Если препятствие имеет конечный размер вдоль оси $x_{2}$, то на поверхности воды образуется двумерная картина волн и анализ усложняется. Мы ограничимся задачей о гравитационных волнах на глубокой воде и используем дисперсионное соотношение (12.5). Этот случай охватывает картины волн, создаваемые объектами длиной $l \gg \lambda_{m}$, движущимися по воде глубиной $h \gg l$ (что обычно выполняется для корабельных волн).

Наиболее удивительный результат, полученный впервые Кельвином, состоит в том, что на глубокой воде волны сосредоточены в клинообразной области с углом полураствора $\operatorname{arc} \sin 1 / 3=19,5^{\circ}$. Этот угол не зависит ни от скорости (при условии, что скорость постоянна), ни от формы объекта и определяется тем, что для глубокой воды $C / c=1 / 2$.

Приведенное ниже простое доказательство принадлежит Лайтхиллу [6]. Рассмотрим «корабль», движущийся со скоростью $U$ и переместившийся из точки $Q$ в точку $P$ (см. рис. 12.2) за время $t$. Гребень волны будет оставаться неподвижным относительно корабля в том случае, когда
\[
U \cos \psi=c(k),
\]

где $\psi$ – угол между нормалью (направлением вектора $\mathbf{k}$ ) и линией движения $Q P$. Это условие легче всего понять, перейдя в систему отсчета, в которой поток со скоростью $U$ обтекает неподвижный
Рис. 12.2. Построснпе элементов волны в задаче о корабельных волнах.

корабль. В этой движущейся системе отсчета нормальная к элементу волны компонента $U \cos \psi$ скорости потока должна компенсироваться фазовой скоростью рассматриваемого элемента. Указанное условие позволяет определить величину $k$ в направлении $\psi$.

Геометрически (см. рис. 12.2) это можно изобразить, построив полуокружность диаметром $P Q$ и заметив, что $P Q=U t, S Q=$ $=U t \cos \psi=c t$. Следовательно, для элементов волны, параллельных хорде $p S$, будем иметь $c t=Q S$. Далее, $c$ – фазовая

Рис. 12.3. Огибающая возмущений, возникающих в последовательные моменты времени.

скорость, соответствующая условию (12.23), но расположение рассматриваемых волн определяет именно групповая скорость $C=1 / 2 c$. Волны, образующиеся в точке $Q$, должны пройти расстояние $C t=1 / 2 \mathrm{ct}$. Следовательно, в направлении $\psi$ они будут обнаружены в точке $T$ – средней точке отрезка $Q S$. Рассмотрев все значения $\psi$, получим, что волны, возникающие в точке $Q$ и дающие вклад в стационарную картину, лежат на окружности радиуса $1 / 4 U t$ с центром в точке $R$, причем $P R=3 / 4 U t$. Наконец, фиксируя точку $P$ и меняя $t$, мы получаем набор окружно-

стей, изображенный на рис. 12.3. В силу построения, проведенного на рис. 12.2, каждая окружность имеет радиус, равный одной трети расстояния от ее центра до точки $P$. Следовательно, эти окружности заполняют клинообразную область с углом полураствора $\operatorname{arc} \sin 1 / 3=19,5^{\circ}$. Любопытно, что построение на рис. 12.3 соответствует сверхзвуковому обтеканию с числом Маха, равным 3 ; все плавающие объекты имеют эффективное число Маха, равное 3.
Дальнейшее исследование картины волн
Более детальное рассмотрение картины волн удобно провести в системе отсчета, в которой источник находится в нешодвижной точке $P$, а скорость $U$ однородного потока направлена вдоль оси $x_{1}$ (см. рис. 12.4 на стр. 397). При этом возникает ряд общих вопросов описания стационарных волновых процессов, которые оказываются полезными и в иных контекстах. Дисперсионные соотношения из § 12.1 применимы к волнам, распространяющимся по неподвижной воде, но можно перейти в систему отсчета, движущуюся с относительной скоростью – $\mathbf{U}$, заметив, что частота $\omega$ относительно движущейся системы следующим образом выражается через частоту $\omega_{0}$ относительно неподвижной системы-
\[
\omega=\mathbf{U} \cdot \mathbf{k}+\omega_{0}(\mathbf{k}) .
\]

Это дисперсионное соотношение между $\omega$ и $\mathbf{k}$ для волн, накладывающихся на поток со скоростью U. Конечно, распространение больше не изотропно, поскольку в соотношение входит вектор $\mathbf{U}$. В такой системе отсчета для стационарной картины волн $\omega=0$ и выражение (12.24) становится соотношением между компонентами $k_{1}$ и $k_{2}$ волнового вектора $\mathbf{k}$. Для $\omega_{0}(\mathbf{k})=\sqrt{g k}$ имеем
\[
G\left(k_{1}, k_{2}\right)=U k_{1}+\sqrt{g \bar{k}}=0 .
\]

Поскольку $\cos \psi=-k_{1} / k$ и $c(k)=\sqrt{g / k}$, это согласуется с (12.23). Представив вектор $\mathbf{k}$ в полярных координатах $(k, \psi)$, равенство (12.25) можно переписать в виде
\[
\mathscr{G}(k, \psi)=U k \cos \psi-\sqrt{g k}=0 .
\]

Так как частота $\omega$ равна нулю и $\mathbf{k}$ не зависит от $t$, кинематические соотношения (11.43) сводятся к условию совместности
\[
\frac{\partial k_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial k_{1}}{\partial x_{2}}=0 .
\]

Согласно (12.25), $k_{1}=f\left(k_{2}\right)$ и уравнение (12.27) дает
\[
\frac{\partial k_{2}}{\partial x_{1}}-f^{\prime}\left(k_{2}\right) \frac{\partial k_{2}}{\partial x_{2}}=0 .
\]

Поэтому компоненты $k_{1}$ и $k_{2}$ постоянны на характеристиках
\[
\frac{d x_{2}}{d x_{1}}=-f^{\prime}\left(k_{2}\right) .
\]

Для точечного источника $P$ характеристики, несущие возмущения, проходят через точку $P$, так что имеем центрированную волну
\[
\frac{x_{2}}{x_{1}}=-f^{\prime}\left(k_{2}\right) .
\]

Это равенство определяет $k_{2}$ как функцию от $x_{2} / x_{1}$, и соотношение $k_{1}=f\left(k_{2}\right)$ завершает нахождение вектора $\mathbf{k}$.

Основное соотношение (12.28) можно записать в симметричном относительно $k_{1}$ и $k_{2}$ виде. Если $k_{1}=f\left(k_{2}\right)$ тождественно удовлетворяет соотношению (12.25), то
\[
f^{\prime}\left(k_{2}\right) G_{k_{1}}+G_{k_{2}}=0
\]

и (12.28) можно переписать в виде
\[
\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{G_{k_{2}}\left(k_{1}, k_{2}\right)}{G_{k_{1}}\left(k_{1}, k_{2}\right)}, \quad G\left(k_{1}, k_{2}\right)=0 .
\]

Решая эти уравнения, паходим $k_{1}$ и $k_{2}$ как функции от $\mathbf{x}$. Зная вид функции $\mathbf{k}$, уже можно нарисовать картину волн, но можно найти также и фазу $\theta\left(x_{1}, x_{2}\right)$ и получить линии гребней.

Полезно отметить, что соотношения (12.29) получаются из выражения для нестационарной центрированной волны в пределе при $\omega \rightarrow 0$. Для центрированной волны, согласно (11.49), имеем
\[
\frac{x_{i}}{t}=C_{i}=-\frac{G_{k_{i}}}{G_{\omega}}, \quad G(\mathbf{k}, \omega)=0 .
\]

Взяв отношение первых двух уравнений системы, исключим $t$ и $G_{\omega}$ и, перейдя к пределу при $\omega \rightarrow 0$, получим соотношения (12.29). Можно считать, что возмущение распространяется с групповой скоростью $C_{i}$, хотя это не приводит к изменениям картины волн. Данное соображение позволяет продолжать использовать понятие групповой скорости, хотя в формулах фигурирует только ее направление $\partial G / \partial k_{i}$.

Далее заметим, что иногда удобно пользоваться полярными координатами, как это сделано в равенстве (12.26). В полярных координатах градиент $\partial G / \partial \mathbf{k}$ имеет компоненту $\partial \mathscr{G} / \partial k$ в направлении $\mathbf{k}$ и компоненту $\partial \mathscr{G} / k \partial \psi$, ортогональную $\mathbf{k}$. Отсюда для угла $\mu$ на рис. 12.4 получаем
\[
\operatorname{tg} \mu=\frac{1}{k} \frac{\partial \mathscr{Y} / \partial \Psi}{\partial \mathscr{Y} / \partial k} .
\]

Уравнения (12.29) эквивалентны условиям
\[
\xi=\pi-\mu-\psi, \quad \mathscr{G}(k, \psi)=0 .
\]

Уравнения (12.30) и (12.31) определяют $k$ и $\psi$ (а следовательно, и $\mathbf{k}$ ) для заданного направления $\xi$.
Рис. 12.4. Геометрия требней волн в задаче о корабельных волнах.
Эти построения применимы к любой двумерной стационарной картине, и теперь мы применим их к корабельным волнам. Подставляя выражения (12.25) в соотношения (12.29), получаем
\[
\operatorname{tg} \xi=\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{\frac{k_{2}}{2 k} \sqrt{\frac{g}{k}}}{U+\frac{k_{1}}{2 k} \sqrt{\frac{g}{k}}}, \quad U k_{1}+\sqrt{g k}=0 .
\]

Очевидно, удобнее перейти к представлению $(k, \psi)$ вектора $\mathbf{k}$ в полярных координатах и записать эту формулу так:
\[
\operatorname{tg} \xi=\frac{\operatorname{tg} \psi}{1+2 \operatorname{tg}^{2} \psi}, \quad k=\frac{g}{U^{2} \cos ^{2} \psi} .
\]

Если предпочтительнее подход (12.30) – (12.31), то имеем
\[
\operatorname{tg} \mu=-2 \operatorname{tg} \psi,
\]

откуда следуют соотношения (12.32).
Теперь, изменяя угол $\psi$, мы можем нарисовать типичную линию гребня. Согласно (12.25) или (12.26), $k_{1}<0$ и $\cos \psi>0$, так что допустим лишь интервал $-\pi / 2<\psi<\pi / 2$. Картина волн, очевидно, симметрична, и достаточно рассмотреть интервал $0<\psi<$ $<\pi / 2$. Первая из формул (12.32) показывает, что при $\psi \rightarrow 0$ и $\psi \rightarrow \pi / 2$ получаем $\xi=0$, и, следовательно, на интервале $(0, \pi / 2)$ переменшая $\xi$ должна иметь максимум. Легко проверить, что этот максимум равен
\[
\xi_{m}=\operatorname{arctg} \frac{1}{2 \sqrt{2}}=19,5^{\circ} \text { для } \psi_{m}=\operatorname{arctg} \frac{1}{\sqrt{2}}=35,3^{\circ} .
\]

Полученное значение совпадает с углом цолураствора клина, найденным раныше, и показывает, что все волны сосредоточены внутри этого клина. В точке максимума $\psi
eq \pi / 2$, и поэтому линия гребня не может повернуть назад гладко; на границе клина при $\psi=\psi_{m}$ эта линия имеет заострение. Таким образом, видим,

что линия гребня имеет форму, изображенную на рис. 12.5 ; в целом картина волн представлена на рис. 12.6.
Выражение для фазы $\theta(\mathbf{x})$ можно найти как
\[
\theta=\int_{0}^{\mathbf{x}} \mathbf{k} \cdot d \mathbf{x},
\]

интегрируя по любой удобной кривой, поскольку $\mathbf{k}$ – безвихревой вектор. Очевидно, удобны лучи $\xi=$ const, поскольку на них вектор $\mathbf{k}$ остается постоянным. Имеем
\[
\theta=(k \cos \mu) r
\]

где $r=|\mathbf{x}|$ – расстояние от начала координат. Здесь $k$ и $\mu$ функции от $\xi$, определяемые формулами (12.32) и (12.33). Кривая
Рис. 12.5. Јиния гребня в задаче
Рис. 12.6. Полная картина о корабельных волнах. корабельных волн.

постоянной фазы $\theta=$ const в параметрическом виде с углом $\psi$ в качестве параметра описывается уравнениями
\[
\begin{aligned}
r & =\frac{\theta}{k \cos \mu}=-\frac{U^{2} \theta}{g} \cos ^{2} \psi\left\{1+4 \operatorname{tg}^{2} \psi\right\}^{1 / 2}, \\
\operatorname{tg} \xi & =\frac{\operatorname{tg} \psi}{1+2 \operatorname{tg}^{2} \psi},
\end{aligned}
\]

так что фаза $\theta$ отрицательна. Эти соотношения можно переписать и в декартовых координатах:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=-\frac{U^{2} \theta}{g} \cos \psi\left(1+\sin ^{2} \psi\right), \\
x_{2}=-\frac{U^{2} \theta}{g} \cos ^{2} \psi \sin \psi .
\end{array}
\]