Периодическое решение можно получить, взяв в качестве $\varphi$ совокупность тепловых источников, расположенных на расстоянии $\lambda$ один от другого. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\varphi=(4 \pi v t)^{-1 / 2} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \exp \left\{-\frac{(x-n \lambda)^{2}}{4 v t}\right\}, \\
c=-2 v \frac{\varphi_{x}}{\varphi}=\frac{\sum_{-\infty}^{\infty}\{(x-n \lambda) / t\} \exp \left\{-(x-n \lambda)^{2} /(4 v t)\right\}}{\sum_{-\infty}^{\infty} \exp \left\{-(x-n \lambda)^{2} /(4 v t)\right\}} .
\end{array}
\]

Если $\lambda^{2} /(4 v t) \gg 1$, то экспонента с наименьшим значением $(x-n \lambda)^{2} /(4 v t)$ доминирует над всеми остальными. Следовательно, при $(m-1 / 2) \lambda<x<(m+1 / 2) \lambda$ будет доминировать член с $n=m$ п (4.49) можно приближенно переписать так:
\[
c \sim \frac{x-m \lambda}{t}, \quad(m-1 / 2) \lambda<x<(m+1 / 2) \lambda .
\]

Это волна пилообразной формы с периодическими разрывами, расположенными на расстоянии $\lambda$ один от другого, и на каждом разрыве $c$ скачком меняется от $-\lambda /(2 t)$ до $\lambda /(2 t)$. Данный результат согласуется с формулой (2.56).

Для изучения последней стадии затухания, когда $\lambda^{2} /(4 v t) \ll 1$, можно использовать другую форму решения. Выражение (4.48) является периодическим по $x$, и в интервале $-\lambda / 2<x<\lambda / 2$
\[
\varphi \rightarrow \delta(x) \text { при } t \rightarrow 0 .
\]

Это начальное условие можно разложить в ряд Фурье
\[
\Phi(x)=\frac{1}{\lambda}\left\{1+2 \sum_{1}^{\infty} \cos \frac{2 \pi n x}{\lambda}\right\} ;
\]

тогда соответствующее решение уравнения теплопроводности для $\varphi$ будет
\[
\varphi=\frac{1}{\lambda}\left\{1+2 \sum_{1}^{\infty} \exp \left(-\frac{4 \pi^{2} n^{2}}{\lambda^{2}} v t\right) \cos \frac{2 \pi n x}{\lambda}\right\} .
\]

Можно проверить непосредственно, что это ряд Фурье для функции (4.48). Далее,
\[
c=-\frac{2 v \varphi_{x}}{\varphi}=\frac{\frac{8 \pi v}{\lambda} \sum_{1}^{\infty} n \exp \left(-\frac{4 \pi^{2} n^{2}}{\lambda^{2}} v t\right) \sin \frac{2 \pi n x}{\lambda}}{1+2 \sum_{1}^{\infty} \exp \left(-\frac{4 \pi^{2} n^{2}}{\lambda^{2}} v t\right) \cos \frac{2 \pi n x}{\lambda}} .
\]

Если $v t / \lambda^{2} \gg 1$, то член ряда с $n=1$ доминирует над остальными, и мы имеем
\[
c \sim \frac{8 \pi v}{\lambda} \exp \left(-\frac{4 \pi^{2} v t}{\lambda^{2}}\right) \sin \frac{2 \pi x}{\lambda} .
\]

Это решение уравнения $c_{t}=v c_{x x}$, и снова на последней стадии затухания преобладает диффузия.