массовых сил.

Если параметры течения могут иметь разрывы, то необходимо использовать эти уравнения в интегральной форме. Для одномерных задач интегралы по объему переходят в интегралы по $x$, скажем от $x_{2}$ до $x_{1}$, а интегралы по поверхности сводятся к разности подынтегральных выражений в точках $x_{2}$ и $x_{1}$, так что уравнения принимают вид (5.54), указанный выше при рассмотрении ударных волн. Однако в большей части занимаемой жидкостью области эти параметры будут непрерывно дифференцируемыми, так тто можно перейти к пределу, когда объем $V$ стягивается к точке, и получить соответствующие дифференциальные уравнения. В уравнениях (6.2) — (6.4) дифференцирование по времени можно провести под знаком интеграла по объему, поскольку $V$ не зависит от $t$, а интегралы по поверхности можно преобразовать в интегралы по объему при помощи теоремы о дивергенции:
\[
\int_{S} l_{j} v_{j} d S=\int_{V} \frac{\partial v_{j}}{\partial x_{j}} d V,
\]

где $v_{j}$ — произвольный непрерывно дифференцируемый вектор, a $V$ — достаточно гладкая область. Таким образом, уравнение (6.2) можно переписать в виде
\[
\int_{V}\left\{\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\rho u_{j}\right)\right\} d V=0 .
\]

Поскольку подынтегральное выражение непрерывно и уравнение (6.6) выполняется для сколь угодно малого объема $V$, мы приходим к выводу, что
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\rho u_{j}\right)=0 .
\]

(Если бы это выражение было отличным от нуля в какой-либо точке, то, в силу непрерывности, оно сохраняло бы знак в некотором малом объеме $V$ и равенство (6.6) не выполнялось бы.) При подстановке выражения (6.1) в уравнения (6.3) и (6.4) последние аналогичным образом приводятся к следующему виду:
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho u_{i}\right)+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\rho u_{i} u_{j}-p_{j i}\right)=\rho F_{i}
\]
n
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{2} \rho u_{i}^{2}+\rho e\right)+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left\{\left(\frac{1}{2} \rho u_{i}^{2}+\rho e\right) u_{j}-p_{j i} u_{i}+q_{j}\right\}=\rho F_{i} u_{i} .
\]

При выводе формулы (6.1) обычно пользуются рассуждениями, которые по существу являются первым приближением $\kappa$ (6.3). Если наибольшее расстояние между точками, принадлежащими объему $V$, равно $d$, то величина объема $V$ представляет собой $O\left(d^{3}\right)$. Тогда, в силу теоремы о среднем, интеграл по этому объему от любой непрерывной функции равен $O\left(d^{3}\right)$. Первый интеграл по поверхности в уравнении (6.3) равен соответствующему интегралу по объему, согласно теореме о дивергенции (6.5) и, следовательно, также является $O\left(d^{3}\right)$. Таким образом, из уравнения (6.3) следует, что
\[
\int_{S} p_{i} d S=O\left(d^{3}\right)
\]

для всех $S$. Соотношение (6.1), очевидно, является достаточным, поскольку можно использовать теорему о дивергендип. Для доказательства необходимости условия (6.1) определим сначала величины $p_{j i}$ при $j=1,2,3$ как значения $p_{i}$ для элемента поверхности перпендикулярного к осям $x_{1}, x_{2}$ и $x_{3}$ соответственно. Применим соотношение (6.10) к частному случаю малого тетраэдра, три грани которого перпендикулярны трем осям координат. Если четвертая грань имеет единичную нормаль 1 и площадь $\Delta S$, то площади остальных трех граней равны проекциям $l_{1} \Delta S, l_{2} \Delta S$ и $l_{3} \Delta S$. Тогда из (6.10) следует, что
\[
p_{i}(\mathbf{l}) \Delta S=p_{1 i} l_{1} \Delta S+p_{2 i} l_{2} \Delta S+p_{3 i} l_{3} \Delta S+O\left(d^{3}\right),
\]

где $p_{i}$ (l) и $p_{j i}$ взяты в некоторых определяемых теоремой о среднем точках, лежащих на соответствующих гранях. В пределе $d \rightarrow 0$ имеем
\[
p_{i}(\mathbf{l})=p_{1 i} l_{1}+p_{2 i} l_{2}+p_{3 i} l_{3},
\]

что согласуется с равенством (6.1). Это довольно неэлегантное доказательство, но, по-видимому, его нельзя существенно улучшить.

В связи с уравнениями сохранения естественно спросить, что новое вносит закон сохранения момента количества движения (кинетического момента). Например, мы имели бы для $x_{3}$-компоненты кинетического момента
\[
\begin{array}{r}
\frac{\partial}{\partial t}\left(x_{1} \rho u_{2}-x_{2} \rho u_{1}\right)+\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left\{\left(x_{1} \rho u_{2}-x_{2} \rho u_{1}\right) u_{j}-\left(x_{1} p_{j 2}-x_{2} p_{j 1}\right)\right\}= \\
=x_{1} \rho F_{2}-x_{2} \rho F_{1}
\end{array}
\]

и аналогичные выражения для других компонент. Если теперь в (6.11) подставить (6.8), то бо́льпая часть членов взаимно уничтожится и останется равенство
\[
p_{12}=p_{21} .
\]

Таким образом, закон сохранения кинетического момента приводит к симметрии тензора напряжений
\[
p_{j i}=p_{i j}
\]

Это ценная информация, однако она является второстепенной по сравнению с остальными уравнениями.

Уравнения (6.7) — (6.9) дают пять соотношений для четырнадцати величин $\rho, u_{i}, p_{j i}, q_{i}, e$. Для того чтобы система стала полной, на эти переменные накладываются различные дополнительные соотношения.