Обычно, применяя теорию возмущений, подставляют подходящее разложение по степеням $\varepsilon$ непосредственно в дифференциальные уравнения рассматриваемой задачи, вводят цепочку уравнений для последовательных порядков, а затем предпринимают меры по обеспечению равномерности аппроксимации. Именно так Льюк [1] впервые обосновал результаты вариационного подхода. Раз-

ложение (14.39) подставляется в уравнение для $\varphi$, приводя к уравнениям, которые можно схематически записать в виде
\[
\begin{aligned}
E_{0}\left\{\Phi^{(0)}\right\} & =0, \\
E_{1}\left\{\Phi^{(1)}, \Phi^{(0)}\right\} & =F_{1}\left\{\Phi^{(0)}\right\} \quad \text { и т. д. }
\end{aligned}
\]

Нулевое уравнение для $\Phi^{(0)}$ эквивалентно уравнению (14.49). Оно решается относительно $\Phi^{(0)}$, находится дисперсионное соотношение, связывающее $v, k$ и $A$, но их зависимость от $X$ п $T$ на этом уровне не определена. Уравнение для $\Phi^{(1)}$ содержит только производные по $\theta$ от $\Phi^{(1)}$ и фактически является обыкновенным дифференциальным уравнением. Его решение включает неограниченные члены, пропорциональные $\theta$, если на $F_{1}\left\{\Phi^{(0)}\right\}$ не наложены определенные условия. Эти «вековые» члены должны быть устранены для обеспечения равномерности аппроксимации при больших $\theta$.

Соответствующее условие, наложенное на $F_{1}\left\{\Phi^{00}\right\}$, приводит к дополнительному уравнению для $v, k, A$, которое полностью. определяет решение низшего порядка. В следующих уравнения х для $\Phi^{(n)}$ появляются новые параметры и должны быть наложень новые «вековые» условия.

Априорное условие периодичности Ф эквивалентно устранению вековых членов. Поэтому последовательные приближения условия периодичности (14.43) будут проявляться как вековые устовия в более традиционной схеме. Мы видим, что, даже следуя традиционной схеме, выгодно исходить из уравнений (14.42) и (14.43). Но, поскольку уравнения (14.42) п (14.43) эквивалентны вариационному принципу (14.44), еще тучще подставить разложение непосредственно в (14.44) и использовать вариационный принцип для получения как уравнений для $\Phi^{(n)}$, так и для вековых условий. Таким образом, вариационный подход не следует рассматривать как независимый метод. Он включает обычную теорию возмущений, выделяя основные моменты и позволяя формулировать результаты в более общем виде.

Вариационный подход имеет и другие преимущества. Вариационный принцип (14.44) установлен независимо от какой-либо конкретной формы зависимости от $\varepsilon$. Более того, функция $\Theta$ также может зависеть от $\varepsilon$; мы считали, что она не зависит от $\varepsilon$, только ради простоты исходного изложения. Можно использовать разложения по степеням $\varepsilon$ для $Ф$, или для $\Theta$, или для обеих этих функций, но мы вправе выбрать и разложения другого вида. Например, в почти линейном случае можно использовать разложения по степеням амплитуды, или, что то же самое, ряд Фурье для Ф. Это и будет сделано при рассмотрении приближений высшего порядка в $\S 15.5$.