Мы могли бы просто считать, что в равенстве (6.24) $e(p, \rho)$ представляет собой некоторую известную эмпирическую функцию. Однако термодинамические соображения не только снабжают нас необходимыми формулами, но и подсказывают, какие существенные параметры надо ввести в рассмотрение. Целесообразно привести здесь только цепочку необходимых математических формулировок и отослать читателя к многочисленным стандартным курсам для обоснования результатов и выяснения их физического смысла. Дифференциальная форма
\[
d e+p d\left(\frac{1}{\rho}\right)
\]

играет в термодинамике фундаментальную роль. Впервые она встречается при рассмотрении последствий приобретения единичной массой газа дополнительной энергии. Если энергия добавляется сравнительно медленно, так что резкого изменения давления не происходит, то работа, совершаемая при увеличении объема $1 / \rho$ на $d(1 / \rho)$, равна $p d(1 / \rho)$. Остальная часть энергии должна идти на увеличение внутренней энергии на $d e$. При этих условиях выражение (6.30) равно общему количеству приобретенной энергии. Но в любом случае для заданной функции $e(p, \rho)$ это заданная

дифференциальная форма двух переменных $p$ п $\rho$. Согласно теореме Пфаффа, для нее всегда существует интегрирующий множитель, т. е. существуют функции $T(p, \rho)$ и $S(p, \rho)$, такие, что
\[
T d S=d e+p d\left(\frac{1}{\rho}\right) .
\]

Это простое математическое утверждение приобретает глубокий смысл, если учесть, что $T$ – абсолютная температура, а $S$ энтропия.

В более сложных системах наряду с $p$ и $\rho$ появляются другие термодинамические переменные (такие, как концентрация различных фаз вещества). Для таких систем дифференциальная форма, соответствующая (6.30), переходит в форму, содержащую более двух переменных. $\mathrm{C}$ чисто математической точки зрения тогда уже нет оснований ожидать, что всегда найдется интегрирующий множитель, приводящий эту форму к полному дифференциалу. Однако основой термодинамики является допущение, что такой интегрирующий множитель всегда существует для всех реальных физических систем и, более того, что он всегда является абсолютной температурой.

Как уже было указано выше, кроме изложенного математического обоснования, имеются более глубокие причины для введения в рассмотрение величин $T$ и $S$.
Идеальный газ
При нормальных условиях для большинства газов выполняется уравнение состояния идеального газа
\[
p=\mathscr{R} \rho T,
\]

где $\mathscr{R}$ – постоянная. В этом случае равенство (6.31) можно переписать в виде
\[
d S=\frac{d e}{T}-d(\mathscr{R} \ln \rho) .
\]

Отсюда следует, что $d e / T$ – полный дифференциал, и, следовательно, $е$ является функцией от одной переменной $T$ :
\[
e=e(T) .
\]

Интересно, что (6.33) можно вывести из предположения (6.32), хотя в действительности условие (6.33) играет более важную роль.

Уравнения (6.32) и (6.33) описывают идеальный газ. В уравнениях движения $e$ удобно рассматривать как функцию от $p$ и $\rho$. Из (6.32) следует, что для идеального газа $e$ является функцией от $p / \rho$. Вид этой функции пока еще не существен, однако широкий:

диапазон явлений газовой динамики описывается одной довольно простой формулой. Она получается при рассмотрении удельных теплоемкостей.
Удельные теплоемкости
В процессе медленного нагревания единичной массы газа тепло может различными способами распределяться между внутренней энергией и работой по изменению объема при условии, что сумма (6.30) равна приращению тепла. Удельная теплоемкость определяется как отношение приращения тепла в единичной массе к приращению температуры. Если газ не расширяется, то приращение тепла полностью переходит во внутреннюю энергию, откуда
\[
d e=c_{v} d T,
\]

тде $c_{v}$ – удельная теплоемкость при постоянном объеме. Аналогичным образом, если давление остается постоянным, а газ может расширяться, то из (6.30) имеем
\[
d\left(e+\frac{p}{\rho}\right)=c_{p} d T
\]

тде $c_{p}$ – удельная теплоемкость при постоянном давлении. Величина $e+p / \rho$, входящая сюда, а также, заметим, играющая роль потока в уравнении (6.27) представляет собой энтальпию
\[
h=e+\frac{p}{\rho} .
\]

Пз уравнений (6.32) и (6.33) следует, что для идеального газа $e, h, c_{v}$ и $c_{p}$ являются функциями только от температуры.
Идеальный газ с постоянными удельными теплоемкостями
Эмпирически было обнаружено, что с достаточной точностью удельные теплоемкости можно считать постоянными в широком интервале температур. Таким образом,
\[
e=c_{v} T, \quad h=c_{p} T .
\]

Поскольку разность между этими величинами равна $p / \rho$, отсюда следует уравнение состояния (6.32), в котором
\[
c_{p}-c_{v}=\mathscr{R} .
\]

Введя отношение удельных теплоемкостей $\gamma=c_{p} / c_{v}$, получим
\[
\begin{aligned}
c_{p} & =\gamma c_{v}, \quad \mathscr{R}=(\gamma-1) c_{v}, \\
e & =\frac{1}{\gamma-1} \frac{p}{\rho}, \quad h=\frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{p}{\rho}, \quad T=\frac{p}{\rho \mathscr{R}} .
\end{aligned}
\]

В силу этих соотношений, выражение для энтропии (6.31) принимает вид
\[
d S=\frac{d e}{T}+\frac{p}{T} d\left(\frac{1}{\rho}\right)=c_{v}\left(\frac{d p}{p}-\gamma \frac{d \rho}{\rho}\right) ;
\]

отсюда
\[
S=c_{v} \ln \frac{p}{\rho^{
u}}+\text { const }
\]

или
\[
p=x \rho^{
u} e^{S / c} v,
\]

где $x$ – постоянная.
Идеальный газ с постоянными удельными теплоемкостями иногда называют политропным газом.
Кинетическая теория
В кинетической теории некоторые из приведенных выше соотношений имеют простую заслуживающую внимания интерпретацию. Прежде всего температура $T$ характеризует среднюю кинетическую энергию, приходящуюся на одну молекулу, в поступательном движении молекул. Она нормирована так, чтобы эта энергия равнялась $3 / 2 k T$, где $k$ – постоянная Больцмана. Для идеального одноатомного газа это выражение определяет всю внутреннюю энергию, так что
\[
e=\frac{3}{2} k T n,
\]

где $n$ – число молекул в единичной массе. Таким образом, выражение для $e$ в виде линейной функции от $T$ по существу является в этом случае исходным.

В равновесном состоянии выражение (6.17) для $p_{j i}$ должно сводиться к – $\delta_{j i}$. Следовательно, давление можно связать с молекулярным движением формулой
\[
p=-\frac{1}{3} p_{i i}=\frac{1}{3} \int_{-\infty}^{\infty} m c_{i}^{2} f d \mathbf{c} .
\]

Но энергия поступательного движения в (6.19) содержит половину такого же интеграла и равна $3 / 2 k T n \rho$; отсюда имеем
\[
p=k n \rho T \text {. }
\]

Это уравнение состояния идеального газа с $\mathscr{R}=k n$. Число молекул в единичной массе равно числу Авогадро $N$, деленному на молекулярный вес газа. Поэтому используемая нами постоянная $\mathscr{R}$ равна универсальной газовой постоянной $k N$, деленной на молекулярный вес газа.

Если молекулы обладают другими формами внутренней энергии, такими, как колебательная или вращательная энергия, то, в силу основных принципов кинетической теории, в равновесном состоянии на каждую степень свободы приходится одинаковая энергия. Температура определяется так, что у каждой молекулы на одну степень свободы приходится энергия, равная $1 / 2 k T$. Следовательно, для трех степеней свободы поступательного движения она составляет $3 / 2 k T$. Если каждая молекула имеет $\alpha$ степеней свободы, то средняя энергия одной молекулы равна $1 / 2 \alpha k T$. Поэтому средняя энергия единичной массы равна
\[
e=\frac{1}{2} \alpha k T n .
\]

Выражение для $p$ не меняется, поскольку $p$ связано с поступательной частью энергии. Объединяя эти три различных результата, получаем
\[
e=\frac{1}{2} \alpha \mathscr{R} T, \quad h=\left(\frac{1}{2} \alpha+1\right) \mathscr{R} T, \quad p=\mathscr{R} \rho T,
\]

откуда
\[
c_{v}=\frac{1}{2} \alpha \mathscr{R}, \quad c_{p}=\left(\frac{1}{2} \alpha+1\right) \mathscr{R}, \quad \gamma=1+\frac{2}{\alpha} .
\]

Эти результаты согласуются по форме с полученными ранее выражениями для идеального газа с постоянными удельными теплоемкостями, но отличаются тем, что, помимо всего прочего, включают формулы для $c_{p}, c_{v}, \gamma$.

Для одноатомного газа $\alpha=3, \gamma=5 / 3$. Для двухатомного газа, имеющего две вращательные степени свободы, $\alpha=5, \gamma=1,4$, что является хорошим приближением для воздуха.