Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Если препятствие имеет конечный размер вдоль оси $x_{2}$, то на поверхности воды образуется двумерная картина волн и анализ усложняется. Мы ограничимся задачей о гравитационных волнах на глубокой воде и используем дисперсионное соотношение (12.5). Этот случай охватывает картины волн, создаваемые объектами длиной $l \gg \lambda_{m}$, движущимися по воде глубиной $h \gg l$ (что обычно выполняется для корабельных волн). Наиболее удивительный результат, полученный впервые Кельвином, состоит в том, что на глубокой воде волны сосредоточены в клинообразной области с углом полураствора $\operatorname{arc} \sin 1 / 3=19,5^{\circ}$. Этот угол не зависит ни от скорости (при условии, что скорость постоянна), ни от формы объекта и определяется тем, что для глубокой воды $C / c=1 / 2$. Приведенное ниже простое доказательство принадлежит Лайтхиллу [6]. Рассмотрим «корабль», движущийся со скоростью $U$ и переместившийся из точки $Q$ в точку $P$ (см. рис. 12.2) за время $t$. Гребень волны будет оставаться неподвижным относительно корабля в том случае, когда где $\psi$ — угол между нормалью (направлением вектора $\mathbf{k}$ ) и линией движения $Q P$. Это условие легче всего понять, перейдя в систему отсчета, в которой поток со скоростью $U$ обтекает неподвижный корабль. В этой движущейся системе отсчета нормальная к элементу волны компонента $U \cos \psi$ скорости потока должна компенсироваться фазовой скоростью рассматриваемого элемента. Указанное условие позволяет определить величину $k$ в направлении $\psi$. Геометрически (см. рис. 12.2) это можно изобразить, построив полуокружность диаметром $P Q$ и заметив, что $P Q=U t, S Q=$ $=U t \cos \psi=c t$. Следовательно, для элементов волны, параллельных хорде $p S$, будем иметь $c t=Q S$. Далее, $c$ — фазовая Рис. 12.3. Огибающая возмущений, возникающих в последовательные моменты времени. скорость, соответствующая условию (12.23), но расположение рассматриваемых волн определяет именно групповая скорость $C=1 / 2 c$. Волны, образующиеся в точке $Q$, должны пройти расстояние $C t=1 / 2 \mathrm{ct}$. Следовательно, в направлении $\psi$ они будут обнаружены в точке $T$ — средней точке отрезка $Q S$. Рассмотрев все значения $\psi$, получим, что волны, возникающие в точке $Q$ и дающие вклад в стационарную картину, лежат на окружности радиуса $1 / 4 U t$ с центром в точке $R$, причем $P R=3 / 4 U t$. Наконец, фиксируя точку $P$ и меняя $t$, мы получаем набор окружно- стей, изображенный на рис. 12.3. В силу построения, проведенного на рис. 12.2, каждая окружность имеет радиус, равный одной трети расстояния от ее центра до точки $P$. Следовательно, эти окружности заполняют клинообразную область с углом полураствора $\operatorname{arc} \sin 1 / 3=19,5^{\circ}$. Любопытно, что построение на рис. 12.3 соответствует сверхзвуковому обтеканию с числом Маха, равным 3 ; все плавающие объекты имеют эффективное число Маха, равное 3. Это дисперсионное соотношение между $\omega$ и $\mathbf{k}$ для волн, накладывающихся на поток со скоростью U. Конечно, распространение больше не изотропно, поскольку в соотношение входит вектор $\mathbf{U}$. В такой системе отсчета для стационарной картины волн $\omega=0$ и выражение (12.24) становится соотношением между компонентами $k_{1}$ и $k_{2}$ волнового вектора $\mathbf{k}$. Для $\omega_{0}(\mathbf{k})=\sqrt{g k}$ имеем Поскольку $\cos \psi=-k_{1} / k$ и $c(k)=\sqrt{g / k}$, это согласуется с (12.23). Представив вектор $\mathbf{k}$ в полярных координатах $(k, \psi)$, равенство (12.25) можно переписать в виде Так как частота $\omega$ равна нулю и $\mathbf{k}$ не зависит от $t$, кинематические соотношения (11.43) сводятся к условию совместности Согласно (12.25), $k_{1}=f\left(k_{2}\right)$ и уравнение (12.27) дает Поэтому компоненты $k_{1}$ и $k_{2}$ постоянны на характеристиках Для точечного источника $P$ характеристики, несущие возмущения, проходят через точку $P$, так что имеем центрированную волну Это равенство определяет $k_{2}$ как функцию от $x_{2} / x_{1}$, и соотношение $k_{1}=f\left(k_{2}\right)$ завершает нахождение вектора $\mathbf{k}$. Основное соотношение (12.28) можно записать в симметричном относительно $k_{1}$ и $k_{2}$ виде. Если $k_{1}=f\left(k_{2}\right)$ тождественно удовлетворяет соотношению (12.25), то и (12.28) можно переписать в виде Решая эти уравнения, паходим $k_{1}$ и $k_{2}$ как функции от $\mathbf{x}$. Зная вид функции $\mathbf{k}$, уже можно нарисовать картину волн, но можно найти также и фазу $\theta\left(x_{1}, x_{2}\right)$ и получить линии гребней. Полезно отметить, что соотношения (12.29) получаются из выражения для нестационарной центрированной волны в пределе при $\omega \rightarrow 0$. Для центрированной волны, согласно (11.49), имеем Взяв отношение первых двух уравнений системы, исключим $t$ и $G_{\omega}$ и, перейдя к пределу при $\omega \rightarrow 0$, получим соотношения (12.29). Можно считать, что возмущение распространяется с групповой скоростью $C_{i}$, хотя это не приводит к изменениям картины волн. Данное соображение позволяет продолжать использовать понятие групповой скорости, хотя в формулах фигурирует только ее направление $\partial G / \partial k_{i}$. Далее заметим, что иногда удобно пользоваться полярными координатами, как это сделано в равенстве (12.26). В полярных координатах градиент $\partial G / \partial \mathbf{k}$ имеет компоненту $\partial \mathscr{G} / \partial k$ в направлении $\mathbf{k}$ и компоненту $\partial \mathscr{G} / k \partial \psi$, ортогональную $\mathbf{k}$. Отсюда для угла $\mu$ на рис. 12.4 получаем Уравнения (12.29) эквивалентны условиям Уравнения (12.30) и (12.31) определяют $k$ и $\psi$ (а следовательно, и $\mathbf{k}$ ) для заданного направления $\xi$. Очевидно, удобнее перейти к представлению $(k, \psi)$ вектора $\mathbf{k}$ в полярных координатах и записать эту формулу так: Если предпочтительнее подход (12.30) — (12.31), то имеем откуда следуют соотношения (12.32). Полученное значение совпадает с углом цолураствора клина, найденным раныше, и показывает, что все волны сосредоточены внутри этого клина. В точке максимума $\psi что линия гребня имеет форму, изображенную на рис. 12.5 ; в целом картина волн представлена на рис. 12.6. интегрируя по любой удобной кривой, поскольку $\mathbf{k}$ — безвихревой вектор. Очевидно, удобны лучи $\xi=$ const, поскольку на них вектор $\mathbf{k}$ остается постоянным. Имеем где $r=|\mathbf{x}|$ — расстояние от начала координат. Здесь $k$ и $\mu$ функции от $\xi$, определяемые формулами (12.32) и (12.33). Кривая постоянной фазы $\theta=$ const в параметрическом виде с углом $\psi$ в качестве параметра описывается уравнениями так что фаза $\theta$ отрицательна. Эти соотношения можно переписать и в декартовых координатах:
|
1 |
Оглавление
|