Когда наступает опрокидывание, возникает вопрос о справедливости предположения $q=Q(\rho)$ (формула (2.12)), а также предположения о существовании производных функций $\rho$ и $q$, входящих в уравнение (2.11). Но считая, что предположение о непрерывности справедливо, мы все еще настаиваем на выполнении закона сохранения (2.10).
Прежде чем перейти к общему методу введения разрывов, рассмотрим задачу с другой точки зрения, считая, что дифференциальное уравнение (2.11) справедливо, а соотношение (2.12) нарушается.

Рассмотрим сначала математический вопрос о допустимости разрывов. Что касается уравнения (2.10), то оно не противоречит наличию разрывов первого рода функций $\rho$ и $q$ : все выражения в (2.10) при этом сохраняют смысл. Накладывает ли уравнение (2.10) какие-либо ограничения? Для того чтобы ответить на этот вопрос, предположим наличие разрыва при $x=s(t)$ и выберем $x_{1}$ и $x_{2}$ так, что $x_{1}>s(t)>x_{2}$. Предположим, что $\rho$ и $q$ и их первые производные непрерывны при $x_{1} \geqslant x>s(t)$ и при $s(t)>$ $>x \geqslant x_{2}$, а при $x \rightarrow s(t)$ имеют конечные пределы сверху и снизу. Тогда уравнение (2.10) можно переписать следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
q\left(x_{2}, t\right)-q\left(x_{1}, t\right)=\frac{d}{d t} \int_{x_{2}}^{s(t)} \rho(x, t) d x+\frac{d}{d t} \int_{s(t)}^{x_{1}} \rho(x, t) d x= \\
=\rho\left(s^{-}, t\right) \dot{s}-\rho\left(s^{+}, t\right) \dot{s}+\int_{x_{2}}^{s(t)} \rho_{t}(x, t) d x+\int_{s(t)}^{x_{1}} \rho_{t}(x, t) d x,
\end{array}
\]

где $\rho\left(s^{-}, t\right), \rho\left(s^{+}, t\right)$ – предельные значения $\rho(x, t)$ при $x \rightarrow s(t)$ снизу и сверху соответственно, а $\dot{s}=d s / d t$. Поскольку $\rho_{t}$ ограничена в каждом из интервалов, то при $x_{1} \rightarrow s^{+}, x_{2} \rightarrow s^{-}$интегралы стремятся $к$ нулю. Следовательно,
\[
q\left(s^{-}, t\right)-q\left(s^{+}, t\right)=\left\{\rho\left(s^{-}, t\right)-\rho\left(s^{+}, t\right)\right\} s .
\]

Условимся обозначать индексом 1 величины перед разрывом и индексом 2 за ним. Тогда, если $U$ – скорость распространения разрыва, т. е. $\dot{s}$, то
\[
q_{2}-q_{1}=U\left(\rho_{2}-\rho_{1}\right) .
\]

Это условие можно также переписать в виде
\[
-U[\rho]+[q]=0,
\]

где скобки обозначают скачок данной величины. В этой форме ясно видно соответствие между полученным условием на линии разрыва и дифференциальным уравнением (2.11), а именно соответствие
\[
\frac{d}{\partial t} \leftrightarrow-U[], \quad \frac{\partial}{\partial x} \leftrightarrow[] .
\]

Теперь мы можем расширить понятие решения уравнения (2.10) и допустить разрывы указанного вида. В любой области непрерывности решения уравнение (2.11) останется справедливым и пред-

Рис. 2.5. Параметры течения для движущегося разрыва.
Рис. 2.6. Параметры течения для неподвнжного разрыва.

положение (2.12) можно сохранить. Поскольку в области непрерывности $q=Q(\rho)$, на сторонах любого разрыва $q_{2}=Q\left(\rho_{2}\right)$ и $q_{1}=Q\left(\rho_{1}\right)$ и условие (2.15) можно переписать так:
\[
U=\frac{Q\left(\rho_{2}\right)-Q\left(\rho_{1}\right)}{\rho_{2}-\rho_{1}} .
\]

Теперь задача сводится к введению в решение (2.5), (2.6) разрывов таким образом, чтобы выполнялось равенство (2.18) и не возникали многозначные решения.
В простейшем случае имеем

где $c_{2}>c_{1}$. Опрокидывающееся решение приведено на рис. 2.3. Тешерь мы можем построить однозначное решение в виде разрыва, движущегося со скоростью (2.18):
\[
\begin{array}{ll}
\rho=\rho_{1}, & x>U t, \\
\rho=\rho_{2}, & x<U t,
\end{array}
\]

как схематически представлено на рис. 2.5.
Обыцным способом вывода условия на разрыве является рассмотрение этого частного решения в системе отсчета, в которой разрыв неподвижен, как показано на рис. 2.6. Относительные расходы при этом равны $q_{1}-U \rho_{1}$ и $q_{2}-U \rho_{2}$. Закон сохранения можно сразу записать в виде
\[
q_{1}-U \rho_{1}=q_{2}-U \rho_{2},
\]

откуда и следует (2.15).