Когда одна ударная волна настигает другую, они сливаются в единую ударную волну возросшей интенсивности, как показано на $F$-диаграмме рис. 2.16 для невязкого решения $(v \rightarrow 0)$. Оказывается возможным найти простое решение уравнения Бюргерса, описывающее этот процесс для произвольного $v$.
Решение для одиночной ударной волны дается формулами (4.23) и соответствующее выражение для $\varphi$ имеет вид
\[
\varphi=f_{1}+f_{2}, \quad f_{j}=\exp \left(-\frac{c_{j} x}{2 v}+\frac{c_{j}^{2} t}{4 v}-b_{j}\right) .
\]
В формулах (4.23) параметры $b_{1}$ и $b_{2}$, оцределяющие исходное положение ударной волны, положены равными нулю. Выражения $f_{1}$ и $f_{2}$, очевидно, являются решениями уравнения теплопроводности (4.7). Выражение для $c$ имеет вид
\[
c=-\frac{2 v \varphi_{x}}{\varphi}=\frac{c_{1} f_{1}+c_{2} f_{2}}{f_{1}+f_{2}} .
\]
Пусть $c_{2}>c_{1}$; тогда при $x \rightarrow+\infty$ преобладает $f_{1}$ и $c \rightarrow c_{1}$, а при $x \rightarrow-\infty$ преобладает $f_{2}$ и $c \rightarrow c_{2}$. Центр ударной волны расположен там, где $f_{1}=f_{2}$, т. е. в точке $x=1 / 2\left(c_{1}+c_{2}\right) t$.
Теперь, поскольку каждая функция $f_{j}$ является решением уравнения теплопроводности, очевидно, можно добавлять в (4.53) и другие члены и получать более общие репения уравнения Бюргерса. Такие решения описывают взаимодействующие ударные
волны. Рассмотрим здесь случай, когда
\[
\begin{array}{l}
\varphi=f_{1}+f_{2}+f_{3}, \quad b_{1}=b_{2}=0, \quad b_{3}=\frac{c_{3}-c_{2}}{2 v}, \\
c=\frac{c_{1} f_{1}+c_{2} f_{2}+c_{3} f_{3}}{f_{1}+f_{2}+f_{3}}, \quad c_{3}>c_{2}>c_{1}>0 .
\end{array}
\]
Если $v$ достаточно мало, то можно выделить переходные области между состояниями $c_{1}, c_{2}, c_{3}$, замечая, в какой из областей доминирует соответствующая функция $f$. При $t=0$ функция $f_{1}$ доминирует в интервале $0<x$, функция $f_{2}$ – в интервале $-1<x<$ $<0$, а функция $f_{3}-$ в интервале $x<-1$. Таким образом, об-
Рис. 4.3. Слинающиеся ударные волны.
ласть перехода от $c_{1}$ к $c_{2}$ расположена возле $x=0$, а от $c_{2}$ к $c_{3}-$ возле $x=-1$. При $t>0$ области, в которых $c \simeq c_{1}, c \simeq c_{2}$, $c \simeq c_{3}$, можно найти таким же образом; результат изображен на рис. 4.3. В начальный период переход от $c_{1}$ к $c_{2}$ происходит там, где $f_{1}=f_{2}$, т. е. в точке
\[
x=\frac{c_{1}+c_{2}}{2} t,
\]
а переход от $c_{2}$ к $c_{3}$ – там, где $f_{2}=f_{3}$, т. е. в точке
\[
x=\frac{c_{2}+c_{3}}{2} t-1 .
\]
Поскольку $1 / 2\left(c_{2}+c_{3}\right)>1 / 2\left(c_{1}+c_{2}\right)$, вторая ударная волна настигает первую в точке ( $\left.x^{*}, t^{*}\right)$, определяемой равенствами (4.56) и (4.57). В этой точке $f_{1}=f_{2}=f_{3}$.
При $t>t^{*}$ области, в которой преобладала бы функция $f_{2}$, уже не существует и непрерывное решение описывает единую ударную волну с областью перехода от $c_{1} \kappa c_{3}$, движущуюся со скоростью $1 / 2\left(c_{1}+c_{3}\right)$ вдоль прямой
\[
x-x^{*}=\frac{c_{1}+c_{3}}{2}\left(t-t^{*}\right),
\]
определяемой условием $f_{1}=f_{3}$.
