Линейные уравнения второго порядка, имеющие вид
$$A_{ij}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_i\partial x_j}+B_i\frac{\partial \phi }{\partial x_i}+C\phi =0$$

встречаются часто, и даже в случае двух независимых переменных обычно удобнее оставлять их в таком виде, чем работать с соответствующей системой первого порядка. Действительно, как мы видели в $\mathrm{\S }5.2$, могут возникнуть трудности, связанные с нахождением подходящей эквивалентной системы, если, конечно, уравнение (5.64) не было получено из такой системы.

Существует много подходов к классификации уравнений вида (5.64). В задачах о распространении волн важным вопросом является возможность существования волнового фронта, несущего разрывы производных, и это дает простейшую связь, указывающую на согласованность с анализом, проведенным для систем первого порядка. Очевидно, что в тех случаях, когда уравнение (5.64) получается из соответствующей эквивалентной системы, определения гиперболичности должны совпадать. Подробное доказательство согласованности здесь не приводится, но выбор такого подхода указывает на тесную связь.

Итак, рассмотрим возможность существования разрывов первого рода у вторых производных функции $\phi$. Если эти разрывы находятся на поверхности $S(\mathrm{x})=0$, причем $\phi$ п $\partial \phi /\partial x_i$ остаются непрерывными, то, как и выше, можно ввести локальные координаты, исходя из уравнения $S(\mathbf{x})=0$, п показать, что ${\partial }^2\phi /\partial S^2$ разрывна, тогда как остальные производные второго порядка остаются непрерывными. Затем взяв разность пределов уравнения (5.64) с обеих сторон поверхности $S=0$, получим
$$A_{ij}\frac{\partial S}{\partial x_i}\frac{\partial S}{\partial x_j}\left[\frac{{\partial }^2\phi }{\partial S^2}\right]=0.$$

Поскольку $\left[{\partial }^2\phi /\partial S^2\right]eq0$, отсюда вытекает необходимое условие существования разрыва:
$$A_{ij}\frac{\partial S}{\partial x_i}\frac{\partial S}{\partial x_j}=0.$$

Можно показать, что разрывы производных первого порядка и даже самой функции $\phi$ (поскольку уравнение линейно) также

ограничены такими поверхностями. Но для этого необходимо более тщательное обсуждение, включающее вопрос об уточнении понятия решения, и мы его отложим до § 7.7, где оно будет необходимо.

Таким образом, классификация определяется квадратичной формой $A_{ij}{\xi }_i{\xi }_j$. В каждой точке х при помощи некоторого линейного преобразования ее можно привести к виду
$$a_1{\xi }_1^2+\dots +a_m{\xi }_m^2.$$

Если все коэффициенты $a_i$ имеют один и тот же знак, то, очевидно, уравнение (5.66) не имеет репения; в такой точке уравнение называется эллиптическим. Если некоторые из коэффициентов $a_i$ равны нулю, то уравнение параболическое; в обычном случае один из $a_i$ равен нулю, а остальные имеют один и тот же знак. Если все $a_i$ отличны от нуля, но не все имеют одинаковые знаки, то имеем так называемое ультрагиперболическое уравнение. В приложениях встречается только случай, когда $m-1$ из $m$ коэффициентов $a_i$ имеют один и тот же знак и лишь один коэффициент имеет противоположный знак. Объяснение этого факта состоит в том, что в противном случае поверхности, описываемые уравнением (5.66), имели бы необычные геометрические свойства и не могли бы, например, описывать простую интуитивно ясную картину распространения волнового фронта. В соответствии с этим гиперболические уравнения ограничиваются этим случаем.

Для того чтобы не связывать эту классификацию с теорией разрывов, следует всего лишь заметить, что линейное преобразование, необходимое для приведения квадратичной формы $A_{ij}{\xi }_i{\xi }_{\text{; }}^{\text{; }}$ к виду (5.67), можно также использовать для введения локального преобразования координат, приводящего старший член уравнения (5.64) к виду
$$a_1\frac{{\partial }^2\phi }{\partial X_1^2}+\dots +a_m\frac{{\partial }^2\phi }{\partial X_m^2}.$$

Эти рассуждения никак не связаны с вопросом о разрывах, а классификация, как и ранее, определяется знаками коэффициентов $a_i$ в этом члене.

Наше рассмотрение было намеренно кратким, поскольку оно никак не связано с вопросами, рассматриваемыми ниже в этой книге. Дальнейшие подробности можно найти во многих превосходных курсах по общей теории уравнений в частных производных, таких, как книга Куранта и Гильберта [1] или Петровского [1].