Хотя интегралы Фурье дают точные решения, все же их поведение трудно определить нешосредственно. Если рассматривать асимптотические выражения для больших $x$ и $t$, то это поведение становится яснее, а основные свойства диспергирующих волн понятнее. Рассмотрим сначала типичный интеграл
\[
\varphi(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} F(x) e^{i x x-i W(x) t} d x
\]

в одномерном случае. При изучении волнового движения мы интересуемся поведением при больших значениях как $x$, так и $t$, точнее, при $t \rightarrow \infty, x / t$ фиксировано. (Конкретный выбор отношения $x / t$ позволяет изучить волны, движущиеся с заданной скоростью.) В соответствии с этим запишем интеграл в виде
\[
\varphi(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} F(x) e^{-i \chi t} d x,
\]

где
\[
\chi(x)=W(x)-x \frac{x}{t} .
\]

В данном контексте $x / t$ – фиксированный параметр и $\chi$ зависит только от $x$. Интеграл (11.20) можно теперь изучать методом стационарной фазы; в самом деле, именно для этой задачи Кельвин разработал указанный метод. Кельвин показал, что для больших $t$ основной вклад в интеграл дает окрестность стационарных точек $x=k$, таких, что
\[
\chi^{\prime}(k)=W^{\prime}(k)-\frac{x}{t}=0 .
\]

В остальных точках происходит быстрая осцилляция и суммарный вклад оказывается малым. Более поздние формулировки метода скорейшего спуска (или метода перевала) могут быть легче обоснованы и позволяют оценить ошибки. Полное обсуждение этих методов содержится, например, в книге Джеффриса и Джеффрис (Свирлс) $[1, \S 17.04-17.05]$ 1). Для наших целей достаточно найти первый член асимптотического разложения, следуя рассуждениям Кельвина.

Разложим функции $F(x)$ и $\chi(x)$ в (11.20) в ряды Тейлора в окрестности $x=k$. Доминирующий вклад дадут члены
\[
\begin{array}{l}
F(x) \simeq F(k), \\
\chi(x) \simeq \chi(k)+\frac{1}{2}(x-k)^{2} \chi^{\prime \prime}(k)
\end{array}
\]

при условии, что $\chi^{\prime \prime}(k)
eq 0$. В таком приближении искомый вклад равен
\[
F(k) \exp \{-i \chi(k) t\} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{-\frac{i}{2}(x-k)^{2} \chi^{\prime \prime}(k) t\right\} d \chi .
\]

Оставшийся интеграл сводится к вещественному интегралу ошибок
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha z^{2}} d z=(\pi / \alpha)^{1 / 2}
\]

поворотом контура интегрирования ${ }^{2}$ ) на $\pm \pi / 4$; знак следует выбрать такой же, как знак $\chi^{\prime \prime}(k)$. Окончательно получаем
\[
F(k) \sqrt{\frac{2 \pi}{t\left|\chi^{\prime \prime}(k)\right|}} \exp \left\{-i \chi(k) t-\frac{i \pi}{4} \operatorname{sgn} \chi^{\prime \prime}\right\} .
\]
1) См. также Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, изд. 4, М.–Л., «Наука», 1973; Федорюк М. В., Метод перевала, М.-Л., «Наука», 1977.- Прим. ред.
2) Это соответствует переходу к линии скорейшего спуска.
Если существует несколько стационарных точек $x=k$, удовлетворяющих уравнению (11.21), то каждая дает аналогичный вклад и имеем
\[
\begin{array}{l}
\varphi \sim \sum_{\substack{\text { стационарные } \\
\text { точки } k}} F(k) \sqrt{\frac{2 \pi}{t\left|W^{\prime \prime}(k)\right|}} \times \\
\times \exp \left\{i k x-i W(k) t-\frac{i \pi}{4} \operatorname{sgn} W^{\prime \prime}(k)\right\} .
\end{array}
\]

Для получения следующего члена асимштотического разложения необходимо продолжить ряды Тейлора до члена $(x-k)^{2}$ для $F(x)$ и до члена $(x-k)^{4}$ для $\chi(x)$. Два следующих члена необходимы, поскольку нечетные степени при интегрировании вышадают. Когда это сделано (предпочтительнее с использованием метода скорейшего спуска), дополнительный член можно записать в виде множителя
\[
1+\frac{i}{t\left|W^{\prime \prime}\right|}\left(\frac{F^{\prime \prime}}{2 F}-\frac{1}{2} \frac{W^{\prime \prime \prime}}{W^{\prime \prime}} \frac{F^{\prime}}{F}+\frac{5}{24} \frac{W^{\prime \prime 2}}{W^{\prime 2}}-\frac{1}{8} \frac{W^{i v}}{W^{\prime \prime}}\right)
\]

при соответствующем члене в (11.22). Столь сложное выражение получается из-за необходимости работать с двумя следующими членами рядов Тейлора для $F$ и $\chi$. В общем случае асимптотическое поведение описывается дальнейшим разложением по отрицательным степеням $t$ с коәффициентами, зависящими от $k$.

До сих пор смысл выражения «большие значения $t$ » оставался неясен. Тешерь можно потребовать, чтобы поправочный член в (11.23) был малым; $t$ должно быть большим в шкале времени, связанной с дисперсионным соотношением и шкалой длин из начальных условий. Для начальных условий в виде четко выраженного пика с малой характерной длиной величины $F^{\prime}$ и $F^{\prime \prime}$ малы и требуется, чтобы $t$ было большим по сравнению с характерным периодом для $W(k)$, что в свою очередь задается параметрами уравнения. В предельном случае начальных условий в виде $\delta$-функции величина $F$ постоянна и $F^{\prime}=F^{\prime \prime}=0$.

Для частного случая с двумя модами $\omega= \pm W(x)$ полное решение дается формулой (11.16). Предположим, далее, что производная $W^{\prime}(x)$ монотонна и положительна при $x>0$ (это обычно выполняется), и рассмотрим асимптотическое поведение выражения (11.16) для $x>0$. Если $W(x)$ – нечетная функция, то производная $W^{\prime}(x)$ – четная функция и уравнение (11.21) имеет два корня $\pm k$. Соответствующие два вклада в (11.22) можно объеди-

нить, поскольку $F_{1}(-k)=F_{1}^{*}(k)$, согласно (11.17), и получить
\[
\begin{array}{l}
\varphi \sim 2 \operatorname{Re}\left(F_{1}(k) \sqrt{\frac{2 \pi}{\left.t \mid W^{\prime \prime}(k)\right\}}} \times\right. \\
\times\left.\exp \left\{i k x-i W(k) t-i \frac{\pi}{4} \operatorname{sgn} W^{\prime \prime}(k)\right\}\right), \\
t \rightarrow \infty, \quad \frac{x}{t}>0,
\end{array}
\]

где $k(x, t)$ – положительный корень уравнения (11.21), определяемый соотношением
\[
k(x, t): \quad W^{\prime}(k)=\frac{x}{t}, \quad k>0, \quad \frac{x}{t}>0 .
\]

Для нечетной функции $W(x)$ второй интеграл в (11.16) не дает вклада в репение при $x>0$; он дает соответствующее выражение для $x<0$.

Если $W(x)$ – четная функция, то производная $W^{\prime}(x)$ нечетная функция, уравнение (11.21) имеет один корень $k$ при $x>0$ и этот корень положителен. Поэтому первый интеграл в формуле (11.16) дает только один вклад. Однако для второго интеграла в решении (11.16) стационарные точки удовлетворяют уравнению
\[
W^{\prime}(x)=-\frac{x}{t},
\]

и $-k$ будет решением этого уравнения при $x>0$. Таким образом, если $k$ определяется соотношениями (11.25), то в (11.16) имеются стационарная точка $x=k$ в первом интеграле и стационарная точка $x=-k$ во втором интеграле. В силу (11.18), вклады снова объединяются и суммарный результат приводит к той же формуле (11.24).

Важность условия $W^{\prime \prime}(x)
eq 0$ в определении диспергирующих волн для линейных систем теперь очевидна. Если производная $W^{\prime}(x)$ постоянна, то при любом значении отношения $x / t$ стационарных точек нет и весь асимптотический анализ меняется. Конечно, он и не нужен, поскольку интегралы Фурье немедленно упрощаются. Важность условия $W^{\prime \prime}(k)
eq 0$ связана и с тем, что $W^{\prime \prime}$ стоит в знаменателе выражений (11.24) и (11.23). Если $W^{\prime \prime}(x)$ не равна тождественно нулю, но обращается в нуль для некоторой стационарной точки $k$, то правильное асимптотическое поведение определяется с помощью дальнейших членов ряда Тейлора для $\chi$. Если $\chi^{\prime \prime}(k)=0$, но $\chi^{\prime \prime \prime}(k)
eq 0$, то вклад в (11.20) равен
\[
\begin{array}{r}
F(k) \exp \{-i \chi(k) t\} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{-\frac{i}{6} t \chi^{\prime \prime \prime}(k)(x-k)^{3}\right\} d x= \\
=\left(\frac{1}{3}\right) ! 3^{5 / 6} 2^{1 / 3} \frac{F(k)}{\left(t\left|W^{\prime \prime \prime}(k)\right|\right)^{1 / 3}} \exp \{i k x-i W(k) t\} .
\end{array}
\]

Поскольку $k$ – функция от $x / t$, это выражение указывает на сингулярное поведение решения на соответствующей прямой $x / t=$ $=W^{\prime}(k)$ и в ее окрестности.

Перейдем теперь к подробному обсуждению асимптотических формул (11.24) и (11.25).