Если нелинейный член в дисперсионном соотношении (16.21) положителен $\left(n_{2}(\omega)>0\right)$, то фазовая скорость $c=\omega / k=c_{0} / n$ возрастает при убывании амплитуды по мере удаления от оси пучка. Интуитивно это указывает на стремление пучка сфокусироваться. Конечно, это весьма примитивный довод, и мы теперь рассмотрим подобные вопросы более детально.

Для пространственных модуляций мы предположим, что локально волну можно описать как периодический волновой пакет, распространяющийся в направлении волнового вектора $\mathbf{k}$. Это определяет усредненный лагранжиан, и в простейших случаях, когда отсутствуют псевдочастоты, он принимает вид $\mathscr{L}(\omega, \mathbf{k}, a)$, где $\omega$ – частота, а $a$ – амплитуда электрического поля. В почти линейном случае $\mathscr{L}(\omega, \mathbf{k}, a)$ дается равенством (16.22) $\mathbf{c} k=|\mathbf{k}|$.

Для решений, в которых $\omega, \mathbf{k}, a$ не зависят от $t$, имеем $\omega=$ = const, и уравнения модуляций, полученные из усредненного вариационного принципа, имеют следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\mathscr{L}_{a} & =0, \\
\frac{\partial}{\partial x_{i}} \mathscr{L}_{k_{i}} & =0, \quad \frac{\partial k_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial k_{j}}{\partial x_{i}}=0 .
\end{aligned}
\]

Если среда изотропна, так что $\mathscr{L}$ зависит только от модуля $k$ вектора $\mathbf{k}$, то уравнения (16.29) сводятся к таким:
\[
\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(k_{i} \rho\right)=0, \quad \frac{\partial k_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial k_{j}}{\partial x_{i}}=0,
\]

где
\[
\rho=-k^{-1} \mathscr{L}_{k} .
\]

Дисперсионное соотношение (16.28) устанавливает связь между $a$ и $k$; отсюда в принципе $\rho$ можно выразить как функцию от $k$ (хотя на шрактике не всегда удобно действительно исключать $a$ ).

Интересно, что уравнения (16.30) совпадают с уравнениями сжимаемого безвихревого течения жидкости, в которых волновой вектор $\mathbf{k}$ занял место вектора скорости, а $\rho$ – место плотности. Соотношение между $\rho$ и $k$, заданное равенством (16.31), соответствует уравнению Бернулли, связывающему плотность и скорость в задаче о течении жидкости. В этой аналогии световой пучок соответствует струе жидкости. Но при выводе качественных результатов непосредственно из задачи о течении жидкости необходима осторожность, поскольку в оптике $\rho$ обычно является возрастающей функцией от $k$, тогда как в жидкости плотность и скорость меняются противоположным образом. В то же время можно с успехом использовать известные методы нахождения решений.

Тип уравнений (16.30)-(16.31) определяет их математическую структуру. Это не связано с вопросом об әллиптичности исходных зависящих от времени уравнений. Более того, эллиптичность стационарных уравнений не указывает на неустойчивость; их тип влияет только на свойства решения и вид граничных условий.

Для плоских или осесимметричных пучков направим $x$ вдоль оси пучка и $r$ в поперечном или радиальном направлении. Волновой вектор будет соответственно иметь компоненты ( $\left.k_{1}, k_{2}\right)$, и уравнения (16.30) – (16.31) запипутся в виде
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial k_{2}}{\partial x}-\frac{\partial k_{1}}{\partial r} & =0, \\
\frac{\partial}{\partial x}\left(\rho k_{1}\right)+\frac{\partial}{\partial r}\left(\rho k_{2}\right)+\frac{m \rho k_{2}}{r} & =0, \\
\rho & =\rho(k),
\end{aligned}
\]

где $m=0$ для плоского пучка и $m=1$ для осесимметричного пучка.
Тип уравнений
Характеристики легче всего найти, временно восстановив фазу $\theta$. Произведем замену
\[
k_{1}=\theta_{x}, k_{2}=\theta_{r}
\]

п запишем (16.33) как уравнение второго порядка:
\[
\left(1+\frac{k_{1}^{2}}{k} \frac{\rho^{\prime}}{\rho}\right) \theta_{x x}+\frac{2 k_{1} k_{2}}{k} \frac{\rho^{\prime}}{\rho} \theta_{x r}+\left(1+\frac{k_{2}^{2}}{k} \frac{\rho^{\prime}}{\rho}\right) \theta_{r r}+\frac{m}{r} \theta_{r}=0 .
\]

Тогда характеристики в $(x, r)$-плоскости должны удовлетворять уравнению
\[
\left(1+\frac{k_{1}^{2}}{k} \frac{\rho^{\prime}}{\rho}\right) d r^{2}-\frac{2 k_{1} k_{2}}{k} \frac{\rho^{\prime}}{\rho} d r d x+\left(1+\frac{k_{2}^{2}}{k} \frac{\rho^{\prime}}{\rho}\right) d x^{2}=0 .
\]

Характеристики будут мнимыми, а уравнение эллиптическим, если
\[
1+k \frac{\rho^{\prime}}{\rho}>0
\]

в противном случае характеристики вещественны и уравнение гиперболическое.

Для почти линейной теории, описываемой лагранжианом (16.22), имеем
\[
\rho=-k^{-1} \mathscr{L}_{k}=\frac{\varepsilon_{0} c_{0}^{2}}{2 \omega^{2}} a^{2},
\]

и, следовательно,
\[
\frac{c_{0} k}{\omega}=n_{0}(\omega)+\frac{1}{2} n_{2}(\omega) a^{2}=n_{0}(\omega)+\frac{\omega^{2} n_{2}(\omega)}{\varepsilon_{0} c_{0}^{2}} \rho .
\]

Если $n_{2}(\omega)>0$, то $\rho^{\prime}(k)>0$ и стационарные уравнения эллиптические. Мы рассмотрим только этот случай. Заметим, что, в силу (16.26), исходные зависящие от времени уравнения будут гиперболическими, если, кроме того, выполняется условие $k_{0}^{\prime \prime}(\omega)>0$.
Фокусировка
«Линии тока», определяемые векторным полем $\mathbf{k}$, являются ортогональными траекториями семейства фазовых поверхностей $\theta=$ const. В изотропной среде групповая скорость имеет то же направление, что и $\mathbf{k}$, и линии тока являются лучами. Можно представить себе, что фазовые поверхности движутся вдоль этих лучей и фокусировка связана с тем, что лучи сходятся. При анализе удобно преобразовать уравнения (16.32) – (16.34) и ввести координаты $(\xi, \eta$ ), связанные с этими лучами и фазовыми поверхностями. Если ввести
\[
\begin{aligned}
k_{1} & =\xi_{x}, \quad k_{2} & =\xi_{r}, \quad \theta=\xi\left(x_{0} r\right)-\omega t, \\
\rho k_{1} r^{m} & =\eta_{r}, \quad \rho k_{2} r^{m} & =-\eta_{x},
\end{aligned}
\]

то уравнения (16.32) – (16.33) будут удовлетворяться тождественно; последовательные положения фазовой поверхности даются равенством $\xi=$ const, а линий тока – равенством $\eta=$ const. Соотношения (16.37) можно обратить:
\[
\begin{array}{ll}
x_{\xi}=\frac{\cos \chi}{k}, & x_{\eta}=-\frac{\sin \chi}{\rho k r^{m}}, \\
r_{\xi}=\frac{\sin \chi}{k}, & r_{\eta}=\frac{\cos \chi}{\rho k r^{m}},
\end{array}
\]

где $\chi$ – угол между вектором $\mathbf{k}$ и осью $x$. Таким образом, уравнения совместности можно записать в виде
\[
\frac{\partial \chi}{\partial \xi}=\frac{\rho r^{m}}{k} \frac{\partial k}{\partial \eta}, \quad \frac{\partial \chi}{\partial \eta}=k \frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{1}{\rho k r^{m}}\right) .
\]

Если $\rho$ убывает при удалении от оси, то, в силу (16.36) и предположения $n_{2}>0$, это же имеет место и для $k$. Следовательно, из первого уравнения (16.38) следует, что $\partial \chi / \partial \xi<0$; это указывает на то, что лучи загибаются к оси и пучок фокусируется. Соответственно если $n_{2}<0$, то происходит дефокусировка.
Узкие пучки
Некоторые интересные решения приведенных выше уравнений были построены Ахмановым, Сухоруковым и Хохловым [1] при предположении, что пучок узок. Предпотагалось, что нелинейные эффекты дают малую поправку к линейной плоской волне с постоянным волновым числом $K$ и что производные по $r$ имеют больший порлдок, чем производные по $x$, вследствие того, что пучок узок. Пусть
\[
\theta=-\omega t+K x+K s(x, r),
\]

где производные $s_{x}$ и $s_{r}$ обе малы, но $s_{x}$ и $s_{r}^{2}$ имеют одинаковый порядок. (Этого можно добиться формально, положив
\[
\theta=-\omega t+K x+K \varepsilon^{2} s\left(x, \frac{r}{\varepsilon}\right),
\]

где $\varepsilon$ – амплитудный параметр.) В этом приближении имеем
\[
k \simeq K\left(1+s_{x}+\frac{1}{2} s_{r}^{2}\right),
\]

и почти линейное дисперсионное соотношение $n=c_{0} k / \omega=$ $=n_{0} \div 1 / 2 n_{2} a^{2}$ дает
\[
s_{x}+\frac{1}{2} s_{r}^{2}=\frac{1}{2} \frac{n_{2}}{n_{0}} a^{2}
\]

в предположении, что $c_{0} K / \omega=n_{0}(\omega)$. Поскольку, в силу (16.35), $\rho$ \& $a^{2}$, то в (16.33) $\rho$ можно заменить на $a^{2}$. Тогда, учитывая предположение $s_{x} \ll s_{r}$, уравнение (16.33) можно переписать так:
\[
\frac{\partial a^{2}}{\partial x}+s_{r} \frac{\partial a^{2}}{\partial r}+\left(s_{r r}+\frac{m}{r} s_{r}\right) a^{2}=0 .
\]

Уравнения (16.39) и (16.40) образуют замкнутую систему относительно функций $s$ и $a^{2}$.
Можно ожидать, что в окрестности оси $s$ имеет вид
\[
s=\sigma(x)+\frac{1}{2} \frac{r^{2}}{R(x)}+O\left(r^{4}\right),
\]

тде $R(x)$ – радиус кривизны фазовой поверхности у оси. Удивительно, что существует точное решение, для которого $s(x, r)$ имеет в точности эти два члена. Из (16.39) видно, что $a^{2}$ должно быть квадратичным по $r$, и уравнение (16.40) дает соотношения между

различными коэффициентами. Эти соотношения имеют вид
\[
\begin{array}{l}
a^{2}=\frac{a_{0}^{2}}{f^{m+1}(x)}\left\{1-\frac{r^{2}}{r_{0}^{2} f^{2}(x)}\right\}, \\
\sigma^{\prime}=\frac{1}{2} \frac{n_{2}}{n_{0}} \frac{a_{0}^{2}}{f^{m+1}(x)}, \quad \frac{1}{R(x)}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)},
\end{array}
\]

где
\[
f^{\prime 2}=\frac{2 n_{2} a_{0}^{2}}{(m+1) n_{0} r_{0}^{2}}\left(\frac{1}{f^{m+1}}-1\right)+\frac{1}{R_{0}^{2}}, \quad f(0)=1 ;
\]

здесь $r_{0}$ – начатьный радиус пучка, $a_{0}$ – начальная амплитуда на оси, а $R_{0}$ – начальный радиус кривизны фазовой поверхности.

Если фазовые поверхности в точке $x=0$ плоские $\left(R_{0}^{-1}=0\right.$ ), то решения уравнения (16.44) имеют вид
\[
\begin{array}{l}
m=0: x=\left(\frac{n_{0}}{2 n_{2}}\right)^{1 / 2} \frac{r_{0}}{a_{0}}\left\{f^{1 / 2}(1-f)^{1 / 2}-\arcsin f^{1 / 2}+\frac{\pi}{2}\right\}, \\
m=1: x=\left(\frac{n_{0}}{n_{2}}\right)^{1 / 2} \frac{r_{0}}{a_{0}}\left(1-f^{2}\right)^{1 / 2} .
\end{array}
\]

Пучок фокусируется, и решение становится сингулярным в точке, где $f(x) \rightarrow 0$; здесь радиус кривизны $R(x) \rightarrow 0$ и амплитуда $a \rightarrow \infty$. Расстояние до этой точки фокуса составляет
\[
\begin{array}{l}
x_{f}=\frac{\pi}{2}\left(\frac{n_{0}}{2 n_{2}}\right)^{1 / 2} \frac{r_{0}}{a_{0}} \text { для } m=0, \\
x_{f}=\left(\frac{n_{0}}{n_{2}}\right)^{1 / 2} \frac{r_{0}}{a_{0}} \text { для } m=1 .
\end{array}
\]

В окрестности особенности производные высщего порядка от $a$ начинают играть важную роль и должны быть включены в уравнения (16.39)-(16.40). Как мы увидим, эти дополнительные члены вводят дисперсионные эффекты, которые препятствуют фокусировке и приводят к непрерывным решениям.

Прежде чем это проделать, упомянем о красивом решении поской задачи ( $m=0$ ), найденном Ахмановым, Сухоруковым и Хохловым. Введем\”
\[
v=s_{y}, \quad \tau=a^{2} ;
\]

тогда система (16.39)-(16.40) примет вид
\[
\begin{array}{l}
v_{x}+v v_{y}-\gamma \tau_{y}=0, \quad \gamma=\frac{n_{2}}{2 n_{0}}, \\
\tau_{x}+v \tau_{y}+\tau v_{y}=0,
\end{array}
\]

где для плоского случая мы заменили $r$ на $y$. Эти уравнения подобны уравнениям нестационарной одномерной газовой динамики, за исключением изменения знака у $\gamma$. При помощи преобразования

годографа они сводятся к линейным:
\[
\begin{array}{l}
y_{\tau}-v x_{\tau}-\gamma x_{v}=0, \\
y_{v}-v x_{v}+\tau x_{\tau}=0 .
\end{array}
\]

Вследствие линейности эти уравнения допускают возможность построения общего решения при помощи суперпозиции. Однако в упомянутом здесь частном решении авторы заметили, что предпочтительнее использовать переменные
\[
p=x \tau, \quad q=y-v x .
\]

Уравнения годографа
\[
q_{\tau}-\frac{\gamma}{\tau} p_{v}=0, \quad q_{v}+p_{\tau}=0
\]

преобразуются затем к виду
\[
v_{p}-\frac{\gamma}{\tau} \tau_{q}=0, \quad \tau_{p}+v_{q}=0 .
\]

Положив $v=-\Phi_{p}, \tau=\Phi_{q}$, получим
\[
\Phi_{q} \Phi_{p p}+\gamma \Phi_{q q}=0 .
\]

Это уравнение имеет решение с разделяющимися переменными
\[
\Phi=\left(h a_{0}^{2}+\frac{\gamma}{h} p^{2}\right) \operatorname{th} \frac{q}{h},
\]

которое и описывает пучок. В исходных переменных решение выражается через параметры $p$ и $q$ еледующим образом:
\[
\begin{array}{l}
s_{y}=v=-\frac{2 \gamma p}{h} \operatorname{th} \frac{q}{h}, \quad a^{2}=\tau=\left(a_{0}^{2}+\frac{\gamma}{h^{2}} p^{2}\right) \operatorname{sech}^{2} \frac{q}{h}, \\
x=\frac{p}{\tau}, \quad y=\frac{v p}{\tau}+q .
\end{array}
\]

На начальной плоскости $x=0$ имеем
\[
s_{y}=0, \quad a^{2}=a_{0}^{2} \operatorname{sech}^{2}(y / h) .
\]

В начале пучок состоит из лучей, параллельных оси $x$, и имеет близкое к действительности распределение амплитуд. Можно показать, что пучок фокусируется в точке
\[
x_{j}=\frac{1}{2 \gamma^{1 / 2}} \frac{h}{a_{0}}=\left(\frac{n_{0}}{2 n_{2}}\right)^{1 / 2} \frac{h}{a_{0}} .
\]

Чтобы это решение согласовывалось около оси с формулой (16.42), следует положить $h=r_{0}$, и мы видим, что формула (16.47) для фокусного расстояния дает хорошее приближение.