Если препятствие имеет конечный размер вдоль оси $x_2$, то на поверхности воды образуется двумерная картина волн и анализ усложняется. Мы ограничимся задачей о гравитационных волнах на глубокой воде и используем дисперсионное соотношение (12.5). Этот случай охватывает картины волн, создаваемые объектами длиной $l\gg {\lambda }_m$, движущимися по воде глубиной $h\gg l$ (что обычно выполняется для корабельных волн).

Наиболее удивительный результат, полученный впервые Кельвином, состоит в том, что на глубокой воде волны сосредоточены в клинообразной области с углом полураствора $\mathrm{arc}\sin 1/3=19,5^{\circ }$. Этот угол не зависит ни от скорости (при условии, что скорость постоянна), ни от формы объекта и определяется тем, что для глубокой воды $C/c=1/2$.

Приведенное ниже простое доказательство принадлежит Лайтхиллу [6]. Рассмотрим «корабль», движущийся со скоростью $U$ и переместившийся из точки $Q$ в точку $P$ (см. рис. 12.2) за время $t$. Гребень волны будет оставаться неподвижным относительно корабля в том случае, когда
$$U\cos \psi =c(k),$$

где $\psi$ — угол между нормалью (направлением вектора $\mathbf{k}$ ) и линией движения $QP$. Это условие легче всего понять, перейдя в систему отсчета, в которой поток со скоростью $U$ обтекает неподвижный
Рис. 12.2. Построснпе элементов волны в задаче о корабельных волнах.

корабль. В этой движущейся системе отсчета нормальная к элементу волны компонента $U\cos \psi$ скорости потока должна компенсироваться фазовой скоростью рассматриваемого элемента. Указанное условие позволяет определить величину $k$ в направлении $\psi$.

Геометрически (см. рис. 12.2) это можно изобразить, построив полуокружность диаметром $PQ$ и заметив, что $PQ=Ut,SQ=$ $=Ut\cos \psi =ct$. Следовательно, для элементов волны, параллельных хорде $pS$, будем иметь $ct=QS$. Далее, $c$ — фазовая

Рис. 12.3. Огибающая возмущений, возникающих в последовательные моменты времени.

скорость, соответствующая условию (12.23), но расположение рассматриваемых волн определяет именно групповая скорость $C=1/2c$. Волны, образующиеся в точке $Q$, должны пройти расстояние $Ct=1/2\mathrm{ct}$. Следовательно, в направлении $\psi$ они будут обнаружены в точке $T$ — средней точке отрезка $QS$. Рассмотрев все значения $\psi$, получим, что волны, возникающие в точке $Q$ и дающие вклад в стационарную картину, лежат на окружности радиуса $1/4Ut$ с центром в точке $R$, причем $PR=3/4Ut$. Наконец, фиксируя точку $P$ и меняя $t$, мы получаем набор окружно-

стей, изображенный на рис. 12.3. В силу построения, проведенного на рис. 12.2, каждая окружность имеет радиус, равный одной трети расстояния от ее центра до точки $P$. Следовательно, эти окружности заполняют клинообразную область с углом полураствора $\mathrm{arc}\sin 1/3=19,5^{\circ }$. Любопытно, что построение на рис. 12.3 соответствует сверхзвуковому обтеканию с числом Маха, равным 3 ; все плавающие объекты имеют эффективное число Маха, равное 3.
Дальнейшее исследование картины волн
Более детальное рассмотрение картины волн удобно провести в системе отсчета, в которой источник находится в нешодвижной точке $P$, а скорость $U$ однородного потока направлена вдоль оси $x_1$ (см. рис. 12.4 на стр. 397). При этом возникает ряд общих вопросов описания стационарных волновых процессов, которые оказываются полезными и в иных контекстах. Дисперсионные соотношения из § 12.1 применимы к волнам, распространяющимся по неподвижной воде, но можно перейти в систему отсчета, движущуюся с относительной скоростью — $\mathbf{U}$, заметив, что частота $\omega$ относительно движущейся системы следующим образом выражается через частоту ${\omega }_0$ относительно неподвижной системы-
$$\omega =\mathbf{U}\cdot \mathbf{k}+{\omega }_0(\mathbf{k}).$$

Это дисперсионное соотношение между $\omega$ и $\mathbf{k}$ для волн, накладывающихся на поток со скоростью U. Конечно, распространение больше не изотропно, поскольку в соотношение входит вектор $\mathbf{U}$. В такой системе отсчета для стационарной картины волн $\omega =0$ и выражение (12.24) становится соотношением между компонентами $k_1$ и $k_2$ волнового вектора $\mathbf{k}$. Для ${\omega }_0(\mathbf{k})=\sqrt{gk}$ имеем
$$G(k_1,k_2)=U{k}_1+\sqrt{g\overline{k}}=0.$$

Поскольку $\cos \psi =-k_1/k$ и $c(k)=\sqrt{g/k}$, это согласуется с (12.23). Представив вектор $\mathbf{k}$ в полярных координатах $(k,\psi )$, равенство (12.25) можно переписать в виде
$$\mathcal{G}(k,\psi )=Uk\cos \psi -\sqrt{gk}=0.$$

Так как частота $\omega$ равна нулю и $\mathbf{k}$ не зависит от $t$, кинематические соотношения (11.43) сводятся к условию совместности
$$\frac{\partial k_2}{\partial x_1}-\frac{\partial k_1}{\partial x_2}=0.$$

Согласно (12.25), $k_1=f\left(k_2\right)$ и уравнение (12.27) дает
$$\frac{\partial k_2}{\partial x_1}-f^{\prime }\left(k_2\right)\frac{\partial k_2}{\partial x_2}=0.$$

Поэтому компоненты $k_1$ и $k_2$ постоянны на характеристиках
$$\frac{d{x}_2}{d{x}_1}=-f^{\prime }\left(k_2\right).$$

Для точечного источника $P$ характеристики, несущие возмущения, проходят через точку $P$, так что имеем центрированную волну
$$\frac{x_2}{x_1}=-f^{\prime }\left(k_2\right).$$

Это равенство определяет $k_2$ как функцию от $x_2/x_1$, и соотношение $k_1=f\left(k_2\right)$ завершает нахождение вектора $\mathbf{k}$.

Основное соотношение (12.28) можно записать в симметричном относительно $k_1$ и $k_2$ виде. Если $k_1=f\left(k_2\right)$ тождественно удовлетворяет соотношению (12.25), то
$$f^{\prime }\left(k_2\right)G_{k_1}+G_{k_2}=0$$

и (12.28) можно переписать в виде
$$\frac{x_2}{x_1}=\frac{G_{k_2}(k_1,k_2)}{G_{k_1}(k_1,k_2)},G(k_1,k_2)=0.$$

Решая эти уравнения, паходим $k_1$ и $k_2$ как функции от $\mathbf{x}$. Зная вид функции $\mathbf{k}$, уже можно нарисовать картину волн, но можно найти также и фазу $\theta (x_1,x_2)$ и получить линии гребней.

Полезно отметить, что соотношения (12.29) получаются из выражения для нестационарной центрированной волны в пределе при $\omega \to 0$. Для центрированной волны, согласно (11.49), имеем
$$\frac{x_i}{t}=C_i=-\frac{G_{k_i}}{G_{\omega }},G(\mathbf{k},\omega )=0.$$

Взяв отношение первых двух уравнений системы, исключим $t$ и $G_{\omega }$ и, перейдя к пределу при $\omega \to 0$, получим соотношения (12.29). Можно считать, что возмущение распространяется с групповой скоростью $C_i$, хотя это не приводит к изменениям картины волн. Данное соображение позволяет продолжать использовать понятие групповой скорости, хотя в формулах фигурирует только ее направление $\partial G/\partial k_i$.

Далее заметим, что иногда удобно пользоваться полярными координатами, как это сделано в равенстве (12.26). В полярных координатах градиент $\partial G/\partial \mathbf{k}$ имеет компоненту $\partial \mathcal{G}/\partial k$ в направлении $\mathbf{k}$ и компоненту $\partial \mathcal{G}/k\partial \psi$, ортогональную $\mathbf{k}$. Отсюда для угла $\mu$ на рис. 12.4 получаем
$$\mathrm{tg}\mu =\frac{1}{k}\frac{\partial \mathcal{Y}/\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \mathcal{Y}/\partial k}.$$

Уравнения (12.29) эквивалентны условиям
$$\xi =\pi -\mu -\psi ,\mathcal{G}(k,\psi )=0.$$

Уравнения (12.30) и (12.31) определяют $k$ и $\psi$ (а следовательно, и $\mathbf{k}$ ) для заданного направления $\xi$.
Рис. 12.4. Геометрия требней волн в задаче о корабельных волнах.
Эти построения применимы к любой двумерной стационарной картине, и теперь мы применим их к корабельным волнам. Подставляя выражения (12.25) в соотношения (12.29), получаем
$$\mathrm{tg}\xi =\frac{x_2}{x_1}=\frac{\frac{k_2}{2k}\sqrt{\frac{g}{k}}}{U+\frac{k_1}{2k}\sqrt{\frac{g}{k}}},U{k}_1+\sqrt{gk}=0.$$

Очевидно, удобнее перейти к представлению $(k,\psi )$ вектора $\mathbf{k}$ в полярных координатах и записать эту формулу так:
$$\mathrm{tg}\xi =\frac{\mathrm{tg}\psi }{1+2{\mathrm{tg}}^2\psi },k=\frac{g}{U^2{\cos }^2\psi }.$$

Если предпочтительнее подход (12.30) — (12.31), то имеем
$$\mathrm{tg}\mu =-2\mathrm{tg}\psi ,$$

откуда следуют соотношения (12.32).
Теперь, изменяя угол $\psi$, мы можем нарисовать типичную линию гребня. Согласно (12.25) или (12.26), $k_1<0$ и $\cos \psi >0$, так что допустим лишь интервал $-\pi /2<\psi <\pi /2$. Картина волн, очевидно, симметрична, и достаточно рассмотреть интервал $0<\psi <$ $<\pi /2$. Первая из формул (12.32) показывает, что при $\psi \to 0$ и $\psi \to \pi /2$ получаем $\xi =0$, и, следовательно, на интервале $(0,\pi /2)$ переменшая $\xi$ должна иметь максимум. Легко проверить, что этот максимум равен
$${\xi }_m=\mathrm{arctg}\frac{1}{2\sqrt{2}}=19,5^{\circ }\text{ для }{\psi }_m=\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{2}}=35,3^{\circ }.$$

Полученное значение совпадает с углом цолураствора клина, найденным раныше, и показывает, что все волны сосредоточены внутри этого клина. В точке максимума $\psi eq\pi /2$, и поэтому линия гребня не может повернуть назад гладко; на границе клина при $\psi ={\psi }_m$ эта линия имеет заострение. Таким образом, видим,

что линия гребня имеет форму, изображенную на рис. 12.5 ; в целом картина волн представлена на рис. 12.6.
Выражение для фазы $\theta (\mathbf{x})$ можно найти как
$$\theta ={\int }_0^{\mathbf{x}}\mathbf{k}\cdot d\mathbf{x},$$

интегрируя по любой удобной кривой, поскольку $\mathbf{k}$ — безвихревой вектор. Очевидно, удобны лучи $\xi =$ const, поскольку на них вектор $\mathbf{k}$ остается постоянным. Имеем
$$\theta =(k\cos \mu )r$$

где $r=|\mathbf{x}|$ — расстояние от начала координат. Здесь $k$ и $\mu$ функции от $\xi$, определяемые формулами (12.32) и (12.33). Кривая
Рис. 12.5. Јиния гребня в задаче
Рис. 12.6. Полная картина о корабельных волнах. корабельных волн.

постоянной фазы $\theta =$ const в параметрическом виде с углом $\psi$ в качестве параметра описывается уравнениями
$$\begin{array}{rl}r& =\frac{\theta }{k\cos \mu }=-\frac{U^2\theta }{g}{\cos }^2\psi {\{1+4{\mathrm{tg}}^2\psi \}}^{1/2},\\ \mathrm{tg}\xi & =\frac{\mathrm{tg}\psi }{1+2{\mathrm{tg}}^2\psi },\end{array}$$

так что фаза $\theta$ отрицательна. Эти соотношения можно переписать и в декартовых координатах:
$$\begin{array}{l}{x}_1=-\frac{U^2\theta }{g}\cos \psi (1+{\sin }^2\psi ),\\ x_2=-\frac{U^2\theta }{g}{\cos }^2\psi \sin \psi .\end{array}$$