Прежде чем перейти к основной теме, покажем, как почти линейные уравнения, полученные в § 14.2 , согласуются с общим формализмом. Почти линейная теория получается разложением $\mathscr{L}$ по степеням амплитуды. Это разложение можно записать в виде
\[
\mathscr{L}=P(\omega, k) A+P_{2}(\omega, k) A^{2}+\ldots,
\]

но обычно оно вводится при помощи разложения в ряд Фурье (ср. (14.52)) в эквивалентной форме
\[
\mathscr{L}=G(\omega, k) a^{2}+G_{2}(\omega, k) a^{4}+\ldots .
\]

Дисперсионное соотношение $\mathscr{L}_{a}=0$ дает

где
\[
\omega=\omega_{0}(k)+\omega_{2}(k) a^{2}+\ldots,
\]
\[
G\left(\omega_{0}, k\right)=0, \quad \omega_{2}=-\frac{2 G_{2}\left(\omega_{0}, k\right)}{G_{\omega}\left(\omega_{0}, k\right)} .
\]

Уравнения (15.2) п (15.3) можно записать в виде
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial t}\left\{g(k) a^{2}+\ldots\right\}+\frac{\partial}{\partial x}\left\{g(k) \omega_{0}^{\prime}(k) a^{2}+\ldots\right\} & =0, \\
\frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\left\{\omega_{0}(k)+\omega_{2}(k) a^{2}+\ldots\right\} & =0,
\end{aligned}
\]

тде $g(k)=G_{\omega}\left(\omega_{0}, k\right)$ и использовано соотнопение
\[
\omega_{0}^{\prime}(k)=-\frac{G_{k}\left(\omega_{0}, k\right)}{G_{\omega}\left(\omega_{0}, k\right)}
\]

для линейной групповой скорости. Коэффициент $g(k)$ можно исключить, в силу второго уравнения для $k$, и корректным приближением, как было объяснено в § 14.2, является
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial a^{2}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\left\{\omega_{0}^{\prime}(k) a^{2}\right\} & =0, \\
\frac{\partial k}{\partial t}+\omega_{0}^{\prime}(k) \frac{\partial k}{\partial x}+\omega_{2}(k) \frac{\partial a^{2}}{\partial x} & =0 .
\end{aligned}
\]

Характеристические уравнения, как легко проверить, имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2} \operatorname{sgn}\left(\omega_{0}^{\prime \prime}\right)\left\{\frac{\omega_{0}^{\prime \prime}(k)}{\omega_{2}(k)}\right\}^{1 / 2} d k \pm d a=0, \\
\frac{d x}{d t}=\omega_{0}^{\prime}(k) \pm\left\{\omega_{2}(k) \omega_{0}^{\prime \prime}(k)\right\}^{1 / 2} a .
\end{array}
\]

Используя разложение (15.4), мы получили бы эквивалентные результаты с заменой амплитуды $a$ на $A^{1 / 2}$ и заменой $G, G_{2}$ в определении $\omega_{2}$ на $P, P_{2}$.
Рассмотрим теперь точные уравнения (15.1) – (15.3).