Анизотропность среды зачастую приводит к удивительным следствиям для картин волн в кристаллах. Благодаря кристаллической структуре существуют выделенные направления для диэлектрических свойств, и поэтому связь между электрической индукцией $\mathbf{D}$ и әлектрическим полем $\mathbf{E}$ должна описываться тензорным соотношением. Для магнитного поля справедливо обычное соотношение $\mathbf{B}=\mu_{0}$ Н. Указанные әффекты можно учесть, положив в уравнениях Максвелла
\[
D_{i}=\varepsilon_{i j} E_{j}, \quad B_{i}=\mu_{0} H_{i} .{ }^{.}
\]

В общем случае тензор диэлектрической проницаемости $\varepsilon_{i j}$ будет зависеть от частоты $\omega$. Это можно учесть, используя соотношения (12.63) только после исключения зависимости от времени $e^{-i \omega t}$. Для плоских волн, когда все компоненты описывающих поля векторов пропорциональны $e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x}-i \omega t}$, уравнения Максвелла сводятся к следующим:
\[
\begin{array}{l}
-i \omega \mathbf{B}+i \mathbf{k} \times \mathbf{E}=0, \\
-i \omega \mathbf{D}+i \mathbf{k} \times \mathbf{H}=0 .
\end{array}
\]

Поскольку В $\sim \mathbf{H}$, векторы $\mathbf{k}$, D и Н взаимно ортогональны, так что векторы D и Н лежат в плоскости, ортогональной направлению распространения волн. Поскольку вектор $\mathbf{E}$ ортогонален B, он лежит в одной плоскости с векторами D и $\mathbf{k}$, но в общем случае не ортогонален направлению распространения. Исключив из уравнений (12.64) В и $\mathbf{H}$, получим
\[
\omega^{2} \mu_{0} \mathbf{D}+\mathbf{k} \times(\mathbf{k} \times \mathbf{E})=0 .
\]

C учетом зависимости $\mathbf{D}$ от $\mathbf{E}$ это дает
\[
\omega^{2} \mu_{0} \varepsilon_{i j} E_{j}+k_{i} k_{j} E_{j}-k^{2} E_{i}=0 .
\]

Дисперсионное соотношение получается теперь из условия обращения в нуль определителя
\[
G(\omega, \mathbf{k}) \equiv\left|\omega^{2} \mu_{0} \varepsilon_{i j}+k_{i} k_{j}-k^{2} \delta_{i j}\right|=0 .
\]

При выяснении деталей картин волн удобно выбрать в качестве осей координат главные оси тензора $\varepsilon_{i j}$. Если соответствующие главные значения равны $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$, то равенство (12.65) принимает вид
\[
\begin{aligned}
G(\omega, \mathbf{k}) & \equiv \omega^{6} \mu_{0}^{3} \varepsilon_{1} \varepsilon_{2} \varepsilon_{3}- \\
& -\omega^{4} \mu_{0}^{2}\left\{\varepsilon_{2} \varepsilon_{3}\left(k_{2}^{2}+k_{3}^{2}\right)+\varepsilon_{3} \varepsilon_{1}\left(k_{3}^{2}+k_{1}^{2}\right)+\varepsilon_{1} \varepsilon_{2}\left(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}\right)\right\}+ \\
& +\omega^{2} \mu_{0} k^{2}\left\{\varepsilon_{1} k_{1}^{2}+\varepsilon_{2} k_{2}^{2}+\varepsilon_{3} k_{3}^{2}\right\}=0 .
\end{aligned}
\]

В случае источника с фиксированной частотой $\omega$ уравнение (12.66) описывает поверхность в $\mathbf{k}$-пространстве, определяющую возможные значения волнового вектора $\mathbf{k}$ для элементов возбуждаемых волн. Для каждого допустимого значения вектора $\mathbf{k}$ соответствующая групповая скорость равна
\[
C_{i}(\mathbf{k})=-\frac{G_{k_{i}}}{G_{\omega}}
\]

и, следователью, паправлена по нормали к поверхности (12.66), как показано на рис. $12.10, a$. Это геометрическое соответствие между $\mathbf{C}$ и $\mathbf{k}$ полезно при построении картин волн.

Рис. 12.10. $a$ – дисперсионная поверхность в $\mathbf{k}$-пространстве, $b$ – фазовая поверхность в х-пространстве.
Двойственная поверхность также полезна. Ее можно посттроить при помощи фазовых поверхностей, образованных периодическим точечным источником, расположенным в начале координат. Этот частный случай не представляет особого интереса в кристаллооптике (поскольку трудно представить себе источник, внедренный внутрь кристалла), но может быть полезен при построении и анализе анизотропных волн общего вида.

Элементы волны с волновым вектором $\mathbf{k}$ находятся в направлении $\mathbf{C}(\mathbf{k})$ от источника. Следовательно, для каждого направления C от источника можно определить соответствующее этому направлению значение вектора $\mathbf{k}$ (см. рис. $12.10, b$ ). Но в общем случае скорость движения фазовой поверхности вдоль групповых линий

не совпадает со скоростью $C$. Фазовая скорость в направлении $\mathbf{k}$ имеет величину $\omega / k$. Поэтому точка пересечения фазовой поверхности и групповой линии движется со скоростью $\omega /(k \cos \mu)$, rде $\mu$ – угол между $\mathbf{C}$ и $\mathbf{k}$. За время $t$ фазовая поверхность проходит путь от начала координат до точки
\[
\mathbf{x}=\frac{\omega}{k \cos \mu} \frac{\mathbf{C}}{C} t=\frac{\omega}{\mathbf{k} \cdot \mathbf{C}} \mathbf{C} t .
\]

Варьируя $\mathbf{k}$ по всем допустимым значениям (12.66), получаем фазовую поверхность.

Другой вывод можно получить, заметив, что фаза $\theta(\mathbf{x}, \boldsymbol{t})$ выражается формулой
\[
\theta(\mathbf{x}, t)=-\omega t+\int_{0}^{\mathbf{x}} \mathbf{k} \cdot d \mathbf{x},
\]

где интеграл можно взять вдоль групповой линии, проходящей через х. Следовательно,
\[
\theta=-\omega t+k \cos \mu|\mathbf{x}| .
\]

Фазовая поверхность $\theta=0$, покинувшая начало координат при $t=0$, к моменту времени $t$ пройдет путь
\[
|\mathbf{x}|=\frac{\omega}{k \cos \mu} t
\]

вдоль групновой линии с направлением С. Отсюда следует соотнопение (12.68).

В оптике обычно вводят лучевой вектор s, определяемый формулой
\[
\mathbf{s}=\frac{\omega}{c_{0} \mathbf{k} \cdot \mathbf{C}} \mathbf{C},
\]

где $c_{0}$ – скорость света в вакууме. Тогда фазовые поверхности даются соотношением.
\[
\mathbf{x}=\mathbf{s} c_{0} t .
\]

Таким образом, лучевой вөктор $\mathrm{s}$ продорционален групповой скорости, но имеет приведенную величину, чтобы определять распространение фазы вдоль луча (групповой ливии) в долях от $c_{0}$. Поскольку s есть функция от $\mathbf{k}$ и обратно, дисперсионное соотношение (12.66) можно использовать для нахождения соответствующей поверхности в s-пространстве. Поскольку эта s-поверхность является канонической формой фазовой поверхности, нормаль к ней в любой точке направлена вдоль $\mathbf{k}$. Таким образом, используя $\mathbf{s}$ вместо $\mathbf{C}$, получаем двойственные свойства $k$ – и s-поверхностей.

В оптике также принято работать с коэффициентом преломления $\mathbf{n}=c_{0} \mathbf{k} / \omega$ вместо $\mathbf{k}$. Тогда имеем дополнительное соотношение $\mathbf{s} \cdot \mathbf{n}=1$. Для любой точки на $\mathbf{n}$-поверхности соответствующий вектор $\mathbf{s}$ направлен вдоль нормали, и его величина равна обрат. ной величине к расстоянию от начала координат до касательной плоскости в данной точке. Обратно, на двойственной s-поверхности соответствующий вектор $\mathbf{n}$ направлен вдоль нормали, и его величина равна обратной величине к расстоянию до касательной плоскости.

В частном случае, когда дисперсионное соотношение однородно по $\omega, k_{1}, k_{2}$ и $k_{3}$, дисперсионная функция обладает свойством
\[
G\left(\rho \omega, \rho k_{1}, \rho k_{2}, \rho k_{3}\right)=0
\]

для произвольного числа $\rho$. Тогда, дифференцируя по $\rho$ и полагая затем $\rho=1$, имеем
\[
\omega G_{\omega}+k_{i} G_{k_{i}}=0 .
\]

Следовательно, $\mathbf{k} \cdot \mathbf{C}=\omega$. В этом случае, но только в этом случае, формула (12.68) сводится к равенству
\[
\mathbf{x}=\mathbf{C} t
\]

и фазовые поверхности распространяются вдоль групповых линий со скоростью С. Различие между групповой и фазовой скоростями в точности компенсируется характеризующим наклон множителем $\cos \mu$. Этот частный случай применим, например, к соотношению (12.66), если тензор $\varepsilon_{i j}$ не зависит от $\omega$.
Одноосные кристаллы
В случае одноосного кристалла с осью симметрии $x_{1}$ имеем $\varepsilon_{2}=\varepsilon_{3}$, и это общее значение обозначается через $\varepsilon_{1}$. Тогда дисперсионное соотношение (12.66) факторизуется, так что возникает две возможности:
\[
\begin{aligned}
\omega^{2} & =\frac{k^{2}}{\varepsilon_{\perp} \mu_{0}} . \\
\omega^{2} & =\frac{k_{1}^{2}}{\varepsilon_{\perp} \mu_{0}}+\frac{k_{2}^{2}+k_{3}^{2}}{\varepsilon_{1} \mu_{0}} .
\end{aligned}
\]

Казалось бы, анизотропия должна искажать волны, и несколько неожиданно, что происходит расщепление и одно семейство остается изотропным. Интересное явление кристаллооптики связано прежде всего с этим расщецлением.

Теперь мы имеем две поверхности в $\mathbf{k}$-пространстве, кәк показано на рис. 12.11, a. Волны, онисываемые соотношением (12.73), изотропны, имеют скорость $\left(\varepsilon_{\perp} \mu_{0}\right)^{-1 / 2}$ и называются обыкновенными

волнами. Соответствующая поверхность в $\mathbf{k}$-пространстве является сферой, групповая скорость направлена вдоль $\mathbf{k}$, и дисперсия возникает только тогда, когда $\varepsilon_{\perp}$ зависит от $\omega$. Второе семейство волн, описываемое соотношением (12.74), называется необыкновенным, и поверхность в $\mathbf{k}$-пространстве является эллипсоидом; эти волны диспергируют. Поверхности изображены на рис. 12.11, a для ного кристалла, $b$ – фазовые поверхности в $\mathbf{x}$-пространстве для одноосного кристалла.

случая $\varepsilon_{1}>\varepsilon_{\perp}$. Для каждого $\mathbf{k}$ существуют две групповые скорости $\mathrm{C}_{0}$ и $\mathrm{C}_{e}$. Как следствие получаются две фазовые поверхности, изображенные на рис. $12.11, b$. Для обыкновенных волн $\mathbf{C}_{0} \curvearrowleft \mathbf{k}$ и уравнение фазовой поверхности (12.68) имеет вид
\[
\mathbf{x}=\frac{\mathbf{k}}{\varepsilon_{\perp} \mu_{0} \omega} t .
\]

Используя для исключения вектора $\mathbf{k}$ соотношение (12.73), находим фазовые поверхности
\[
\varepsilon_{\perp} \mu_{0}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)=t^{2} ;
\]

это обыкновенные сферические волны, распространяющиеся со скоростью $\left(\varepsilon_{\perp} \mu_{0}\right)^{-1 / 2}$. Для необыкновенных волн
\[
\mathrm{C}_{e} \propto\left(\frac{k_{1}}{\varepsilon_{\perp}}, \frac{k_{2}}{\varepsilon_{1}}, \frac{k_{3}}{\varepsilon_{1}}\right),
\]

и уравнение фазовой поверхности (12.68) имеет вид
\[
\mathbf{x}=\left(\frac{k_{1}}{\varepsilon_{\perp} \mu_{0} \omega}, \frac{k_{2}}{\varepsilon_{1} \mu_{0} \omega}, \frac{k_{3}}{\varepsilon_{1} \mu_{0} \omega}\right) t .
\]

Согласно (12.74), фазовые поверхности являются эллипсоидами
\[
\varepsilon_{\perp} \mu_{0} x_{1}^{2}+\varepsilon_{1} \mu_{0}\left(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)=t^{2} .
\]

Канонические s-поверхности получаются из (12.76) и (12.79) заменой $\mathbf{x}=\mathrm{s} c_{0} t$.

Для необыкновенных волн направление распространения волн с волновым вектором $\mathbf{k}$ определяется соотношением (12.77). Волны

Рис. 12.12. Дисперсионные поверхности в k-пространстве для двухосного кристалла.

с вектором $\mathbf{k}$, составляющим угол $\psi$ с осью симметрии, распространяются под углом $\xi$, определяемым из уравнения
\[
\operatorname{tg} \xi=\frac{\varepsilon_{\perp}}{\varepsilon_{1}} \operatorname{tg} \psi .
\]

Вследствие этого расщепления луч, падающий на одноосный кристалл, как правило, при преломлении расщепляется на два отдельных луча. Преломленные лучи определяются из условия непрерывности касательной составляющей $\mathbf{k}_{t}$ вектора $\mathbf{k}$. Но для заданной составляющей $\mathbf{k}_{t}$ существуют два допустимых волновых вектора $\mathbf{k}$, удовлетворяющих соотношениям (12.73) и (12.74) соответственно. Преломленные лучи распространяются по направлениям соответствующих групшовых скоростей.

Двухосные кристаллы
Для двухосных кристаллов с неравными главными значениями $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ поверхность (12.66) состоит из двух листов с четырьмя изолированными точками пересечения вместо окружности касания сферы и эллипсоида на рис. 12.11, a. Один октант әтой поверхности изображен на рис. 12.12 для случая $\varepsilon_{1}<\varepsilon_{2}<\varepsilon_{3}$. Точка $P$ является одной из точек пересечения, остальные расположены симметрично в других квадрантах ( $\left.k_{1}, k_{3}\right)$-плоскости. В особой точке нормаль может принимать любое значение, лежащее на конусе направлений в данной точке. Если луч света падает на кристалл нормально в этом направлении, образуется конус преломленных лучей.

Дальнейшие детали становятся сложными и требуют длительного исследования. Эти (и многие другие) сведения можно найти в превосходных монографиях Зоммерфельда ([1], гл. 4) и Ландау и Лифшица ([4], гл. 11).